אולי התוצאה המעניינת ביותר באלגברה לינארית בסיסית היא הקשר שיש בין טרנספורמציות לינאריות \(T:V\to V\) המוגדרות על מרחב וקטורי ממימד סופי \(V\) ובין מטריצות. כזכור, מרגע שבו אנחנו קובעים בסיס \(B\) ל-\(V\), אוטומטית נובעת מכך התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אוסף הטרנספורמציות הלינאריות \(T:V\to V\) (לפעמים אכתוב "אופרטור לינארי" במקום; המילה "אופרטור" רומזת שמדובר על טרנספורמציה ממרחב לעצמו) ובין המטריצות מסדר \(n\times n\) מעל אותו שדה כמו \(V\), כאשר \(n\) הוא מימד המרחב \(V\). הרעיון בהתאמה הזו הוא שמתקיים השוויון \(\left[T\right]_{B}\left[v\right]_{B}=\left[T\left(v\right)\right]_{B}\) – במילים, הכפלת המטריצה שמייצגת את האופרטור \(T\) בוקטור הקואורדינטות שמייצג את הוקטור \(v\) על פי הבסיס \(B\) מחזירה את וקטור הקואורדינטות של \(T\left(v\right)\) על פי \(B\). עבור בסיסים שונים, ל-\(T\) יהיו מטריצות מייצגות שונות, ואחד מהדברים שעוסקים בהם באלגברה לינארית הוא השאלה הבאה: בהינתן \(T\), אילו בסיסים קיימים שבהם \(\left[T\right]_{B}\) היא פשוטה במיוחד (למשל, אלכסונית)?

על כל זה כבר דיברתי בעבר. ההקשר הנוכחי שלנו הוא מרחבים וקטוריים עם מבנה נוסף – מרחבי מכפלה פנימית. בפרט, אנחנו רוצים להבין איך המושג של אופרטור צמוד בא לידי ביטוי במטריצות. כזכור, אם \(T\) הוא אופרטור אז קיים אופרטור יחיד \(T^{*}\) כך שמתקיים \(\left\langle T\left(v\right),u\right\rangle =\left\langle v,T^{*}\left(u\right)\right\rangle \) לכל \(v,u\in V\). הוכחת הקיום של \(T^{*}\) היא אמנם קונסטרוקטיבית, במובן זה שאפשר להבין ממנה איך למצוא את \(T^{*}\), אבל בדרך עקיפה וסבוכה; יהיה הרבה יותר פשוט לקבוע בסיס כלשהו ולמצוא ל-\(T^{*}\) מטריצה מייצגת על פי הבסיס הזה בהינתן המטריצה המייצגת של \(T\). אלא שכפי שנראה בקרוב, כבר אי אפשר לקחת "סתם" בסיס – כדי שמציאת המטריצה של \(T^{*}\) מתוך המטריצה של \(T\) תהיה פשוטה, אנחנו צריכים לקחת בסיס אורתונורמלי למרחב. למזלנו מובטח לנו שתמיד יש כזה, אבל מציאה של בסיס כזה עשויה להיות כרוכה לפעמים בחישובים לא נעימים.

אם כן, יהא \(B=\left\{ b_{1},\dots,b_{n}\right\} \) בסיס אורתונורמלי ל-\(V\)ותהא \(T\) טרנספורמציה כלשהי. נסמן \(A=\left[T\right]_{B}\). איך נראית \(A\)? העמודה ה-\(j\)-ית של \(A\) היא בעצם וקטור הקואורדינטות, לפי \(B\), של \(T\left(b_{j}\right)\) (למה? ובכן, צריך להוכיח את זה). עכשיו, עבור בסיסים אורתונורמליים אנחנו יודעים למצוא בקלות את הקואורדינטות של וקטור \(v\) לפי הבסיס \(B\): הקואורדינטה שמתאימה לאיבר הבסיס \(b_{i}\) היא פשוט \(\left\langle v,b_{i}\right\rangle \). לכן במקרה שלנו, \(A_{ij}=\left\langle T\left(b_{j}\right),b_{i}\right\rangle \) (הכניסה בשורה ה-\(i\) והעמודה ה-\(j\) במטריצה היא המכפלה הפנימית \(\left\langle T\left(b_{j}\right),b_{i}\right\rangle \)).

