המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

בפוסטים הקודמים על חדו"א הצגתי שני מושגים שונים, שבאו לפתור בעיות שונות והוגדרו בצורות לא קשורות – הנגזרת והאינטגרל. המשותף לשני המושגים הללו היה שבשניהם התבססנו על מושג הגבול כדי להגדיר אותם; ספציפית, הן הנגזרת והן האינטגרל הם תוצרים של תהליך קירוב כלשהו שבו הדיוק שלנו משתפר עד אין קץ; הנגזרת מודדת "מהירות ממוצעת" על פני פרקי זמן שהולכים וקטנים עד אינסוף, כך שהיא למעשה מתארת מהירות רגעית; והאינטגרל מודד שטח שנמדד בעזרת קירובים מלבניים שרוחבם הולך וקטן עד אינסוף (ובכך הדיוק של הקירוב באמצעותם משתפר). המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי מראה כי שני המושגים הללו הם שני צדדים של אותה המטבע; שחישוב של אינטגרל הוא במובן מסויים הפעולה ההפוכה מחישוב של נגזרת; וזוהי הסיבה שהחדו"א נקראת חשבון דיפרנציאלי (מלשון נגזרת) ואינטגרלי (מלשון אינטגרל) ומערבת את שני המושגים הללו יחד.

בתור התחלה, בואו נדבר על מושג שהזכרתי בחטף בסיום הפוסט שעסק בחישוב נגזרות – "אנטי-נגזרת" (באנגלית זה נשמע טיפה יותר טוב – Antiderivative), או בשם קצת יותר מקובל – פונקציה קדומה. פונקציה קדומה של פונקציה $latex f$ היא פונקציה $latex F$ כך ש-$latex F^{\prime}=f$. כך למשל, פונקציה קדומה של $latex f\left(x\right)=3x^{2}$ היא $latex F\left(x\right)=x^{3}$. מאיפה ידעתי זאת? ובכן, זו הייתה אחת מהבשורות המרות בפוסט הקודם; בעוד שבכל הנוגע לנגזרת יש לנו ידע מצויין לגבי האופן שבו גזירה מתבצעת, עד כי אנחנו מסוגלים לחשב את הנגזרת של מרבית הפונקציות המעניינות אותנו בלי להפעיל כלל מחשבה (מה שאומר שאנחנו יכולים לתת למחשב לשבור על כך את הראש ולנוח), הרי שבכל הנוגע לחישוב פונקציות קדומות אין פתרונות קסם. יש הרבה ניסוי וטעיה שנכללים בחישוב של פונקציות קדומות. הרבה היכרות עם פונקציות קדומות של פונקציות קיימות (קחו פונקציה פשוטה, תגזרו אותה ותראו מה תקבלו – עכשיו אתם יודעים מה קורה בכיוון השני; כך למשל אפשר לראות שהפונקציה הקדומה של $latex \frac{1}{1+x^{2}}$ היא $latex \mbox{atan}\left(x\right)$, בעוד שמי היה חושב על זה בלי לגזור את $latex \mbox{atan}\left(x\right)$ קודם?) ועוד כמה כללי אצבע מועילים וטכניקות פשוטות שלא אכנס כאן לתיאור שלהן. השורה התחתונה היא שאנחנו יודעים לחשב פונקציות קדומות לפונקציות רבות אך לא לכולן, וזה לא הכי כיף בעולם.

יש בעייתיות קטנה בדיבור על "הפונקציה הקדומה של פונקציה", שנובעת מכך שלכל פונקציה יש הרבה פונקציות קדומות שונות, כי גזירה של פונקציה קבועה מאפסת אותה. לכן, אם $latex F^{\prime}=f$ אז גם $latex \left(F+C\right)^{\prime}=f$לכל קבוע $latex C$. מצד שני, לא קשה להראות שזהו ההבדל היחיד שיכול להיות בין פנקציות קדומות שונות: אם $latex F,G$ שתיהן פונקציות קדומות של $latex f$ אז $latex \left(F-G\right)^{\prime}=f-f=0$, כלומר הנגזרת של הפונקציה שהיא ההפרש בין $latex F,G$ היא אפס בכל נקודה ולכן זו חייבת להיות פונקציה קבועה (לא הוכחתי זאת אך אינטואיטיבית זה ברור – נגזרת אפס בכל נקודה אומר שהפונקציה אינה משתנה ולו טיפה באף נקודה. הוכחה תגיע אולי בפוסט ייעודי שידבר על כמה מהשימושים הנחמדים של הנגזרת). לכן בתיכון אוהבים לנג'ס לתלמידים שמחשבים פונקציה קדומה של משהו ולתבוע מהם לכתוב "$latex +C$" אחריה כדי שיהיה ברור שבעצם יש לנו כאן קבוצה של פונקציות קדומות שנבדלות בקבוע ובלה בלה בלה. אני אישית מעולם לא הבנתי את הקטע.

