המעשה המופלא בקבוע המסתורי 0x5f3759df (חלק א' – הקל)

למתמטיקאים יש את סיפורי המסתורין שלהם. המפורסם מביניהם הוא ככל הנראה הערה ששרבט פייר דה פרמה בשולי ספר ה"אריתמטיקה" של דיופנטוס שלו, שבה העיר שהכללה של טענה שהופיעה בספר היא שגויה תמיד וש"בידי הוכחה מופלאה למשפט אך שולי ספר זה … להמשיך לקרוא

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות (סוג של אפילוג)

אפשר לדבר על חבורות עוד ועוד ועוד ועוד וזה לעולם לא יסתיים. לרוב מפסיקים את הדיבור הבסיסי אחרי שמציגים מספיק דברים בסיסיים שאפשר להשתמש בהם בכל רחבי המתמטיקה, וזה גם מה שאני בוחר לעשות. כדי להצדיק את המקום שבו אני … להמשיך לקרוא

בואו נמיין חבורות!

מבוא בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות היעד הצנוע שאני שואף אליו הוא להבין בדיוק איך נראות כל החבורות עד וכולל סדר 20. למה היעד השרירותי הזה? כי כדי להגיע אליו אנחנו זקוקים בדיוק לסט הכלים והמושגים הבסיסיים של תורת … להמשיך לקרוא

קומוטטורים וחבורות פתירות

סדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות התחילה ברובה עם חבורות אבליות, כאלו שבהן \(ab=ba\). חבורות כאלו, הזהרתי מראש, הן פשוטות יחסית. בפוסטים האחרונים אנחנו לאט לאט נוגעים בכל מני חבורות לא אבליות מעניינות כמו חבורת התמורות והחבורה הדיהדרלית, ומדברים על … להמשיך לקרוא

למה מינוס כפול מינוס זה פלוס?

מבוא ביקשו ממני להסביר דבר פשוט לכאורה שכולם לומדים בבית הספר היסודי: שמינוס כפול מינוס הוא פלוס. אם לדבר קונקרטית, ש-\(\left(-3\right)\times\left(-5\right)=15\). למה? למה זה נכון? לשאלה הזו יש שתי תשובות מיידיות. הראשונה היא שזה נובע מייד מהתכונות הבסיסיות של כפל … להמשיך לקרוא

מכפלות חצי ישרות

מבוא במסגרת העיסוק שלנו בחבורות ראינו עוד ועוד דרכים לתאר חבורות ולבנות חבורות חדשות מחבורות קיימות. עכשיו הגיע הזמן לסגור את החור האחרון שאני רוצה לסגור כרגע (למרות שכמובן, זה רחוק מלהיות סוף הסיפור באופן כללי) ולהראות בניה כללית וחזקה … להמשיך לקרוא

בסיסי ספירה

בואו נדבר על 12. מה זה 12? סביר להגיד שזה המספר שאחד מהשמות שלו הוא "תריסר" וזה גם נכון, אבל 12 יכול לומר עוד דברים, למשל שמונה-עשרה. או חמש. בפוסט הזה אני רוצה להסביר את ההגיון מאחורי זה, בצורה שאני … להמשיך לקרוא

משפטי סילו

מבוא אחת מהתוצאות הבסיסיות על המבנה של חבורות שראינו הייתה משפט לגראנז': אם \(G\) חבורה סופית ו-\(H\) תת-חבורה שלה אז הסדר של \(H\) מחלק את הסדר של \(G\). המשפט הזה מייד העלה את השאלה אם גם הכיוון ההפוך נכון: אם … להמשיך לקרוא

פעולה של חבורה על קבוצה

מה זה בכלל בפוסט הקודם שלי דיברתי על סימטריות. סימטריה של צורה כלשהי הייתה פונקציה מהמישור לעצמו (הפיכה ומשמרת מרחקים) שכשהיא הופעלה על הצורה הזו החזירה כפלט את הצורה עצמה. אולי היא "ערבבה" את הנקודות שמרכיבות את הצורה, אבל קבוצת … להמשיך לקרוא

החבורה הדיהדרלית

פעם אחת, לפני שנים רבות רבות, לפני שעוד היו לפטופים ואולי בכלל לפני המצאת המחשב, נהגו להשתמש במשהו מוזר שנקרא "שקפים" כדי להראות מצגות. שקף, כשמו כן הוא, היה דף שעשוי מחומר שקוף שהאור עובר דרכו. על השקף היו כותבים … להמשיך לקרוא