באופן דומה, אם \(A^{*}\) היא המטריצה המייצגת של \(T^{*}\) אז יתקיים עבורה \(A_{ij}^{*}=\left\langle T^{*}\left(b_{j}\right),b_{i}\right\rangle \). עכשיו אעשה תעלול קטן ופשוט אחליף את האינדקסים: \(A_{ji}^{*}=\left\langle T^{*}\left(b_{i}\right),b_{j}\right\rangle \). כעת שימו לב לזה:

\(A_{ij}=\left\langle T\left(b_{j}\right),b_{i}\right\rangle =\left\langle b_{j},T^{*}\left(b_{i}\right)\right\rangle =\overline{\left\langle T^{*}\left(b_{i}\right),b_{j}\right\rangle }=\overline{A_{ji}^{*}}\)

מה הלך פה? השתמשתי במעברים פה בכך ש-\(T^{*}\) צמודה ל-\(T\), ובכך שמכפלה פנימית מקיימת הרמיטיות – אפשר להחליף את הסדר של שני המוכפלים, במחיר של הצמדה (במשמעות של "צמוד מרוכב") של הערך של המכפלה (כבר הסברתי בעבר למה ההצמדה הזו הכרחית). הגענו למסקנה ש-\(A^{*}\) מתקבלת מ-\(A\) על ידי הצמדה (מרוכבת) ושחלוף של \(A\) (הפיכת השורה ה-\(i\) של \(A\) לעמודה ה-\(i\) של \(A^{*}\)). לדוגמה, אם

\(A=\left[\begin{array}{cc}1 & -3\\5-i & i\end{array}\right]\)

אז

\(A^{*}=\left[\begin{array}{cc}1 & 5+i\\-3 & -i\end{array}\right]\)

זה מוביל אותנו להגדרה – אם \(A\) היא מטריצה ריבועית, אז \(A^{*}\) היא המטריצה שמתקבלת משחלוף והצמדה של \(A\) והיא נקראת המטריצה הצמודה של \(A\). זה זמן טוב להזכיר עוד מטריצה שגם היא נקראת לפעמים "המטריצה הצמודה" והתנגשות השמות הזו היא אסון – מטריצה שקראתי לה המטריצה המצורפת ל-\(A\), שמסומנת בתור \(\mbox{adj}A\) ותיארתי בעבר בבלוג.

עכשיו, דיברנו על אופרטורים צמודים לעצמם ועל אופרטורים אוניטריים, וההגדרות עוברות באופן חלק למטריצות: מטריצה שמקיימת \(A^{*}=A\) נקראת מטריצה צמודה לעצמה או מטריצה הרמיטית, ואילו מטריצה שמקיימת \(A^{-1}=A^{*}\) נקראת מטריצה אוניטרית. בואו ננסה להבין איך הן נראות.

בתור התחלה, אם \(A^{*}=A\) עבור מטריצה שכל הכניסות בה ממשיות, פירוש הדבר הוא שהמטריצה סימטרית. כי היא שווה לשחלוף של עצמה. עבור כניסות מרוכבות המצב קצת יותר מסובך. הנה דוגמה למטריצה הרמיטית:

\(\left[\begin{array}{cc}1 & -i\\i & 1\end{array}\right]\)

כמו שאתם רואים, היא לא בדיוק סימטרית. אם נפרק אותה לסכום של שתי מטריצות שאחת מהן כוללת את כל הרכיבים הממשיים והשניה את כל הרכיבים המדומים נקבל שהמטריצה הממשית היא סימטרית, בעוד שהמטריצה המדומה היא אנטי-סימטרית (מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה \(A\) כך ש-\(A^{t}=-A\)). בפרט, האיברים על האלכסון הראשי של המטריצה שווים להצמדה של עצמם ולכן הם חייבים להיות מספרים ממשיים "טהורים". זה יהיה חשוב בהמשך.

בואו נעבור לדבר על מטריצות אוניטריות. ראשית כל אני רוצה להבין מה הדטרמיננטה של מטריצה כזו יכולה להיות. אם \(A^{-1}=A^{*}\) אז \(A\cdot A^{*}=I\) ולכן \(1=\left|I\right|=\left|AA^{*}\right|=\left|A\right|\left|A^{*}\right|\). ומהי \(\left|A^{*}\right|\)? תחושת הבטן היא ש-\(\left|A^{*}\right|=\overline{\left|A\right|}\), כלומר הדטרמיננטה של הצמוד היא ההצמדה המרוכבת של הדטרמיננטה של \(A\). לא קשה לראות את זה ישירות מההגדרה הפורמלית של דטרמיננטה, למשל בתור סכום של מכפלות. זכרו שלכל מספר מרוכב \(z\) מתקיים \(z\cdot\overline{z}=\left|z\right|^{2}\), ולכן המסקנה היא ש-\(\left|\det A\right|^{2}=1\) (עברתי לסמן דטרמיננטה ב-\(\det\) מסיבות ברורות). מכאן שהדטרמיננטה של \(A\) חייבת להיות 1 בערכה המוחלט (מכיוון שהיא עשויה להיות מספר מרוכב זה עדיין נותן לה לא מעט אפשרויות).

