איי!

לפני מספר שנים (ליתר דיוק: ב-11/10/2004) פורסמה בעיתון "הארץ" ידיעה שדיווחה על סקר שביצע המגזין "Physics World" במטרה לדרג את הנוסחאות האהובות על קוראיו. אפשר ללעוג מכאן ועד להודעה חדשה על תחרות יופי שכזו (לטעמי, יופי מתמטי או פיזיקלי מוצא את ביטויו ברעיונות, לא במשוואות) אך מכיוון שברור שהסקר לא לקח את עצמו ברצינות, אין טעם לעשות זאת.

המשוואות הזוכות היו משוואות מקסוול הפיזיקליות (שעליהן לא ארחיב כאן), ונוסחת אוילר המתמטית. את נוסחת אוילר ניתן לכתוב בפשטות רבה, כך:

$latex e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

זוהי משוואה חשובה ומרכזית בכל הקשור לאנליזה מרוכבת, והיא גם חוסכת הרבה עבודת כתיבה עבור מי שרוצה לתאר מספר מרוכב בצורה פשוטה, אך המשוואה הפכה למפורסמת עוד יותר בשל קוריוז; אם מציבים בה $latex x=\pi$ מקבלים, אחרי העברת אגפים, את הזהות הבאה:

$latex e^{i\pi}+1=0$

הניחוש שלי, על סמך הכתבה ב"הארץ", הוא שזהות ספציפית זו (ולא המשוואה הכללית) היא שזכתה במקום הראשון, שכן (על פי "הארץ") "היא מכילה בנוסחה אחת את כל המרכיבים הבסיסיים של המתמטיקה".

לא אכנס כאן לשאלה מדוע הנוסחה נכונה; את זה עושים בכל קורס בסיסי באנליזה מרוכבת, וההוכחה היא טכנית למדי (למעשה, לפעמים כלל לא מוכיחים את הזהות, אלא מגדירים באמצעותה את המשמעות של העלאת e בחזקה מרוכבת) ומסתמכת על הצבת i בתוך טור הטיילור של אקספוננט ופירוקו לשני טורים, אחד של סינוס ואחד של קוסינוס. אם כל זה נשמע לכם כמו ג'יבריש, אל חשש, לא בכך אני רוצה לעסוק.

מה שמעניין אותי בנוסחה הוא אכן חמשת המרכיבים שלה: $latex e,i,\pi,1,0$ , שהם אכן הקבועים המוכרים והנפוצים ביותר במתמטיקה. ניתן להתווכח רבות על השאלה האם 1 ו-0 ראויים לתואר "קבועים" יותר מאשר, נניח, 42, ולדעתי הם אכן ראויים יותר, בשל התפקיד המיוחד שהם משחקים במערכת המספרים שלנו בתור איברים "נייטרליים" (אם מחברים מספר כלשהו עם אפס, המספר אינו משתנה; אם כופלים מספר כלשהו ב-1, המספר אינו משתנה).

שלושת הקבועים האחרים, לעומת זאת, מוכרים הרבה פחות לקורא ההדיוט, ואולי בגלל זה מיהר "הארץ" לפרסם כתבת "פרשנות", מספר ימים לאחר מכן, שתציג את מרכיבי הנוסחה ותסביר אותם. הכתבה התהדרה בשם הלא ברור "מטרנסצנדנטלי יוצא ריאלי" ולא עלה בידה לחמוק מאי הדיוקים הבלתי נמנעים שנובעים מכך שכותב הכתבה אינו מתמטיקאי, ולעיתון אין (ככל הנראה) עורך מתמטי. כך למשל נאמר בכתבה ש"במתמטיקה מספר כזה [שבכתיבתו כמספר עם שבר עשרוני אין לו שיעור] קרוי טרנסצנדנטלי." (לא נכון – הוא קרוי אירציונלי. טרנסצנדנטלי הוא מספר שאינו פתרון של אף משוואה פולינומית במקדמים רציונליים), או שפאי הוא "היחס בין הקוטר להיקף המעגל" (בדיוק להפך). לא נורא. אף קורא לא ייפגע מקריאת הכתבה הזו, והדבר החשוב באמת הוא הכוונה הטובה שמאחוריה והרצון הכן להביא את היופי המתמטי לידיעת הציבור.