יפה, אז נניח שאנחנו כן יודעים לחשב פונקציות קדומות פה ושם. איך זה עוזר לנו? ובכן, כאן מגיע הזבנג הגדול – היכולת לחשב פונקציות קדומות נותנת לנו את היכולת לחשב אינטגרלים. זה מפתיע, כי הנה התקשרו להם שני מושגים לא קשורים. מה שקורה הוא שאם $latex f\left(x\right)$ היא פונקציה כך שהאינטגרל המסויים $latex \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$ קיים, ואם יש לה פונקציה קדומה $latex F\left(x\right)$ בקטע $latex \left[a,b\right]$ (כלומר, לכל נקודה בקטע מתקיים $latex F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)$) אז $latex \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$. כלומר, כדי לחשב את האינטגרל המסויים של הפונקציה בקטע – ולא משנה כמה היא משתוללת בקטע – מספיק למצוא את ההפרש בין ערכי הפונקציה הקדומה שלה בקצוות הקטע. אני לא יודע מה אתכם, אבל כשאני שמעתי על זה לראשונה הרגשתי שמרמים אותי ושמשהו לא תקין ביקום (אם כי יש להודות שכאשר מגיעים לחדו"א של פונקציות מרוכבות צצות ועולות תוצאות מטורפות הרבה יותר).

טוב, אז כמובן שזה רק נראה מטורף על פניו. במבט שני, המשפט דווקא הגיוני למדי. מה זה אומר ש-$latex F$ היא הפונקציה הקדומה של $latex f$? ש-$latex f$ מתארת את "כמות ההשתנות הרגעית" של $latex F$ בכל נקודה. אם מבצעים אינטגרל על $latex f$, בעצם מודדים את כמות ההשתנות של $latex F$, ולכן לא מפליא כל כך שההפרש בין הערכים של $latex F$ בקצותיה מתאר את אותה כמות השתנות. אפשר לחזור לדוגמאות פיזיקליות כדי לשפר את האינטואיציה: $latex f$ מתארת מהירות, ואילו $latex F$ מתארת מיקום. האינטגרל על $latex f$ אכן אמור לתאר בדיוק את גודל השינוי במיקום (שימו לב שזה אינו אותו דבר כמו המרחק הכולל שעברנו – אם $latex f$ מתארת תנועה שבה בהתחלה נסענו לכיוון אחד ואחר כך נסענו לכיוון ההפוך באותה מהירות ואותה כמות זמן, האינטגרל הכולל יהיה אפס; כדי למדוד את המרחק הכולל שעברנו צריך לחשב את $latex \int_{a}^{b}\left|f\left(x\right)\right|dx$). לסיום, שימו לב שלא חשוב איזו פונקציה קדומה של $latex f$ אנחנו לוקחים – כי $latex F\left(b\right)-F\left(a\right)=\left(F\left(b\right)+C\right)-\left(F\left(a\right)-C\right)$. לכן ההקפדה על הבדלה בין הפונקציות הקדומות השונות האפשריות נראית עוד יותר מיותרת.

מה שתיארתי כאן נקרא בשם המפוצץ המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ויש בכך צדק מסויים שכן הוא קושר את מושגי הנגזרת והאינטגרל יחד. אם להיות הגונים, המשפט המלא אומר עוד משהו פרט לתוצאה שתיארתי למעלה – שלכל פונקציה רציפה קיימת פונקציה קדומה, וגם מתאר איך היא נראית. לכל $latex f$ אפשר להגדיר פונקציה על ידי $latex F\left(x\right)=\int_{a}^{x}f\left(t\right)dt$, כאשר $latex a$ היא נקודה שרירותית. המשפט אומר כי בכל נקודה $latex c$ שבה $latex f$ היא רציפה, מתקיים ש-$latex F$ גזירה וש-$latex F^{\prime}\left(c\right)=f\left(c\right)$ (אני קצת לא מדייק טכנית – פורמלית המשפט מדבר על מה שקורה בקטע סגור – אבל נעזוב את זה). שימו לב שהבחירה השרירותית של $latex a$ היא זו שקובעת איזה מאינספור הפונקציות הקדומות השונות של $latex f$ נקבל – אם נבחר $latex a$ אחר, נקבל $latex F$ אחרת, אך כזו ששונה בקבוע בלבד מה-$latex F$ "שלנו" (קל לראות את זה מתכונה של האינטגרל שלא תיארתי: $latex \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx+\int_{c}^{b}f\left(x\right)dx$ – מדוע תכונה זו אכן מסייעת לנו להוכחת הטענה שלי?)

גם כאן לא קשה לראות את האינטואיציה שמובילה למשפט: $latex F^{\prime}\left(c\right)$ היא השינוי הרגעי של $latex F$ באיזור הנקודה $latex c$. אם אנו ממשיכים לחשוב על אינטגרל כעל סכום, הרי שזהו השינוי שיתרחש בדיוק כאשר אנו מוסיפים לסכום את הערך של $latex f$ בנקודה $latex c$, כלומר $latex f\left(c\right)$. הרציפות כאן היא הכרחית כי בגלל המשקל האפסי שיש לכל איבר בסכום, אם $latex f$ הייתה "משתגעת" בנקודה $latex c$ וקופצת לערך לא קשור בעליל, זה לא היה משפיע על האינטגרל. אלו פרטים טכניים שקשה להבהיר עם נפנופי הידיים שלי, וכאשר מנסים להוכיח פורמלית את המשפט הם צצים מאליהם – זוהי עוד דוגמה אחת מני רבות לאופן שבו הבנה אמיתית (וגם אינטואיציה חזקה יותר) של "מה שהולך שם" מגיעה רק על ידי לכלוך הידיים בפרטים הטכניים, שלטעמי הם מעניינים למדי כאן.