עכשיו בואו נעבור לדבר על מקרה קונקרטי יותר. ראשית כל, הבה וניזכר באופן כללי מהי ההופכית של מטריצה מסדר \(2\times2\) כלשהי. אם

\(A=\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]\)

אז ההופכית שלה היא

\(A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}\left[\begin{array}{cc}d & -b\\-c & a\end{array}\right]\)

לא מאמינים? פשוט תכפילו ותראו… הנוסחה הזו היא מקרה פרטי של המשפט לפיו \(A^{-1}=\frac{\mbox{adj}A}{\left|A\right|}\) שהראיתי בעבר. עכשיו, באופן כללי מתקיים

\(A^{*}=\left[\begin{array}{cc}\overline{a} & \overline{c}\\\overline{b} & \overline{d}\end{array}\right]\)

כך שאם מתקיים \(A^{-1}=A^{*}\) אנחנו יכולים להסיק את \(c,d\) בתור פונקציות של \(a,b\):

\(c=-\left|A\right|\overline{b}\)

\(d=\left|A\right|\overline{a}\)

מכיוון ש-\(\left|A\right|=ad-bc\) אז בפרט נקבל \(\left|A\right|=\left|A\right|a\overline{a}+\left|A\right|b\overline{b}=\left|A\right|\left(\left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}\right)\), כלומר \(\left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\).

כעת, אפשר לכתוב קונקרטית \(\left|A\right|=e^{i\theta}\) עבור \(0\le\theta\le2\pi\) – זו דרך ההצגה הקוטבית של מספר מרוכב עם ערך מוחלט 1. לכן נקבל שמטריצה \(A\) מסדר \(2\times2\) היא אוניטרית אם ורק אם היא מהצורה

\(\left[\begin{array}{cc}a & b\\-e^{i\theta}\overline{b} & e^{i\theta}\overline{a}\end{array}\right]\)

כך ש-\(\left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\).

במקרה של מטריצה עם מקדמים ממשיים העסק הופך לפשוט מאוד: במקרה הזה \(\overline{a}=a,\overline{b}=b\) ואילו \(e^{i\theta}\) יכול להיות רק 1 או \(-1\). לכן נקבל שיש בדיוק שני סוגים של מטריצות אוניטריות ממשיות:

\(\left[\begin{array}{cc}a & b\\-b & a\end{array}\right]\)

או

\(\left[\begin{array}{cc}a & b\\b & -a\end{array}\right]\)

בשני המקרים חייב להתקיים \(a^{2}+b^{2}=1\).

עכשיו, כל מטריצה כזו מגדירה אופרטור לינארי על \(\mathbb{R}^{2}\). מה האופרטורים הללו עושים? ראשית כל, השוויון הנחמד \(a^{2}+b^{2}=1\) מזכיר לי את הזהות המתמטית \(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\), אז בואו נסמן \(a=\cos\theta\) ו-\(b=-\sin\theta\) (שימו לב שצריך להוכיח שזה אפשרי – אשאיר זאת לכם). אז מטריצה מהסוג הראשון היא מהצורה

\(\left[\begin{array}{cc}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right]\)

יש סיכוי טוב שהמטריצה הזו מוכרת לכם, אבל במקרה שלא, בואו נבין מה המשמעות של כפל בה. מספיק להבין איך היא פועלת על אברי הבסיס הסטנדרטי:

\(\left[\begin{array}{cc}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos\theta\\\sin\theta\end{array}\right]\)

\(\left[\begin{array}{cc}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\sin\theta\\\cos\theta\end{array}\right]\)

