כתבה ב-Ynet תחת השם "מי אמר שחייבים לדעת מתמטיקה" מתארת ספר חדש לילדים של אביעד קליינברג – סליחה, פרופסור אביעד קליינברג – בשם "איך בוטלה המתמטיקה". לא פחות. הכתבה טוענת שהספר "מנסח שני טיעונים מרכזיים נוקבים נגד המתמטיקה. אחד כרוך במהותה של המתמטיקה והשני בתרעלה הסביבתית שהיא מפיצה". טרם קראתי את הספר ולכן אגיב בעיקר לגופה של הכתבה, אך אני משער שתגובתי לספר לא תהיה שונה מהותית (מאז פרסום הפוסט כבר קראתי את הספר וכתבתי פוסט המשך).
נתחיל דווקא מהטיעון השני, שלא עוסק כלל במתמטיקה אלא במעמד שניתן בחברה ללימודי מתמטיקה תיכונית:
אם לטיעון הפילוסופי נגד המתמטיקה עוד אפשר להתייחס בהומור, הרי שאת הטיעון החברתי נגדה, חייבים לקחת ברצינות. המתמטיקה הרסה והורסת להמון ילדים את החיים. לא ברור איך השתרשה ההנחה החברתית שחייבים לדעת מתמטיקה כדי "להסתדר בחיים", מה שברור הוא שקליינברג מנסה לתקוע סיכה באקסיומה הנפוחה הזו.אני, לדוגמא, תמיד התקשיתי בבישול ובמתמטיקה. איכשהו הצלחתי להקדיח תבשילים ונוסחאות באותה רמה של חוסר כישרון. אבל אני לא זוכרת את אבא שלי מגלגל עיניים ביאוש מול חביתה שרופה כמו שגלגל גם גלגל לנוכח משוואה שעלתה באש עקב קצר חשמלי בסינפסות. מי קבע שמותר לא לדעת איך לטפל בכלבלב, אבל אסור לא לדעת מהו האיקס באיזו משוואה מהגיהנום?
וזה המסר המנחם ששולח פרופסור קליינברג לקוראיו הצעירים: בניגוד למה שמספרים לכם בבית הספר, גם אם אתם לא מצליחים לחשב כמה זמן לוקח לשני נהגי קטר למלא בריכה, אתם עדיין יכולים להיחשב לבני אנוש. זו לא קריאה לוותר כשנתקלים בקשיים, זו קריאה לפורפורציות. ויש לזכור שבית-ספר מעודד עיוות של פורפורציות בכל הנוגע ליכולת מתמטית.
על הטיעון הזה אין לי הרבה מה לומר – אני מסכים! אכן, אם יש מקומות שנוקטים בהנחה שחייבים מתמטיקה כדי "להסתדר בחיים", או אם בית הספר מתעלל במיוחד בתלמידים גרועים במתמטיקה – זה מצב לא טוב שמעיד על בעייתיות במערכת החינוך שלנו וצריך לשנותו. אלא שהספר אינו עוסק במערכת החינוך שלנו – הוא מתרחש בעולם בדיוני, ולכן לימודי המתמטיקה בו מקבלים הילה "כללית" יותר והביקורת אינה מופנית כלפי מערכת החינוך, אלא כלפי עצם הרעיון של לימודי מתמטיקה. אם כל הבעיה הייתה האופן הלא מוצלח שבו מלמדים מתמטיקה… ובכן, ספר נפלא בשם "אני שונא מתמטיקה" (שבישראל יצא בהוצאת "ניצנים" ולצערי עושה רושם שכבר איננו על המדפים) ניסה לטפל בבעיה הזו בגישה חיובית – לבוא אל שונא המתמטיקה ולהציג בפניו, בצורה ידידותית וקלה, כמה מהפנים הפחות מוכרות (לתלמידי בית ספר) של המתמטיקה. אם כן, זו הביקורת הראשונה שלי על קליינברג, עוד לפני שבכלל קראתי את הספר – שהוא פועל בגישה שלילית במקום בגישה חיובית. שהוא הורס ומנתץ, במקום להציע אלטרנטיבה.