בואו נעבור לדוגמה קלאסית שכעת היא בהישג ידינו – חישוב שטח של עיגול. בפרט, עיגול היחידה – העיגול שרדיוסו 1. אי אפשר לתאר מעגל באמצעות פונקציה ממשית, כי למשל הנקודות $latex \left(0,1\right)$ ו$latex \left(0,-1\right)$ שתיהן על המעגל (אלו הנקודות העליונה והתחתונה ביותר) ולכן אם $latex f$ הייתה מתארת את המעגל אז $latex f\left(0\right)$ הייתה צריכה להיות גם 1 וגם מינוס 1 וזה אומר שזו אינה פונקציה. כמובן שיש דרך לתאר מעגל כפונקציה, אבל לא פונקציה $latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ אלא $latex f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{2}$ (פונקציה שמעבירה מספר ממשי לזוג מספרים ממשיים). גם על פונקציות כאלו ניתן לעשות חדו"א אבל התיאוריה מורכבת מעט יותר ואין סיבה להיכנס לכך כרגע.

מה כן אפשר לעשות? לתאר חצי מעגל באמצעות פונקציה. הפונקציה תתאר את הקו שהוא החצי העליון של המעגל. מכיוון שזהו מעגל היחידה, כל נקודה $latex \left(x,y\right)$ שעליו מקיימת את המשוואה $latex x^{2}+y^{2}=1$ (למה? משפט פיתגורס – קחו נקודה על המעגל, הורידו אנך לציר $latex x$, חברו את הנקודה לראשית הצירים בקו וחפשו טוב טוב את המשולש ישר הזווית). אם כן, $latex y^{2}=1-x^{2}$. נוציא שורש לשני האגפים, ונקבל ש-$latex y=\pm\sqrt{1-x^{2}}$; כאן אנחנו רואים איך יש לנו שתי בחירות אפשריות לערך של $latex f\left(x\right)$. מכיוון שאנו רוצים לתאר את חצי המעגל העליון, נבחר תמיד באפשרות החיובית, כלומר נגדיר את הפונקציה $latex f\left(x\right)=\sqrt{1-x^{2}}$. פונקציה זו, בתחום $latex -1\le x\le1$ מתארת את חצי מעגל היחידה העליון, ולכן השטח שכלוא בינה ובין ציר ה-$latex x$, שהוא בדיוק $latex \int_{-1}^{1}f\left(x\right)dx$, הוא שטח חצי עיגול היחידה. במילים אחרות, שטח עיגול היחידה הוא בדיוק $latex 2\cdot\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx$. בואו נחשב את האינטגרל הזה.

הדרך לחשב את האינטגרל היא לגלות מהי הפונקציה הקדומה של $latex \sqrt{1-x^{2}}$. באופן לא מפתיע כל כך, הפונקציות הטריגונומטריות באות לעזרתנו (למה לא מפתיע? כי הן קשורות בקשר אמיץ למעגלים). באופן כללי משהו מהצורה $latex 1-x^{2}$ גורם לכמה נורות אדומות להבהב בראש של מי שכבר תרגל את הנושא הזה עוד ועוד. מה שעושים הוא לבצע הצבה: נסמן $latex x=\sin t$, ובכך נחשוב על $latex x$ לא בתור משתנה חופשי אלא בתור תוצאה של הפעלה של סינוס על משתנה חופשי $latex t$, ואז נקבל:

$latex \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\sqrt{\cos^{2}t}=\cos t$

קסם!

מאיפה חשבתי על להציב סינוס? ובכן – כפי שאמרתי, אין חוקים מסודרים כאן. רק כללי אצבע ונסיון, לצערי.

אם כן, בואו ננסה להבין לרגע מה הולך כאן. הייתה לי פונקציה $latex f\left(x\right)$ ורציתי למצוא פונקציה $latex F\left(x\right)$ כך ש-$latex F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)$. כעת התחלתי לשחק ב"נדמה לי", לפיו גם $latex x$ הוא בעצמו פונקציה, נקרא לה $latex g\left(t\right)$, ולכן אפשר לחשוב על $latex f$ בתור $latex f\left(g\left(t\right)\right)$. עכשיו, $latex \left(F\left(g\left(t\right)\right)\right)^{\prime}=F^{\prime}\left(g\left(t\right)\right)\cdot g^{\prime}\left(t\right)$ על פי כלל השרשרת, ובמילים אחרות – אם אנחנו רוצים למצוא את הפונקציה הקדומה $latex F$, אנחנו לא רוצים למצוא את הפונקציה הקדומה של $latex \cos t$ לבדו (מי שינסה לעשות זאת יגלה את התוצאה המוזרה לפיה הפונקציה הקדומה של $latex \sqrt{1-x^{2}}$ היא $latex F\left(x\right)=x$, וזה כמובן לא נכון), אלא את הפונקציה הקדומה של $latex \cos t\cdot\cos t$ (כי הנגזרת של $latex \sin t$ היא $latex \cos t$). במילים אחרות, את הפונקציה הקדומה של $latex \cos^{2}t$. מי שהתבלבל ולא הבין מה הלך כאן (וגם אני מתבלבל למרות שכרגע כתבתי את זה), לא נורא – זה עוד אחד מהפרטים הטכניים הקריטיים שקשה להסביר כאן על קצה המזלג, וחשוב להבין רק את האתגר הסופי שהגענו אליו – מציאת פונקציה קדומה של $latex \cos^{2}t$.