אני מתעצל לצייר את זה, אבל ציירו! השוויון הראשון אומר שהוקטור האופקי שפונה "ימינה" (לצד החיובי של ציר \(x\)) עובר לוקטור שיוצר זווית של \(\theta\) מעל הכיוון החיובי של ציר \(x\). הוקטור שפונה "למעלה" עובר לוקטור שיוצר זווית \(\theta\) משמאל לכיוון החיובי של ציר \(y\), ובסך הכל המטריצה מסובבת את שני הוקטורים הללו בזווית \(\theta\) נגד כיוון השעון. מכיוון שהיא עושה זאת לוקטורים של בסיס כלשהו למרחב, זה מה שהיא עושה לכל וקטור – זוהי מטריצת סיבוב בזווית \(\theta\) (ובחרתי את \(a\) להיות \(\cos\theta\) ואת \(b\) להיות \(-\sin\theta\) כדי לקבל סיבוב במובן שאנחנו רגילים אליו – אם הייתי בוחר, למשל \(a=\sin\theta\) ו-\(b=\cos\theta\) עדיין הייתי מקבל סיבוב, אבל חשבו מה תהיה הזווית ומה יהיה הכיוון של הסיבוב).

מי שעדיין לא משוכנע יכול לכתוב במפורש מה המטריצה עושה על וקטור כללי, אבל כזה שנכתב בצורה קוטבית, של רדיוס וזווית עם הכיוון החיובי של ציר \(x\):

\(\left[\begin{array}{cc}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}r\cos t\\r\sin t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\cos\theta\cos t-r\sin\theta\sin t\\r\sin\theta\cos t+r\sin t\cos\theta\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\cos\left(t+\theta\right)\\r\sin\left(t+\theta\right)\end{array}\right]\)

כאשר המעבר האחרון נובע מהזהויות הטריגונומטריות הסטנדרטיות על סכום זוויות, וכעת אפשר לראות בבירור שהכפל במטריצה סובב את הוקטור בזווית של \(\theta\).

אם כן, הבנו מה עושה כל מטריצה אוניטרית מהצורה \(\left[\begin{array}{cc}a & b\\-b & a\end{array}\right]\). מה עם מטריצות מהצורה השניה? יש כמה דרכים להבין מה הן עושות, אבל בואו נתחיל מדרך שבה כדאי לנקוט תמיד עם מטריצות לא ברורות – ננסה ללכסן. המטריצה שלנו, כזכור, היא מהצורה

\(\left[\begin{array}{cc}a & b\\b & -a\end{array}\right]\)

כאשר \(a^{2}+b^{2}=1\). הפולינום האופייני, אם כן, הוא

\(\left(a-x\right)\left(-a-x\right)-b^{2}=x^{2}-a^{2}-b^{2}=x^{2}-1\)

והשורשים שלו הם 1 ו-\(-1\). מה אומר ערך עצמי 1? שיש תת-מרחב ממימד 1 – קו ישר העובר דרך הראשית – שהאופרטור מקבע – משאיר במקום ללא שינוי. ומה זה ערך עצמי \(-1\)? זהו קו ישר שהאופרטור מעביר כל נקודה בו אל הנגדי שלה – הנקודה האחרת על אותו קו שמרחקה מהראשית זהה. נסו לצייר את זה ותראו (אני מקווה) חיש קל שהאופרטור הזה הוא אופרטור של שיקוף ביחס לציר שהוא הישר שהאופרטור מקבע. בואו נמצא אותו על ידי כך שנמצא וקטור עצמי שמתאים לערך העצמי 1. לשם כך צריך לפתור את מערכת המשוואות הלינארית

\(\left[\begin{array}{cc}a-1 & b\\b & -a-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]\)

נניח ש-\(b\ne0\) ונפתור אותה עם דירוג סטנדרטי, תוך שימוש בכך ש-\(a^{2}+b^{2}=1\):

\(\left[\begin{array}{cc}a-1 & b\\b & -a-1\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{cc}-1 & b+\frac{a\left(a+1\right)}{b}\\b & -a-1\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{cc}1 & -\frac{1+a}{b}\\b & -\left(1+a\right)\end{array}\right]\to\left[\begin{array}{cc}1 & -\frac{1+a}{b}\\0 & 0\end{array}\right]\)

מכאן נקבל שכל פתרון של המשוואה הוא מהצורה \(\left(\frac{1+a}{b}t,t\right)\). אם נבחר, לצורך נוחות, \(t=b\) נקבל את היוצר \(\left(1+a,b\right)\). בדקו ישירות כדי לראות שהוא אכן וקטור עצמי!

