משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין – ועכשיו בגרסת המלון של הילברט!

אני הולך לעשות משהו שעדיין לא עשיתי בבלוג – לכתוב מחדש פוסט על נושא שכבר יש לי פוסט עליו בדיוק; במקרה הנוכחי, הוכחת משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין. כאילו שזה לא מעליב מספיק, אני אתן פה את אותה ההוכחה כמו בפוסט ההוא. אז … להמשיך לקרוא

סדרות לוקאס ומבחני ראשוניות

בפוסט הקודם התעסקתי בראשוניי מרסן והקשר הקרוב שלהם למספרים מושלמים. זה עשה לי חשק לדבר על עוד סיבה שבגללה ראשוניי מרסן הם מעניינים, אולי הסיבה הבולטת ביותר למי שלא מתעסקים במתמטיקה ונתקלים מדי פעם בכותרות בעיתונים: יש מבחן לבדיקת ראשוניות … להמשיך לקרוא

מספרים מושלמים וראשוניי מרסן

לפני זמן מה פנה אלי מישהו בשאלה – הוא הסתכל על רשימת המספרים המושלמים (מה זה מספר מושלם? תכף נגיע לזה), שם לב לכך שכל המספרים בה מסתיימים ב-6 או ב-28 ורצה לדעת אם זה מקרי או לא. או אחת … להמשיך לקרוא

צורת ז'ורדן והצורה הרציונלית – התיאוריה

הקדמה מרגשת הפוסט הזה מיועד לסגור את שרשרת הפוסטים שלי על אלגברה לינארית שעוסקים בנושא של צורות קנוניות – וככזה, כמובן שלא יהיה ניתן להבין ממנו כמעט כלום בלי לקרוא את הפוסטים הקודמים או בלי להכיר אלגברה לינארית. בכל זאת, … להמשיך לקרוא

על מספרים שאינם ניתנים למציאה בפיתוח העשרוני של 1/998001 ושברים דומים

המניע לפוסט הזה הוא וידאו של נמברפיל שאותו לא ראיתי וכרגיל בעניינים הללו אדבר כאן כאילו הוא לא קיים בכלל. הוא עוסק בקסם מתמטי נפלא, מהסוג שאפשר להסביר פחות או יותר לכולם (והפוסט הזה ינסה להיות נגיש לכולם, ואם אתם … להמשיך לקרוא

משפט הפירוק הציקלי

חלק ראשון, שבו הרבה הגדרות והסערה היא רק הבטחה באופק בפוסט הקודם הצגתי את התכל'ס של צורת ז'ורדן, והבטחתי שאראה בהמשך גם את התיאוריה שמאחוריה. בפרט, למרות שהראיתי את השיטה למציאת צורת ז'ורדן, לא באמת הוכחתי שהיא קיימת או יחידה. … להמשיך לקרוא

צורת ז'ורדן, התכל'ס

מבוא ובו סיפור חיים מרגש ומטריצות, הרבה מטריצות בזמנו כתבתי סדרת פוסטים על אלגברה לינארית, ששיאה היה אמור להיות פוסט על צורת ז'ורדן. בפועל הגעתי עד למשפט הפירוק הפרימרי (גם זה סוג של שיא) ושם נתקעתי, כי את צורת ז'ורדן … להמשיך לקרוא

על יריעות ותבניות (מה משפט סטוקס אומר, בגדול)

מבוא כל סדרת הפוסטים שלי על אנליזה וקטורית עד כה תיארה פחות או יותר את מה שרואים בקורס הבסיס בנושא (שלרוב זוכה לשמות כמו "חדו"א 2" או "אינפי 3" או "חשבון אינפיניטסימלי במספר משתנים" וכדומה). ה"שיא" של קורסי הבסיס הוא … להמשיך לקרוא

איך חישב ארטוסתנס את היקף כדור הארץ

יום אחד, לפני אלפיים ומשהו שנים, קם אדם בבוקר והחליט שהופס – היום הוא ימדוד את היקף כדור הארץ. הלך כמה צעדים, עמד בשמש, מדד איזה צל שהיה בסביבה, עשה עוד איזה חישוב – וסיים! הוא חישב את היקף כדור … להמשיך לקרוא

ההוכחה הארוכה ביותר בהיסטוריה! (או: איך פותרי SAT מתגברים על בעיות קומבינטוריות, אבל היי זה שם פחות מפוצץ)

לפני חודש וקצת הצליחה תוצאה מתמטית נחמדה להיכנס אל החדשות לא בשל הסיבות שבגללן היא טובה, אלא בעיקר אלו שבגללן היא בעייתית: ההוכחה שלה היא (לכאורה) בגודל מפלצתי של 200 טרה-בייט. כמה זה הרבה? נאמר, זה פי 40 יותר מידע … להמשיך לקרוא

בואו נוכיח שיש אינסוף ראשוניים!