זו לא פונקציה שקל למצוא לה פונקציה קדומה באופן נאיבי. אמנם, הנגזרת של $latex \sin t$ היא $latex \cos t$ אבל זה ממש לא אומר שהנגזרת של $latex \sin^{2}t$ היא $latex \cos^{2}t$ – נסו לגזור ותראו מה קורה. אם כן, עדיף לפשט קודם. לצורך הפישוט אגייס ללא הוכחה זהות טריגונומטרית – $latex \cos^{2}t=\frac{1+\cos2t}{2}$. היד אמנם טיפה רועדת כשאני משתמש כך בזהות שאין לי שום דרך טובה להגיד מאין היא באה פרט ל"בואו נזכור שיש דבר כזה בתיכון", וזה נותן לי מוטיבציה לכתוב פוסט שיסביר אחת ולתמיד מה ההגיון מאחורי כל הזהויות הללו ואיך אפשר לדעת לפתח אותן מאפס – אבל לא עכשיו.

למצוא את הפונקציה הקדומה של $latex \frac{1+\cos2t}{2}$ זה כבר קל יחסית. ראשית, מה הפונקציה הקדומה של $latex \cos2t$? לא קשה לראות שזוהי $latex \frac{\sin2t}{2}$. מכאן קצרה הדרך, בעזרת מה שאנחנו יודעים על חוקי הנגזרות, להסיק שהפונקציה הקדומה שאנחנו מחפשים היא $latex \frac{t}{2}+\frac{\sin2t}{4}$. נסו לגזור את היצור הזה ותראו מה תקבלו. סינוס של זווית כפולה הוא קצת בעייתי לנו, ולכן נשתמש בעוד זהות טריגונומטרית ידועה: $latex \sin2t=2\sin t\cos t$, ונקבל $latex \frac{t+\sin t\cos t}{2}$.

הכל טוב ויפה רק שאנחנו עדיין בפונקציה לפי $latex t$ ולא לפי $latex x$. מכיוון ש-$latex x=\sin t$, אז $latex t=\mbox{arcsin}x$ ($latex \mbox{arcsin}$ היא הפונקציה ההופכית ל-$latex \sin$). לכן $latex \sin t=\sin\left(\mbox{arcsin}x\right)=x$ והכל טוב ויפה, אבל מה זה $latex \cos t$? ובכן, נביע גם אותו באמצעות סינוס: $latex \cos t=\sqrt{1-\sin^{2}t}=\sqrt{1-x^{2}}$. נראה מוכר? כמובן, הרי זה מה שהתחלנו ממנו, רק בכיוון ההפוך!

אם כן, נקבל לבסוף את הפונקציה הקדומה הבאה: $latex F\left(x\right)=\frac{\mbox{arcsin}x+x\sqrt{1-x^{2}}}{2}$. אם תגזרו את זה אכן תקבלו בסוף $latex \sqrt{1-x^{2}}$ – אבל שימו לב כמה הפונקציה הקדומה "מכוערת" ביחס לנגזרת שלה, ובאופן כללי כמה לא פשוט היה התהליך של חישוב הפונקציה הקדומה. כאמור – ככה זה, אבל זה לא סוף העולם.

עכשיו אנחנו יכולים סוף סוף לחשב את האינטגרל $latex \int_{-1}^{1}f\left(x\right)dx$ – על פי המשפט היסודי של החדו"א, הוא שווה ל-$latex F\left(1\right)-F\left(-1\right)$. מהו $latex F\left(1\right)$? ובכן, ראשית כל $latex \mbox{arcsin}\left(1\right)$ היא אותה זווית (בתחום שבין $latex -\pi$ ו-$latex \pi$) שכאשר מציבים אותה בסינוס מקבלים 1 – זוהי הזווית $latex \frac{\pi}{2}$ (מי שלא מבין איך פאי נכנס לתמונה פתאום – אנחנו מודדים זוויות לא במעלות אלא ברדיאנים, שעליהם כבר הסברתי בפוסט נפרד). בדומה, $latex \mbox{arcsin}\left(-1\right)=-\frac{\pi}{2}$ (זה לא מקרי – סינוס היא פונקציה אי זוגית, כלומר מתקיים $latex \sin\left(-x\right)=-\sin x$ לכל $latex x$). החלק המפחיד של ה-$latex x\sqrt{1-x^{2}}$ עוד יותר פשוט, כי אם מציבים בו $latex x=\pm1$ מה שמתחת לשורש מתאפס ולכן כל העסק מתאפס. במילים אחרות, קיבלנו ש-$latex F\left(1\right)-F\left(-1\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\frac{\pi}{2}$. זהו שטח חצי העיגול, ולכן שטח העיגול כולו הוא $latex \pi$. הנה לכם הוכחה פורמלית לכך ששטח עיגול היחידה הוא $latex \pi$ (תוך הסתמכות על כך שאנו יודעים לגזור סינוס; עניין לא טריוויאלי שגם על הקושי שבו רמזתי בפוסט נפרד).