אם תחזרו לאחד הפוסטים המוקדמים שלי על אלגברה לינארית תראו שכבר חישבנו פעם במפורש את המטריצה עבור אופרטור שיקוף, אבל הגענו לתוצאה שנראית מפחידה בהרבה. מטריצת השיקוף דרך ציר שנפרש על ידי \(\left(x,y\right)\) הייתה

\(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\left[\begin{array}{cc}x^{2}-y^{2} & 2xy\\2xy & y^{2}-x^{2}\end{array}\right]\)

ומה שראינו עכשיו הוא שאם \(\left(x-1\right)^{2}+y^{2}=1\) אז המטריצה שמתקבלת היא מהצורה

\(\left[\begin{array}{cc}x-1 & y\\y & 1-x\end{array}\right]\)

שהיא נחמדה יותר, אבל לא תמיד \(\left(x-1\right)^{2}+y^{2}=1\) ולא פשוט למצוא \(\left(x,y\right)\) שמקיימים את זה אם נתון לנו הישר שאנו רוצים לשקף דרכו.

בואו ננסה להבין את האופרטור הזה בצורה נוספת, כפי שעשינו עבור סיבוב – לכתוב הכל בצורה טריגונומטרית ולראות מה מקבלים:

\(\left[\begin{array}{cc}\cos\theta & \sin\theta\\\sin\theta & -\cos\theta\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}r\cos t\\r\sin t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\cos\theta\cos t+r\sin\theta\sin t\\r\sin\theta\cos t-r\sin t\cos\theta\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\cos\left(\theta-t\right)\\r\sin\left(\theta-t\right)\end{array}\right]\)

זה מזכיר סיבוב, אבל זה לא סיבוב בגלל שהזווית של הוקטור המקורי, \(t\), הפכה למינוס \(t\). קצת חשבון מראה שעבור \(t=\frac{\theta}{2}\) נקבל נקודות שבת של האופרטור, ולכן הפעולה שהאופרטור מבצע היא שיקוף ביחס לציר שהזווית שלו עם הכיוון החיובי של ציר \(x\) היא \(\frac{\theta}{2}\).

כל החישובים הללו מראים את שלל הדרכים שבהן ניתן להגיע למסקנה הבאה: האופרטורים הלינאריים היחידים על \(\mathbb{R}^{2}\) שמשמרים זווית ואורך הם סיבובים ושיקופים. זו לא תוצאה מובנת מאליה, ולדעתי זה יפה למדי איך שאפשר להגיע אליה בהתבסס על מה שאנחנו כבר יודעים על טרנספורמציות אוניטריות וקצת חשבונות.

אחרי שסיימנו עם המשחקים והדוגמאות מגיעה מאליה השאלה – מה הלאה? מה האתגר האמיתי שלנו? התשובה היא שהגיע הזמן לנסות להבין איך המושג של לכסינות של מטריצות משתלב עם מרחבי מכפלה פנימית, ובניסוח קונקרטי – בהינתן אופרטור לינארי מעל מרחב מכפלה פנימית, מתי קיים למרחב בסיס אורתונורמלי שבו האופרטור מיוצג על ידי מטריצה ריבועית, כלומר מתי קיים למרחב בסיס אורתונורמלי שמורכב כולו מוקטורים עצמיים של האופרטור? בשאלה הזו נעסוק בפוסט הבא בנושא.

אני חוזר לסדרת הפוסטים שלי על אלגברה לינארית, שנעצרה במרחבי מכפלה פנימית ובסוג מעניין אחד של אופרטורים לינאריים עליהם – אופרטורים צמודים לעצמם ("הרמיטיים"). הפעם אני רוצה לדבר על סוג מעניין אחר של אופרטורים, שנקראים אופרטורים אוניטריים; בהמשך נראה איך הכל מתחבר.

בואו ניזכר מה זו בכלל טרנספורמציה לינארית. אם יש לנו שני מרחבים וקטוריים \(V,W\) אז טרנספורמציה לינארית היא פונקציה \(T:V\to W\) שמשמרת את המבנה של המרחבים הלינאריים. מבנה של מרחב לינארי מתבטא בפעולות חשבוניות שמוגדרות עליו – חיבור של שני איברים, וכפל בסקלר של איבר. \(T\left(v+u\right)=T\left(v\right)+T\left(u\right)\) פירושו שבהינתן שני וקטורים \(v,u\) זה לא משנה אם קודם נחבר אותם ואז נפעיל עליהם את \(T\) או אם קודם נפעיל עליהם את \(T\) ואז נחבר אותם – בכל מקרה נקבל את אותה התוצאה בסוף (את הרעיון הזה מתארים לפעמים בעזרת דיאגרמה קומוטטיבית והוא חזק למדי, אבל אלו דברים שיחכו לפוסט אחר). אותו הדבר עם כפל בסקלר: \(T\left(\lambda v\right)=\lambda T\left(v\right)\) פירושו שלא משנה אם קודם נכפול את \(v\) בסקלר \(\lambda\) ואז נפעיל עליו את \(T\) או שקודם נפעיל עליו את \(T\) ואז נכפול ב-\(\lambda\) – בכל מקרה נקבל את אותה התוצאה.