האמנם?

מה שגרם לפקיעת סבלנותי היה חלקה האחרון של הכתבה, שעסק במספר המדומה i. וכך נאמר שם:

"i הוא בכלל יצור מוזר בתכלית, פרי דמיון מתמטי פרוע, ועל כן קרוי "מספר דמיוני", מושג שכבר הוצע על ידי דקארט במאה השבע עשרה. ומהו מספר זה? לימדו אותנו בעמל ויגע שכאשר מעלים מספר בריבוע התוצאה תמיד חיובית, אבל אמר מי שאמר: למה? הבה נגדיר את השורש של 1- ונקרא לו i. לא מבינים? לא צריך. ככה זה."

גם בפסקה הבודדת הזו, פחות משהשגיאות העובדתיות מפריעות לי (i לא הומצא בידי דקארט; למעשה, דקארט היה ממתנגדיו החריפים והטביע בו לדראון עולם את השם המזלזל "מספר דמיוני") מפריעה לי הנימה הכללית. גישת ה"לא מבינים? לא צריך. ככה זה" היא אכן, למרבה צערי, הגישה שבה נתקלים תלמידי בית הספר בארץ – אבל זו אינה גישת המתמטיקה, אלא גישת המורים למתמטיקה בתיכון. באוניברסיטה כבר שומע כל סטודנט הפוגש במרוכבים זמירות אחרות, וניתן היה לקוות שגם כותב הכתבה ידע זאת.

i אינו "יצור מוזר בתכלית" כי אם מספר הגיוני ולגיטימי לא פחות (ואולי אף יותר) מאשר ידידו פאי. הוא אינו פרי "דמיון מתמטי פרוע" אלא תוצאה של חקירה מקיפה של בעיה מתמטית בסיסית – פתרון משוואות ממעלה שלישית. i הוא הדוגמה הקלאסית למושג מתמטי רחב יותר ומרתק בפני עצמו, של הרחבת שדות, ויש מספר דרכים שונות לבנות אותו בצורה פורמלית מדוייקת. מעל הכל, הוא ממש לא קיים על תקן של "לא מבינים? לא צריך". כן צריך להבין, שכן מי שלא מבין יתקשה להתנער מהתחושה ש"מרמים" אותו, וש-i אינו יותר מאשר משחק בחול של כמה מתמטיקאים מטורפים עם יותר מדי זמן פנוי.

בפוסטים הבאים אנסה להביא מספר דברי סנגוריה לזכותו של i, אך לטעמי הדרך הטובה ביותר לעשות כן היא להתחיל מההתחלה – לבחון את הבניה של מערכות המספרים המוכרות לנו – מהטבעיים, דרך השלמים והרציונליים, עבור בממשיים וכלה במרוכבים – ולראות כיצד כל צעד בסדרת הבניות הארוכה הזו נובע מאותם רעיונות. בתקווה אצליח להראות מדוע החלק הבעייתי והשנוי במחלוקת ביותר בסדרה הוא דווקא המעבר מהרציונליים לממשיים, ולמה דווקא ההוספה של i למערכת סוגרת את השרשרת ונותנת לנו מערכת מספרים שהיא במובנים מסויימים עדיפה על זו שהיא מרחיבה.

ואז, אני מקווה, נוסחת אוילר תהיה מרתיעה פחות, ויפה עוד יותר.

17 תגובות על הפוסט “איי!