הטיעון השני (או בעצם הראשון) כבר עוסק במתמטיקה. ולא רק במתמטיקה תיכונית (שהיא בעיקרה טכנית, משמימה ולא מייצגת – אבל את הביקורת שלי עליה אשמור לפעם אחרת) אלא ממש בלב לבה של המתמטיקה – ברעיון ההפשטה:
הטיעון הראשון הוא בעצם פילוסופי. המתמטיקה היא עריצה בעצם מהותה. היא א-מוסרית כמו כל תחום או אדם שגורסים שיש רק תשובה נכונה אחת לשאלה נתונה. מה זאת אומרת אחת ועוד אחת תמיד תמיד תמיד שווה שתיים? גם כשקר? גם אם לנהג הקטר קוראים דוד? גם אם פרפר מנפנף בכנפיו בסין?הספר "איך בוטלה המתמטיקה" מספר על נסיך צעיר שמתייסר בלימודי המתמטיקה שלו. הוא מנסה לספר בעקיפין לאביו המלך על מצוקתו ולשם כך ממציא שלושה סיפורים. בסיפור השלישי הוא מספר על המלך חרדונזלך שכל הזמן שואל שאלות. הוא שואל, למשל, את טבח הארמון איך מכינים חביתה עם בצל ואחרי שהוא מקבל תשובה פשוטה, הוא מתחיל להקשות: "אפשר גם בצל ירוק?" שאל המלך. "אפשר". "ואדום?""גם". " אפשר לטגן בחמאה?" "כן". "ובמרגרינה?" "כן"… "ואפשר להוסיף לביצים בלילה של קמח ומים ולקרוא לזה פנקייק?" "אפשר". "אה", אמר המלך חרדוזלך".
המתמטיקה היא לא כזאת. כמה זה אחת ועוד אחת? שתיים. ואם האחד הראשון הוא תנין אפריקני והאחד השני הוא אפרסק, מה התשובה? עדיין שתיים. ואם התנין חולה? גם. ואם באפרסק יש תולעת? שתיים! שתיים! שתיים! אני יודעת שיש אנשים שזה בדיוק מה שמקסים אותם במתמטיקה, אבל קליינברג עושה כבוד דווקא לאנשים שזה מעצבן אותם. יותר מזה, זה נראה להם לא הגיוני.
אם אין משמעות למה סופרים וללמה סופרים, מה זה מעניין בכלל מה התשובה? או במילותיהם של יועצי המלך חרדונזלך: "המתמטיקה לא עוסקת במה שחשוב לך. היא עוסקת בפתרון בעיות". בקיצור, רוצים אמת אחת ויחידה, בלתי תלויה ובלתי משתנה? אמת שמרחפת לה מחוץ לעולמנו, נצחית ונכונה תמיד, ומחכה לנו, יצורים מוגבלים ותועים, שנגיע אליה? אתם מוזמנים להיות דתיים מאוד או מתמטיקאים.
ראשית, נתחיל בגילוי מרעיש: המתמטיקה לא טוענת שיש רק תשובה נכונה אחת לשאלה נתונה! אפילו שאלה מטופשת כמו "האם אחת ועוד אחת תמיד שווה שתיים"? איננה בעלת תשובה חד משמעית; היא שתיים בשיטת הספירה הרגילה שלנו, אבל אם העולם שבו אנו חיים הוא 
(או – ואני משתמש בכוונה במילים מפוצצות כאן – בשדה כללי ממציין 2), התשובה היא דווקא אפס. ויש מאחורי כך הגיון רב, לא בחירה שרירותית. גם במתמטיקה יש מקום לפרשנויות שונות והקשרים שונים ומשונים – אבל, וזה אבל חשוב, המתמטיקה לא מאמצת את הגישה ה"פוסט מודרנית"לפיה כל הדברים הם חשובים במידה שווה; למרות שכל אחד מוזמן להגדיר במתמטיקה כל דבר שיעלה על דעתו, ישנם דברים מעניינים יותר ומעניינים פחות, כשהקביעה מה מעניין יותר או פחות מתבצעת בידי המתמטיקאים עצמם, באופן סובייקטיבי, ולא על פי שום קריטריון מתמטי קשיח.
כמה מהרעיונות המעניינים ביותר במתמטיקה באים מתוך מתן תשובה שונה מהרגיל לשאלה שלכאורה התשובה עליה היא מובנת מאליה – הדוגמה הקלאסית והמרכזית היא הגאומטריה הלא-אוקלידית. לכן טענה שהמתמטיקה היא "תחום שגורס שיש רק תשובה נכונה אחת לשאלה נתונה." היא פשוט שקר וכזב.