עכשיו, מהו מרחב מכפלה פנימית? הוא מרחב וקטורי שהוספנו לו עוד מבנה, שמתבטא בפונקציה של מכפלה פנימית, שהיא פונקציה שמקבלת שני וקטורים ומחזירה סקלר, \(\left\langle v,u\right\rangle :V\times V\to\mathbb{C}\). אם נמשיך את קו המחשבה של שתי הדוגמאות הקודמות, אנחנו רואים שמחלקה מעניינת של טרנספורמציות לינאריות תהיה המחלקה של הטרנספורמציות שמשמרות את המכפלה הפנימית. כלומר, אם \(V,W\) הם שני מרחבי מכפלה פנימית ו-\(T:V\to W\), מעניין אותנו אם אפשר קודם להפעיל את \(T\) על זוג וקטורים ואז לכפול אותם, או קודם לכפול אותם ואז להפעיל עליהם את \(T\)… רגע, רגע, רגע, משהו לא מסתדר פה!

הנקודה שצריך לתת עליה את הדעת היא שמכפלה פנימית "מוציאה" אותנו מהמרחב \(V\). בניגוד לחיבור, שקיבל זוג וקטורים ב-\(V\) והחזיר וקטור ב-\(V\), מכפלה פנימית מעבירה אותנו מ-\(V\) אל \(\mathbb{C}\) ולכן כל עניין ה"התחלפות" שתיארתי לא עובד. עדיין, זו אינטואיציה טובה לדרישה שאני כן הולך לדרוש: שהמכפלה הפנימית של זוג וקטורים לא תשתנה אם נפעיל עליהם את \(T\), ובאופן פורמלי, \(\left\langle v,u\right\rangle =\left\langle T\left(v\right),T\left(u\right)\right\rangle \). שימו לב שהמכפלה הפנימית באגף שמאל היא המכפלה הפנימית של \(V\) ואילו זו באגף ימין היא המכפלה הפנימית של \(W\). לטרנספורמציה לינארית שמקיימת את התכונה הזו אקרא אוניטרית. דוגמאות מיידיות לטרנספורמציות כאלו הן גאומטריות באופיין: חשבו על \(\mathbb{R}^{2}\) עם המכפלה הפנימית הרגילה ועל הפעולות של סיבוב בזווית כלשהי סביב הראשית או של שיקוף ביחס לציר העובר דרך הראשית. אינטואיטיבית ברור למדי שאם מסובבים שני וקטורים באותה זווית גם האורכים שלהם והזווית ביניהם נשמרת, וב-\(\mathbb{R}^{2}\) עם המכפלה הפנימית הרגילה, המכפלה הפנימית של זוג וקטורים היא מכפלת האורכים שלהם בקוסינוס הזווית ביניהם, כך שברור שהיא תשתמר. יש עוד הרבה דוגמאות אך לא אציג אותן כרגע. תחת זאת, בואו ננסה להבין אילו עוד תכונות טרנספורמציות אוניטריות מקיימות.

ראשית כל, מכפלה פנימית הייתה קשורה בקשר הדוק לפונקציה דומה שנקראה נורמה: \(\|v\|=\left\langle v,v\right\rangle \). בבירור אם \(T\) אוניטרית אז \(\|T\left(v\right)\|=\left\langle T\left(v\right),T\left(v\right)\right\rangle =\left\langle v,v\right\rangle =\|v\|\), כלומר \(T\) משמרת גם את הנורמה של איברים (פורמלית: את הנורמה הספציפית שמושרית על המרחבים מהמכפלה הפנימית שביחס אליהם \(T\) אוניטרית). גם ההפך נכון – אם \(T\) משמרת נורמה, אז היא אוניטרית; זה נובע מכך שאם נורמה מושרית ממכפלה פנימית כלשהי, אז אפשר לכתוב את המכפלה הפנימית בתור נוסחה כלשהי שמערבת את הנורמה – זהות הפולריזציה שהראיתי בפוסט קודם. מכאן שכדי להראות שטרנספורמציה היא אוניטרית יספיק לי לפעמים להראות שהיא משמרת נורמה.