אם כן, זהו המשפט היסודי של החדו"א. האם הסיפור נגמר כאן? בוודאי שלא – המשפט הזה הוא רק נקודת ההתחלה של האקשן האמיתי. ובכל זאת, הכוח שהוא נותן לנו הוא לא מבוטל; ולימודי החדו"א בבית הספר בעצם נגמרים כאן בכל הנוגע לאינטגרלים – רואים את הנוסחה שמאפשרת לחשב אינטגרלים מסויימים, ואז מחשבים הרבה כאלו. אני מקווה שתלמידים שנתקלים בתרגילים הללו אחרי ששרדו את הפוסט (יש כאלו?) ירגישו קצת פחות כאילו "עובדים עליהם".

36 תגובות על הפוסט “המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

  1. משהו שתמיד הטריד אותי: מה הסיבה שחישוב אינטגרל קשה כל כך ביחס לחישוב נגזרת? למה גזירה היא פעולה יחסית אלגוריתמית ואינטגרל לא? מה השוני המהותי בין השניים?

  2. אני חושב ששאלה יותר טובה היא "למה שכן תהיה סימטריה?". העולם לא סימטרי. לשבור ביצה קל הרבה יותר מלהרכיב אותה בחזרה. להעלות בריבוע קל יותר מאשר להוציא שורש. סימטריה אמנם קיימת בפעולות מסויימות, אבל היא בפירוש לא הדבר ה"טבעי" לצפות לו.

    אם להצביע על סיבה אחת מהותית שבגללה גזירה קלה מאינטגרציה, אז לדעתי זה מכיוון שעבור גזירה קיים כלל השרשרת, ועבור אינטגרציה אין שום דבר שכזה. (ואותו כנ"ל גם לגבי מכפלה – יש כלל מכפלה כלשהו עבור אינטגרלים אבל הוא מועיל פחות, מכיוון שהוא לא באמת נותן את האינטגרל המבוקש באופן מפורש אלא כפונקציה של אינטגרל אחר, שלא תמיד יהיה פשוט יותר).

  3. תודה גדי על הפוסט המצויין. זה הזכיר נושא שנראה לי מעניין אך אני מתקשה בהבנתו – differential Galois theory. תהיתי האם יש סיכוי יום אחד לפוסט בנושא…

  4. לא ציפיתי למצוא סימטריה, אבל ציפיתי לפחות להבין למה היא לא קיימת. לכל אחד ברור שיותר קל לשבור ביצה מאשר להרכיב אותה, ובכל זאת החוק השני של התרמודינמיקה הוא הישג מרשים. בהשאלה, מעניין ממה נגזרת גרסת החדו"א של החוק השני. כלל השרשרת הוא התחלה של הסבר בכיוון אבל אני מחפש משהו יותר אינטואטיבי שעומד ביסוד של זה (כמובן שבהחלט ייתכן שכזה לא קיים).

  5. דוגמא נוספת לחוסר סימטריה היא מציאת גורמים ראשוניים של מספר לעומת הכפלת הגורמים הראשוניים. בעוד שהכפלת הגורמים הראשוניים זה בזה היא טריביאלית הרי מציאת הגורמים הראשוניים של מספר גדול (או הבדיקה אם המספר ראשוני בעצמו) יכולה לקחת זמן ארוך מאוד. על זה מסתמכות שיטות ההצפנה המקובלות.

  6. כן מכיר את רעיון הפונקציות החד-כיווניות והיישום החשוב שלהן בעצמה. מעניין לציין שהאי-סימטריה הזו מעולם לא הוכחה, וייתכן שניתן לפרק מספר לגורמים בצורה יעילה ואנחנו פשוט לא יודעים איך. איני מכחיש את נפיצותה של הא-סימטריה במתמטיקה, אני רק מנסה להבין אותה במקרה הזה.

  7. פוסט חביב מאוד.. בבית ספר לא מדברים בכלל על המשפט היסודי של החדוו"א.. אז אני חושב שקצת כיוונת גבוה מידי.

    כסטודנט בחדווא 1 שממש עכשיו לומד אינטגרל מסוים גם אני הלכתי כאן לאיבוד. היה חסר לי כאן ההקשר מבחינת הקירובים לטיילור ומקלורן… אישית הייתי מעוניין לשמוע יותר על הקשרים וההיקשים האלה.