בואו נדבר על מכפלות של חבורות וחבורות אבליות

מכפלה של חבורות את סדרת הפוסטים על חבורות התחלנו בלהסביר מה זו חבורה, ואז לנסות להבין איך נראות החבורות הקטנות ביותר, להסתבך, להתייאש ולעבור לדברים אחרים, תיאורטיים וכלליים יותר. עכשיו אני רוצה לחזור לשאלת "אילו חבורות יש". כפי שכבר ראינו, … להמשיך לקרוא

חבורות של תמורות

מבוא עד כה בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות ראינו תוצאות אבסטרקטיות שנכונות לכל החבורות (או לכל החבורות הסופיות), ובתור דוגמא ראינו את חבורת השלמים. הבעיה היא שזו דוגמא פשוטה מדי: ראינו שהשלמים הם חבורה ציקלית, וגם החבורות שמוגדרות באמצעותה … להמשיך לקרוא

משפטי האיזומורפיזם של חבורות

בפוסט הקודם שלי דיברתי על משפט האיזומורפיזם הראשון של חבורות שאמר ש-\(G/\ker f\cong\text{Im}f\) לכל הומומורפיזם \(f\) שמוגדר על \(G\) (או בניסוח אחר, אם \(G\to H\) הוא הומומורפיזם על, אז \(G/\ker f\cong H\)). המילה "הראשון" מרמזת שיש עוד משפטי איזומורפיזמים, ואני … להמשיך לקרוא

הומומורפיזמים של חבורות

בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות פיזרתי עד כה על ימין ועל שמאל הבטחות מסוג "שתי החבורות הללו הן בעצם אותו הדבר במובן מסויים כלשהו שאני לא אומר עליו כלום כרגע אבל בבקשה בבקשה תאמינו לי". הגיע הזמן להציג את … להמשיך לקרוא

קוסטים, משפט לגראנז' וחבורות מנה

בפוסט הקודם של תורת החבורות דיברנו על תתי-חבורות והזכרתי את משפט לגראנז'. המשפט אומר שאם $latex G$ היא חבורה סופית, ו-$latex H$ היא תת-חבורה שלה, אז $latex \left|H\right||\left|G\right|$ – הסדר של $latex H$ מחלק את הסדר של $latex G$ ("סדר" של … להמשיך לקרוא

תתי-חבורות וחבורות ציקליות

בפוסט הקודם הצגתי את המושג של חבורה. ראינו כמה דוגמאות, ואז ניסינו להבין מהן החבורות הפשוטות ביותר. הגענו עד גודל 5 לפני שהתייאשנו משיטת העבודה עם טבלת כפל והגענו למסקנה שצריך כלים יותר נוחים, אבל כבר הספקנו לראות תופעה מוזרה: הייתה … להמשיך לקרוא

אז מה זו בעצם חבורה?

את סדרת הפוסטים שלי על אלגברה מופשטת אני רוצה להתחיל עם המושג שבדרך כלל מתחילים ממנו ספרים באלגברה מופשטת – חבורה. זה לא המושג הראשון שסטודנטים נתקלים בו (לרוב הם פוגשים קודם שדות ומרחבים וקטוריים) וגם לא המושג הפשוט ביותר, … להמשיך לקרוא

אז מה זו אלגברה מופשטת?

אני רוצה להתחיל סדרת פוסטים על נושא שאמנם הופיע לא מעט בבלוג בעבר, אבל תמיד בתפזורת שכזו ונותרו בו הרבה חורים, ולדעתי הגיע הזמן להציג אותו בצורה מסודרת יותר – אלגברה מופשטת. קשה להפריז בחשיבות התחום הזה – הוא ככל … להמשיך לקרוא

בואו נפתור את הבגרות במתמטיקה! (חלק ב')

אני ממשיך את מה שעשיתי בפוסט הקודם – פותר בחינת בגרות במתמטיקה, והפעם את חלק ב' שלה. והפעם, כבונוס, אני מתאר שתי טעויות מביכות במיוחד שהיו לי בפתרונות ולא שמתי לב אליהן בזמן אמת! הבגרות היא שאלון 317 של קיץ … להמשיך לקרוא

בואו נפתור את הבגרות במתמטיקה! (חלק א')

בשנים האחרונות יש עיסוק הולך וגובר בבגרות במתמטיקה. טוב, על מי אני עובד, תמיד התעסקו בה. אבל בשנים האחרונות עניין 5 יחידות עלה לכותרות שוב ושוב. זה מעורר בי את התהיה – האם אני יודע לפתור את הבגרות במתמטיקה בימינו? … להמשיך לקרוא