עכשיו קופץ משהו אחר לעיניים: כזכור, \(\|v\|=0\) אם ורק אם \(v=0\) (וקטור האפס), ולכן אם \(T\left(v\right)=0\) עבור \(v\) כלשהו, הרי ש-\(\|v\|=\|T\left(v\right)\|=\|0\|=0\) ומכאן נובע שגם \(v=0\). במילים אחרות, \(T\) מעבירה לוקטור האפס רק את וקטור האפס; מכך נובע ש-\(T\) הפיכה ("לא סינגולרית"). אם כן, כל טרנספורמציה אוניטרית היא גם הפיכה; אם \(T:V\to W\) היא אוניטרית ו-\(V,W\) הם מאותו מימד סופי (כרגיל, מכאן ואילך נדבר רק על מרחבים ממימד סופי) אז נובע מכך ש-\(T\) היא איזומורפיזם של \(V,W\) שגם משמרת את המכפלה הפנימית שלהם. בלשון פחות פורמלית זה אומר ש-\(V,W\) "הם אותו מרחב עד כדי שינוי שמות האיברים" וש-\(T\) היא בדיוק מה שמבצע את השינוי של שמות האיברים הללו.

דבר אחד שהוכחנו בעבר הוא שאם \(V\) הוא מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי, אז קיים לו בסיס אורתונורמלי \(\left\{ b_{1},\dots,b_{n}\right\} \). עכשיו, אם \(W\) הוא מרחב מאותו מימד כמו \(V\), מה נקבל כשנפעיל טרנספורמציה אוניטרית \(T:V\to W\) על אברי הבסיס? נקבל קבוצה \(\left\{ T\left(b_{1}\right),\dots,T\left(b_{n}\right)\right\} \) שהיא בבירור בסיס ל-\(W\) כי היא קבוצה בלתי תלויה לינארית ב-\(W\) עם מספר וקטורים ששווה למימד של \(W\) (למה היא בלתי תלויה? כי \(T\) הפיכה – נסו להוכיח!). כפי שאתם ודאי מנחשים, הבסיס שקיבלנו לא יהיה "סתם" בסיס, אלא בסיס אורתונורמלי, ובכך צצה לה תכונה נוספת של טרנספורמציות אוניטריות: הן מעבירות בסיסים אורתונורמליים לבסיסים אורתונורמליים.

העובדה שהבסיס החדש אורתונורמלי די מיידית. בסיס הוא אורתונורמלי אם לכל זוג איברים בו מתקיים \(\left\langle b_{i},b_{j}\right\rangle =\delta_{ij}\) (כאשר \(\delta_{ij}=\begin{cases}1 & i=j\\0 & i\ne j\end{cases}\) נקראת הדלתא של קרונקר), ובבירור \(\left\langle T\left(b_{i}\right),T\left(b_{j}\right)\right\rangle =\left\langle b_{i},b_{j}\right\rangle =\delta_{ij}\) כי \(T\) אוניטרית וה-\(b\)-ים שייכים לבסיס אורתונורמלי. מה שיותר מעניין הוא שהטענה הזו עובדת גם בכיוון השני, ואפילו בגרסה יותר חזקה: אם \(T:V\to W\) היא טרנספורמציה לינארית כלשהי כך שקיים בסיס אורתונורמלי אחד \(\left\{ b_{1},\dots,b_{n}\right\} \) של \(V\) בעל התכונה ש-\(\left\{ T\left(b_{1}\right),\dots,T\left(b_{n}\right)\right\} \) הוא בסיס אורתונורמלי של \(T\), אז \(T\) אוניטרית. ההוכחה, כרגיל במרחבי מכפלה פנימית, תעבור דרך העובדה שאנו בדיוק איך להציג כל איבר במרחב כצירוף לינארי של איברי הבסיס האורתונורמלי: אם \(v\in V\) אז \(v=\sum\left\langle v,b_{i}\right\rangle b_{i}\). זה גם מאפשר לנו לדעת איך \(T\left(v\right)\) ייראה: \(T\left(v\right)=\sum\left\langle v,b_{i}\right\rangle T\left(b_{i}\right)\).