    מה שעוד מעניין אותי לדעת הוא למה יש כזה מושג נגזרת בנקודה אבל אין כזה מושג אינטגרל בנקודה.

  8. בבית ספר ודאי שמדברים על המשפט היסודי, פשוט לא קוראים לו כך. פשוט מביאים את הנוסחה לחישוב אינטגרל מסויים ומצפים מהסטודנטים שיאכלו אותה בלי לשאול שאלות.

    אין שום קשר בין המשפט היסודי ובין טור טיילור. טורי טיילור הם דבר נפלא שראוי לפוסט משל עצמו – ואני מתכנן להגיע לזה בפוסט שיעסוק בשימושים אלמנטריים של נגזרות (לטיילור, לניוטון-רפסון, וכמובן שגם לבעיות קיצון וחקירת פונקציות).

    נגזרת בנקודה מתארת את השינוי הרגעי באותה נקודה. אינטגרל, לעומת זאת, מנסה לתאר סכום – סכום הוא תמיד "לאורך זמן".

  9. יהיה זה אך נפלא אם תכתוב על טורי טיילור :)

  10. "כן בתיכון אוהבים לנג'ס לתלמידים שמחשבים פונקציה קדומה של משהו ולתבוע מהם לכתוב "+C" אחריה כדי שיהיה ברור שבעצם יש לנו כאן קבוצה של פונקציות קדומות שנבדלות בקבוע ובלה בלה בלה. אני אישית מעולם לא הבנתי את הקטע."

    לא הבנת את הקטע גם אחרי שלמדת משוואות דיפרנציאליות?

  11. אני לא בטוח שאני מבין מה אתה מנסה לרמוז, אז אולי פשוט תגיד את זה?

  12. הרי כל הקטע של פתרון של משוואות דיפרנציאליות עם תנאי התחלה תלוי באותו קבוע מטופש.
    כל משוואות התנועה הפיזיקליות הן חסרות משמעות ללא אותם קבועי אינטגרציה.

    קח לדוגמא את התנועה בתאוצה קבועה. הנגזרת השניה של המיקום היא קבוע. מהי המהירות ומה המיקום בכל רגע אחר אם ידועים לנו המהירות והמיקום ההתחלתיים?

    אם סתם "תאנטגרל" את המשוואה פעמיים בלי להכליל את קבועי האינטגרציה לא תקבל את הביטוי הנכון. תקבל רק שהמיקום הוא פרופורציונלי לזמן בריבוע. אסימפטוטית זה נכון, אבל דווקא קרוב להתחלה הגורם הלינארי דומיננטי.

    לכן לזלזל בקבועים האלה או לא להבין למה עומדים על כך שתכתוב אותם נראה לי מוזר – במיוחד כשזה בא ממתמטיקאי.

    (ואני חשבתי לתומי שמתמטיקאים מתפלצים כל פעם שפיזיקאי מוחק את כל האיברים הלא לינארים בטור טיילור בטענה שהם לא חשובים ומי צריך אותם בכלל, הם סתם מפריעים).

  13. וחשבתי על עוד דוגמא שמתחברת יופי למשפט היסודי. אמנם זה לקוח מחדו"א 2 (מספר משתנים) אבל צריך להתחיל איפה שהוא.

    אם אתה רוצה למצוא אינטגל של שדה ווקטורי לאורך מסלול מנקודה אחת לנקודה שניה אתה יכול לעשות את זה בדרך הקשה או למצוא את פונקצית הפוטנציאל הסקלארית של השדה הווקטורי (אם יש לך מזל והיא קיימת).

    אם "תאנטגרל" את השדה לפי משתנה אחד אבל תשכח שיש קבוע אינטגרציה (שבמקרה הזה הוא פונקציה של שאר המשתנים) תקבל בבל"ת אחד שלם.

    אם תצליח למצוא את הפוטנציאל, המשפט היסודי אומר לך שערך האינטגרל הקווי של השדה הווקטורי (שהוא בעצם ה"נגזרת" של הפוטנציאל) תלוי רק בערך הפוטנציאל הסקלארי בנקודות ההתחלה והסוף ללא כל קשר לצורת המסלול. בלי הקונספט של "משפחת פונקציות" היינו מוצאים את עצמנו בצרות.

    אני בטוח שאתה יודע אבל לטובת שאר הקוראים, שדות משמרים הם הבסיס לכל התאור המתמטי לתורה האלקטרומגנטית ועוד כל מיני תופינים. כל אפקט אהרונוב בוהם נשען על הקבוע המסכן הזה.

  14. אני חושב שהכוונה שלי לא הובנה כהלכה. הנקודה הייתה שאם כל מה שהתלמידים צריכים הוא פונקציה קדומה אחת (כדי לחשב את האינטגרל המסויים) לא צריך לתבוע מהם לכתוב במפורש את כל מחלקת הפונקציות שהם מצאו עם האינטגרל הלא מסויים. ההערה שלך על המשוואות הדיפרנציאליות והאינטגרציה-פעמיים היא נכונה, כמובן, אבל לא רלוונטית לתלמידים.