אחת מהתוצאות המתמטיות הבסיסיות המפורסמות ביותר היא שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. זו תוצאה נפלאה, בגלל שכל כך קל לומר מה בדיוק היא אומרת, מאוד קל להוכיח אותה, והיא אומרת משהו לא מובן מאליו ובעל השלכות מעניינות. בפוסט הזה אני ארצה … להמשיך לקרוא

על מטבעות, שיקויים ובסיסי ספירה

אני רוצה לתאר הפעם שתי חידות מפורסמות. הן לא קלות, אבל לשתיהן יש פתרון טריוויאלי וכמעט מיידי למי שמצויד בידע המתמטי הנכון, ולכן הן כל כך נחמדות. נתחיל מלהציג אותן; כתמיד, אני מזמין את כל מי שנקלע בטעות לפוסט הזה, … להמשיך לקרוא

אינטגרל משטחי

בפוסט הקודם דיברנו על אינטגרל קווי, שהוא מה שמקבלים כשמנסים לבצע אינטגרציה על פונקציות שחיות ב-\(\mathbb{R}^{n}\) אבל על תחום שהוא חד-ממדי. הצליח לנו יפה, וכמובן שאצל מתמטיקאים הגישה היא שאם משהו עובד יפה במימד אחד למה לא לנסות גם בשני מימדים. … להמשיך לקרוא

האם סדרת פיבונאצ'י מסתתרת באלפבית העברי?

בסדרת הפוסטים שלי על דילוגי אותיות בתורה אמרתי פחות או יותר את כל מה שיש לי לומר על הנסיונות המוזרים לרתום את מה שנראה כמו צירופי מקרים בלתי אפשריים כדי "להוכיח" משהו שלא באמת יכולה להתקיים עבורו הוכחה. אבל זה … להמשיך לקרוא

אינטגרל קווי

בראשית בראו ניוטון ולייבניץ את אינטגרל רימן (רימן בא אחרי ניוטון ולייבניץ, אז מה זה השם הזה? לא נורא, בכל סיפור בריאה טובה צריך סתירות פנימיות). ויהא אינטגרל רימן אינטגרל של פונקציה \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) שמוגדר על קטע \(\left[a,b\right]\subseteq\mathbb{R}\). ויהי ערב ויהי … להמשיך לקרוא

החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – המשפט הכללי

אחרי פוסט המבוא בנושא, אנחנו רוצים להוכיח את משפט החלפת המשתנים הכללי בחדו"א, עבור אינטגרלים \(n\)-ממדיים. לפני הכל נתחיל בלהזכיר מה המשפט אומר: אם \(g:A\to B\) היא דיפאומורפיזם של קבוצות פתוחות ב-\(\mathbb{R}^{n}\) ו-\(f:B\to\mathbb{R}\) רציפה, אז \(f\) אינטגרבילית מעל \(B\) אם … להמשיך לקרוא

שני דברים מתפלגים אחיד: ראשוניים וטעויות בעיתונים (ואני לא בטוח בקשר לראשוניים)

  לא מזמן עלתה לכותרות בעיתונות תוצאה מתמטית חדשה שעוסקת במספרים ראשוניים. זה די הפתיע אותי כי התוצאה היא אמנם מעניינת, אבל למה שתעניין במיוחד אנשים שאינם מתעניינים במתמטיקה? אולי בגלל האופי שלה, שנראה על פניו "אמפירי" משהו; אולי בגלל … להמשיך לקרוא

האם תלמידה גילתה משפט חדש בגאומטריה אוקלידית? (לא, אבל זה עדיין נחמד)

הנה סיפור יפה על איך ראוי, לדעתי, ללמד וללמוד מתמטיקה בבית הספר התיכון: תמר ברבי, תלמידת כיתה י', הכינה שיעורי בית בגיאומטריה ושמה לב לכך שאפשר לפתור את אחד התרגילים בדרך נוספת. היא הציגה את הדרך הזו בכיתה והמורה העיר … להמשיך לקרוא

מידת ז'ורדן ואינטגרלים מוכללים

הפוסט הזה יהיה קצת טכני ובהתחלה קיוויתי להימנע ממנו, אבל זה יכריח אותי לבצע קפיצות מהירות וגדולות מדי בפוסטים בהמשך, ואני חושב שהנושא הנוכחי מספיק מעניין בפני עצמו. מה שאנחנו רוצים לעשות הוא להבין קצת יותר טוב איך נראים אינטגרלים … להמשיך לקרוא

על כדורים שטוחים וחצאי הרים

יש אנשים שאם מביאים להם כדור, נאמר כדור הארץ, מייד מתחילים להגיד שלא! זה שטוח! זה מישור! כי הנה, תראו, אני עומד על הכדור, ואני מסתכל לכל הכיוונים, ולכל אשר אני מסתכל, הכל שטוח! אז זה מישור! לא כדור! לאנשים … להמשיך לקרוא