  1. בהזדמנות זו אקווה שתוכל לענות על שאלה שסיקרנה אותי הרבה זמן – הבנתי שמקבלים את נוסחת אויילר מהצבת הערך i בטורים המתאימים. אך מתבצע שם שינוי סדר המחוברים לאחר ההצבה – ובשיעורי החדו"א הבהירו לנו שהדבר לא בהכרח לגיטימי כאשר ישנם מחוברים שליליים. מדוע כאן המעבר כן לגיטימי?

  2. לרוע המזל אני לא זוכר את ההצדקה במדוייק בעצמי, אז קיים סיכוי שאני עובד עלייך. למיטב זכרוני, הבעיה עם שינוי סדר הסכימה נגרמת כאשר הטור שלנו אינו מתכנס בהחלט (כלומר, אם הטור שאבריו הם אברי הטור המקורי, רק עם ערך מוחלט, אינו מתכנס) ואז משפט רימן תקף ואפשר באמצעות שינוי סדר הסכימה לקבל מה שרוצים.

    אבל הטור של אקספוננט כן מתכנס בהחלט: לכל ערך חיובי של x שתשים בו הוא יתכנס (כי העצרת שבמכנה חזקה "הרבה יותר" מאשר הפולינום שבמונה – כמובן שזו לא הצדקה מדוייקת), לכן גם כשמציבים ערכים לא חיוביים (או לא ממשיים) בטור מקבלים משהו שמתכנס בהחלט, ולכן החלפת סדר הסכימה לגיטימית.

    כמובן שלפני שמתחילים להתעסק עם זה צריך לשאול את עצמנו מה זה בכלל טור אינסופי שמופיעים בו מספרים מרוכבים. מכיוון שיש לנו הגדרה טבעית של "מרחק" במרוכבים (ומשתמשים בה גם כדי להגדיר התכנסות, נגזרות וכדומה), משתמשים בה, ומקבלים שכל התורה של טורים אינסופיים ממשיים מוכללת בצורה די מיידית, כך שגם זו לא בעיה.

  3. טוב, גם אני הגעתי דרך אלעד ממש כרגע, ותכף אתעמק. בינתיים שתי הערות קטנות:
    האם קראת את The Road to Reality של פנרוז?
    אני יודע שזה מעט מסורבל אבל רצוי להקפיד ולכתוב את i, מספרים וביטויים מתמטיים אחרים באמצעות Latex גם כשהם חלק משורת הטקסט, אחרת יש מקום לבלבול, במיוחד אצל קוראים לא מקצועיים שעלולים לחשוב שיש הבדל בין i מוטה ב-Latex לבין ה-i הסטנדרטי שבטקסט, למשל. ובכלל, גם מסיבות אסתטיות טהורות עדיף כך.

  4. לא, קראתי רק את The Emperor's New Mind של פנרוז, וגם ממנו אני לא זוכר כלום…

    בקשר להערה – אוקיי, אשתדל.

  5. הייתי צריך להסביר את עצמי קצת יותר. ב-The Road to Reality פנרוז לוקח על עצמו משימה שאפתנית מאוד להביר לקוראים תאבי דעת את היכולת של המתמטיקה לתאר את המציאות הפיזיקלית. לפני שהוא גולש לתורת חבורות, אנליזה על יריעות, מרחבי הילברט ועוד נושאים מורכבים הוא מקדיש את הפרקים הראשונים להצגה של מערכות המספרים, בדומה לסדרת הפוסטים הזו שלך. אני חייב לציין שיש שם כמה פנינים, בייחוד בטיפול שלו במספרים מרוכבים ובפונקציות מרוכבות, שהותירו אותי פעור פה גם אחרי שנתיים בהן לימדתי את החומר הזה.