    מנקודת מבטו של התלמיד, הפונקציה היחידה שאותו C+ משמש הוא להוריד להם נקודות כשהם שוכחים לכתוב אותו. כלומר, סתם מוקש שפזור להם באמצע חומר הלימוד והם נדרשים לכתוב אותו אוטומטית בלי להבין בשביל מה זה חשוב. על זה דיברתי.

  15. אני דווקא לא מסכים עם צורת המחשבה הזו.

    אם התלמיד מסוגל להבין (והם מסוגלים, אתה בעצמך הסברת את זה יפה בשני משפטים)- צריך לדייק.

    מנסיוני עם סטודנטים – אם הם מסבירים למה הדבר חשוב, הם יבינו למה אתה מדקדק, ואני לא אתקל במבטים זגוגיתיים כשאני אדבר איתם על קבועי אינטגרציה כי זו הפעם הראשונה שהם שומעים על כך.

  16. השאלה היא מה אתה רוצה ב"לדייק" כאן. אם התרגיל שהיו נותנים לסטודנטים היה "מצא פונקציה קדומה של f", לא היה שום צורך באותו C+ ידוע לשמצה. מראש נותנים להם תרגיל שמאלץ אותם להוסיף את ה-C+ כמו אוטומטים.

  17. יאצק הצידוני,

    אתה קצת נסחף עם ההתרגשות מהדעה שהביעו בפוסט. בסה"כ נזרקה הערה סרקסטית על שיטת החינוך, כנראה שאתה חושב ששיטת החינוך היא טובה.

    באופן אישי אני גם מסכים עם מה שנכתב פה. כל סטודנט (או תלמיד תיכון) עם התעניינות מינימלית, מבין לבד שאם הוא מוסיף קבוע לפונקציה וגוזר אז הקבוע נעלם (וההיקש המתבקש, גם אם לא במילים אלה ממש…. יש משפחה של פו' קדומות). וכן, קצת יותר קשה להבין את זה (יותר קשה?) עבור פונקציה מרובת משתנים, אבל גם לא קשה מדיי. אתה באמת חושב שעצם העובדה שמורידים נקודות בגלל ששכחו להוסיף +C תעזור לאנשים להבין יותר?

  18. אולי הסתכלות "גיאומטרית" יכולה לעזור להבין את המשפט אינטואיטיבית
    כי אם נגזרת האינטגרל היא
    F(x+h)-F(x)/h
    אז כשh מאוד קטן המונה מאוד קרוב למלבן
    ואם נחלק אותו ברוחב המלבן, נקבל את גובה המלבן.
    עכשיו יש תחושה טובה לגבי דרישת הרציפות – בלעדיה השטח לא יתקרב למלבן

  19. אני לא בטוח באיזה מובן יש לקרוא לדבר הזה "הכללה". אני חושב שזה שימוש באינטגרל כדי להוכיח את משפט טיילור עבור שארית שנתונה על ידי אינטגרל…

  20. פינגבאק: אז מה זה אינטגרל? « לא מדויק

  21. בתיכון היה לי מורה מופלא למתמטיקה שרק מאוחר יותר הבנתי את עצמתו. הוא הסביר את הדברים כך (אני מפשט ומזניח את הקונסטנטה האדיטיבית שכה רבות דוין בה)
    תהא נתונה הפונקציה f (מומלץ לצייר איזו פונקציה) וגם הפונקציה F הנותנת – עבור כל x – את השטח שתחת f בין 0 (כאן עקפתי את ה C) לx.
    כעת נגזור את F.
    F'(x) = ( F(x+h) – F(x) ) / h
    F(x+h) – F(x הוא שטח המלבן שרוחבו h וגובהו (התבוננו בציור שציירתם) הוא f(x ואם מחלקים ב h רואים בתדהמה שאכן F' = f
    ומזה נובע בפשטות שהיקף מעגל הוא נגזרת השטח (לפי R) ומעטפת כדור נגזרת הנפח ולשעורי בית נשאר רק להסביר למה זה לא עובד על רבוע וקוביה

  22. גדי, הבטחת בתגובות ובפוסט פוסטים שיעסקו בשימושי הנגזרת. אני חושב שחבל שלא כתבת אותם, ושכדאי להוסיף לרשימת הנושאים גם את השרשרת פרמה-רול-לגראנז'-קושי (משפט פרמה לנקודות קיצון, משפט רול, משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומשפט הערך הממוצע של קושי). אני חושב שלפחות את השניים הראשונים אפשר בהחלט להבין עם הידע שנתת פה(להבין, לא להוכיח!) ואולי גם את השלישי, מה גם שהשתמשת במשפט לגראנז' כאשר הוכחת את זה שאם (F-G)'=0 הם נבדלים זה מזה בקבוע בלבד – ובאמת, שלושת הראשונים הם מאוד "הגיוניים" ומובנים. משפט הערך הממוצע של קושי הוא כבר הרבה פחות טריוויאלי.

  23. גדי, לא דורשים מתלמידי תיכון לכתוב את האיבר החופשי בחישוב אינטגרל מסוים, למעשה מסבירים להם שאין צורך כי הוא מצטמצם במילא. כן דורשים מהם לכתוב אותו כאשר הם מבצעים אינטגרל לא מסוים על מנת למצוא פונקציה קדומה.