בואו ניקח שני וקטורים \(v,u\in V\). אנו רוצים להראות ש-\(\left\langle v,u\right\rangle =\left\langle T\left(v\right),T\left(u\right)\right\rangle \). את החישוב של \(\left\langle v,u\right\rangle \) כבר עשיתי בפוסט קודם: מקבלים \(\left\langle v,u\right\rangle =\sum\left\langle v,b_{i}\right\rangle \overline{\left\langle u,b_{i}\right\rangle }\). עכשיו, אם נציב ב-\(\left\langle T\left(v\right),T\left(u\right)\right\rangle \) את הביטוי ל-\(T\left(v\right)\) ו-\(T\left(u\right)\) שמצאנו קודם, נקבל:

\(\left\langle T\left(v\right),T\left(u\right)\right\rangle =\left\langle \sum_{i}\left\langle v,b_{i}\right\rangle T\left(b_{i}\right),\sum_{j}\left\langle u,b_{j}\right\rangle T\left(b_{j}\right)\right\rangle =\sum_{i,j}\left\langle v,b_{i}\right\rangle \overline{\left\langle u,b_{j}\right\rangle }\left\langle T\left(b_{i}\right),T\left(b_{j}\right)\right\rangle \)

\(=\sum_{i,j}\left\langle v,b_{i}\right\rangle \overline{\left\langle u,b_{j}\right\rangle }\delta_{ij}=\sum_{i}\left\langle v,b_{i}\right\rangle \overline{\left\langle u,b_{i}\right\rangle }=\left\langle v,u\right\rangle \)

מה שמסיים את ההוכחה. עכשיו יש לנו שלושה קריטריונים שקולים לכך שטרנספורמציה היא אוניטרית: היא משמרת מכפלה פנימית, היא משמרת נורמה, והיא מעבירה בסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי.

הבנו איך טרנספורמציה אוניטרית מתנהגת "ברמת הוקטורים". עכשיו בואו ננסה להבין מה המבנה של אוסף כל הטרנספורמציות האוניטריות. נניח ש-\(T,S\) הן שתי טרנספורמציות אוניטריות, מה בדבר ההרכבה, \(TS\)? די בבירור גם היא אוניטרית, כי \(\|TS\left(v\right)\|=\|T\left(S\left(v\right)\right)\|=\|S\left(v\right)\|=\|v\|\). כמו כן, אם \(T\) היא אוניטרית ראינו שהיא הפיכה; אני טוען שגם \(T^{-1}\) אוניטרית, כי \(\|T^{-1}\left(v\right)\|=\|T\left(T^{-1}\left(v\right)\right)\|=\|v\|\) (למי שלא ברור לו מה הלך פה, סמנו \(u=T^{-1}\left(v\right)\) ושימו לב לכך ש-\(\|u\|=\|T\left(u\right)\|\) כי \(T\) אוניטרית).

- בואו ננסה עכשיו להבין אותה לאור מה שדיברנו עליו בפוסט הקודם על טרנספורמציות מעל מרחבי מכפלה פנימית – פעולת ההצמדה. כזכור, אם \(T:V\to V\) הייתה אופרטור לינארי (המילה "אופרטור" כאן באה לתאר טרנספורמציות ממרחב כלשהו אל עצמו, להבדיל מ"סתם" טרנספורמציה שיכולה להיות בין שני מרחבים שונים), הוכחנו שקיים ויחיד אופרטור \(T^{*}\) – הצמוד של \(T\), כך שמתקיים \(\left\langle T\left(v\right),u\right\rangle =\left\langle v,T^{*}\left(u\right)\right\rangle \) לכל זוג וקטורים \(v,u\in V\). אם \(T\) אוניטרית, האם יש לצמוד עוד תכונות מעניינות?

ובכן, זכרו שכבר ראינו כי \(T\) הפיך, כלומר קיים אופרטור שהוא בעצמו אוניטרי \(T^{-1}\) כך ש-\(TT^{-1}=T^{-1}T=I\). אני טוען שההופכי הוא גם הצמוד של \(T\); בואו ונראה למה:

\(\left\langle T\left(v\right),u\right\rangle =\left\langle T^{-1}T\left(v\right),T^{-1}\left(u\right)\right\rangle =\left\langle v,T^{-1}\left(u\right)\right\rangle \)

זה היה פשוט, לא? (איפה השתמשתי בכך ש-\(T^{-1}\) אוניטרי?)

סיימתי להגיד את כל מה שאני רוצה להגיד כרגע על טרנספורמציות אוניטריות לבדן. העניין הוא שבאלגברה לינארית יש לטרנספורמציות לינאריות בנות זוג הדוקות – מטריצות. בפוסט הבא ננסה להבין איך מטריצות נכנסות לכל עניין הטרנספורמציות צמודות-צמודות לעצמן-אוניטריות.