  6. מה שאני הייתי מספר לסטודנטים הוא שאין שום הבדל מבחינת ה"ממשות" בין מספרים דמיוניים לשליליים. גם מספר שלילי אינו תוצאה של פעולת ספירה או מדידת אורך, ולכן גם לו אין קיום "מוחשי". מה שמתימטיקאים עשו זה להביט במשוואה
    X+1=0
    לכנות בשם פתרון שלה (שהוא מספר חדש, -1), לעמול על הרחבת חוקי החיבור והכפל (לא טריוויאלי!) למספר זה וכך להתרחב למערכת מספרים חדשה, שמפשטת במידה דרמטית תיאור בעיות ופתרונן.
    אותו התהליך *בדיוק* הוליד את המספרים המרוכבים, רק שהתחיל מהמשוואה
    X^2+1=0
    ההבדל בין המערכות, שבעיני כיום הוא העיקרי, הוא שעל מספרים שליליים לומדים בכיתה ב (נניח), ואז אנחנו מהנהנים, מטמיעים ופונים לפתור תרגילים. על מרוכבים לומדים רק בשלהי התיכון, ואז – כבר יש לנו דעות מגובשות על העולם, אנחנו "יודעים" מה זה מספר, וקל לפטור את העניין ב"יאללה, מתימטיקאים והשטויות שלהם".
    אה, והשם האיום 'מספרים דמיוניים' בטח שלא מוסיף למוניטין שלהם.

  7. פינגבאק: נוסחת אוילר, ואיך היא קשורה למתנד הרמוני « לא מדויק

  8. פינגבאק: האם יש שיטה למציאת שורש ריבועי? (כן!) « לא מדויק

  9. פינגבאק: ובתפקיד היפה והחנון – פולינומים ומרוכבים « לא מדויק

  10. פינגבאק: אז מה זה שדה ואיך הוא יכול להיות סופי? « לא מדויק

  11. "i הוא בכלל יצור מוזר בתכלית, פרי דמיון מתמטי פרוע, ועל כן קרוי "מספר דמיוני", מושג שכבר הוצע על ידי דקארט במאה השבע עשרה."

    הטענה שלהם היא כמו שאתה אמרת, שדקארט הציע את המושג "מספר דמיוני"

    מצטער על הניטפוק..

  12. נהנה מאוד מהאתר שלך. הערה קטנה.

    ' גישת ה"לא מבינים? לא צריך. ככה זה" היא אכן, למרבה צערי, הגישה שבה נתקלים תלמידי בית הספר בארץ – אבל זו אינה גישת המתמטיקה, אלא גישת המורים למתמטיקה בתיכון. ' –

    במחי יד אחת פגעת והסברת שגישת ה-'לא מבינים לא צריך' – היא גישת המורים למתמטיקה בתיכון. :)

  13. אכן, הניסוח לא טוב. עדיף "גישת תוכנית הלימודים בתיכון" (לפחות נכון למועד כתיבת הפוסט, אבל לא שמעתי שמשהו השתנה).

  14. e בחזקת i*pi שווה ל 1- . נפעיל ln על שני אגפי המשוואה, ונקבל: (i*pi = ln (-1
    הייתכן ?

    e בחזקת i*2*pi שווה ל 1 . נפעיל ln על שני אגפי המשוואה, ונקבל : i*2*pi = ln1 = 0
    הייתכן?

  15. הבעיה ב"הוכחה שלך" היא שמעל המרוכבים הפונקציה e^z אינה חד חד ערכית. זה כמו שתגיד cos(0)=cos(2pi) אז 0=2pi

  16. יפה מאוד.
    רק אציין שהפסקה הבאה אינה מדויקת:
    "'מספר כזה [שבכתיבתו כמספר עם שבר עשרוני אין לו שיעור] קרוי טרנסצנדנטלי.' (לא נכון – הוא קרוי אירציונלי. טרנסצנדנטלי הוא מספר שאינו פתרון של אף משוואה פולינומית במקדמים רציונליים)'
    מספר כזה הוא גם לא בהכרח אי רציונלי. ישנם מספרים רציונליים מובהקים שבכתיבה עשרונית מיוצגים בצורה אינסופית, כמו לדוגמה שליש, תשיעית, שביעית ועוד מספרים רבים וטובים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.