  24. פינגבאק: החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ("שיטת ההצבה") | לא מדויק

  25. תודה רבה!! פוסט נהדר ונותן אינטואיציה חזקה שעוזרת בחשיבה על בעיות עם אינטגרלים!!

  26. היי גדיאל!
    אני ממש נהנה לקרוא את המאמרים שלך, קראתי בינתיים רק שלושה – אחד על נגזרת אחד על אינטגרל ואחרון חביב המאמר הזה. אז קודם כל תודה רבה על המאמרים.
    שאלות שעדיין נותרו תמוהות בעיניי הם:
    1. למה נגזרת גוזרים כמו שגוזרים? מי קבע שX^2 נגזר ל2X? או ליתר דיוק איך הוא הגיע לזה? מי קבע את חוקי הנגזרות
    2. אותה שאלה נשאלת לגבי האינטגרל שהם בעצם שאלות דיי משלימות.
    3. לא הבנתי איך הוכחת שאינטגרל מוצא את הפונקציה הקדומה. הבנתי איך חישוב השטח מתבצע באמצעות חלוקה למלבנים עם רוחב קטן ששואף ל0, למרות שעדיין נשאלת השאלה איך המחשבון מחשב את השטח? הוא פשוט קובע n כמספר מאד מאד גבוהה? ואילו הנגזרת מוצאת את הנגזרת (כן, אני יודע שזה נשמע קצת דבילי…).
    דרך אגב, לפי ההסבר לגבי הנגזרת, מדוע לא מסכימים לתלמידים למצוא שיפוע של משיק בנקודה מסויימת על פי שתי נקודות מאד מאד סמוכות? אני מניח שזה קשור לסיבה שבאופן כלשהו חוקי האינטגרל והנגזרת מאפשרים לנו להגיע לרמת דיוק של 100% (אני לא יודע אם זה נכון).

  27. 1. אף אחד לא "קבע" את זה. זה מה שיוצא מההגדרה. יש לי פוסט בנושא:

    http://www.gadial.net/2010/12/01/deriving_ourselves_to_death/

    2. זו אותה התשובה.

    3. לא הוכחתי פה את המשפט.

    לגבי איך המחשבון מחשב, זה שייך לתחום שנקרא "אנליזה נומרית". אפשר לחשב אינטגרלים מסויימים בצורה מדויקת כפי שאנחנו מחשבים, ואינטגרלים אחרים אפשר לחשב בצורה מקורבת טובה באמצעות שיטות שדומות ל"לקבוע את n כמספר מאוד גבוה" אבל הן חכמות יותר. טיפה מדברים על כך פה:

    https://he.wikipedia.org/wiki/שיטות_נומריות_לחישוב_אינטגרלים_מסוימים

    לגבי "שתי נקודות מאוד מאוד סמוכות" – לא יודע מה זה אומר. בדרך כלל זה יתן שיפוע שגוי, ועדיף להשתמש בנגזרת כדי לחשב את השיפוע המדויק.

  28. לגבי השאלה שנשאלה למה (אינטואיטיבית) קשה יותר לבצע אינטגרציה מגזירה:
    בגזירה מאבדים נתונים, ובאינטגרציה מחפשים את הנתונים שאבדו.
    זה קצת יותר מלהגיד שלאינסוף פונקציות יש את אותה הנגזרת, אבל גם זה נראלי מספק את האינטואיציה.

  29. לא משמעותי, אבל בפסקה החמישית, בשורה השנייה מהסוף נפלה שגיאת הקלדה קטנה ופלוס הפך למינוס.

  30. אכן יש תלמידי תיכון שהגיעו לסוף סדרת הפוסטים :-)
    לגבי מה שכתבת שמכריחים להוסיף את ה+c המעצבן הזה, זה לא לגמרי נכון כי באינטגרל מסוים לא מבקשים לכתוב אותו. מתי שדורשים לכתוב אותו זה בתרגילים שבהם מבקשים את הפונקציה הקדומה באמצעות אינטגרל לא-מסוים ובתוספת נתון על הפונקציה כך שאח"כ מוצאים את אותו c.
    דרך אגב ההבנה הזאת של c עזרה לי להגיע לתובנות משלי כמו לדוגמה כשלא הבנתי איך יתכן שהנגזרת של ln(ax) שווה בדיוק לנגזרת של ln x כי אז איך באינטגרציה מוצאים את הפונקציה הקדומה? ואז הצלחתי להבין ש-
    ln(ax)=ln x+ ln a
    ובעצם ln a הוא קבוע ולכן הגיוני שימצאו שני אינטגרלים שונים.

  31. יכול להיות שהסיבה שנוצר אצלך רושם שדורשים סתם את c היא בגלל התרגולים הראשונים של הנושא שבהם נותנים סתם יותר מדי סוגים שונים של פולינומים ודורשים לטגרל כל אחד ולציין את ה-c למרות שאין לו באמת שימוש כאן. כנראה בשביל להרגיל לכתוב אותו.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.