כאן צריך לזרוק את הכדור לרגע למגרש של פרופ' קליינברג. בעיסוקו הוא פרופסור להיסטוריה, וכעת נשאלת השאלה – כאשר בהיסטוריה דנים בעובדות הבסיס (לא בפרשנויות שלהן), האם יש יותר מתשובה אחת נכונה? האם לשאלה "מי היה מנהיג גרמניה הנאצית" יש יותר מתשובה נכונה אחת? האם לשאלה "באיזו שנה פרצה המהפכה הצרפתית" יש יותר מתשובה אחת נכונה? האם גרמניה הנאצית כן תנצח במלחמת העולם השנייה אם נחליט לקרוא להיטלר צ'רצ'יל? האם זה הופך את ההיסטוריה לא-מוסרית? הבלים. כל תחום מדעי חייב לאמץ בבסיסו כמה שאלות בסיסיות שאכן, יש עליהן רק תשובה אחת נכונה. מי שיטען שבמספרים הטבעיים אחד ועוד אחד שווה לאותו מספר טבעי כמו אחד ועוד אחד ועוד אחד (ואני בכוונה לא משתמש כאן במילים "שתיים" או "שלוש" שהן סתם שמות הגדרתיים חסרי משמעות לכשעצמם), טועה. מדוע זה הופך את המתמטיקה לא-מוסרית יותר מההיסטוריה?
הלאה. לב לבו של הטיעון מצוי בשורה הבאה, שמסכמת יפה את אחד מהרעיונות המרכזיים במתמטיקה – ההפשטה: "מה זה אחת ועוד אחת? שתיים. ואם האחד הראשון הוא תנין אפריקני והאחד השני הוא אפרסק, מה התשובה? עדיין שתיים". זוהי בדיוק מתמטיקה. ספרים שמנסים להציג מתמטיקה משתמשים בדיוק בדוגמה הזו. הכותבת מכירה בקיום האנשים שזה מקסים אותם (אם כי צריך להיות זהירים כאן – מה שמקסים אותי הוא לא הרעיון הזה, אלא הרעיון הזה כשהוא מוחל על דברים מורכבים בהרבה), אבל טוענת שיש אנשים שזה גם מעצבן אותם ונראה להם לא הגיוני, ושהספר עושה להם כבוד. כמובן, אנשים יכולים להתעצבן על מה שמתחשק להם – הם יכולים להתעצבן על כך שההיסטוריה אומרת שמנהיג גרמניה במלחמת העולם השנייה היה היטלר ולא צ'רצ'יל ושזה לא ייראה להם הגיוני, אבל למי אכפת? למה יש לתת כבוד לדעתם? השאלה המהותית היא מה עומד מאחורי עמדה שכזו; והכותבת אכן טורחת להביא את תמצית העמדה: "אם אין משמעות למה סופרים וללמה סופרים, מה זה מעניין בכלל מה התשובה?". וגם קליינברג מתייחס לנקודה הזו, על פי הציטוט מהספר: "המתמטיקה לא עוסקת במה שחשוב לך. היא עוסקת בפתרון בעיות". ועל זה אני אומר – אוי ואבוי. אוי אוי אוי.
נתחיל מכך שיש משמעות למה סופרים וללמה סופרים. למעשה, כל ענייני הרכבת והבריכה המסכנים באים מתוך נסיון לתת גוון קצת יותר "מציאותי" למתמטיקה, ולגרום לתלמידים לבצע, בכלים המוגבלים מאוד שהם עובדים איתם, את מה שעושים המשתמשים במתמטיקה מדי יום ביומו – להחיל את המתמטיקה על דברים שבהם יש משמעות למה סופרים וללמה סופרים.
אפשר לחשוב על המתמטיקה בתור מגדל של הפשטות. בבסיס ישנם דברים מאוד קונקרטיים ומציאותיים – בעיות "אמיתיות" שבהן נתקל האדם, ונזקק לכלים מתמטיים כדי לפתור. הקומה הבאה במגדל כבר עוסקת בנסיונות לפתור את הבעיות שצצות כאשר פותרים את הבעיות ה"אמיתיות", וכן הלאה וכן הלאה; אפילו המתמטיקאי המופשט ביותר שואב את ההשראה והמוטיבציה שלו מהקומה שמתחתיו במגדל (טוב, אולי לא כולם; אני לא רוצה לבצע הכללות משל עצמי על המתמטיקה). דוגמה לכך היא החשבון האינפיניטסימלי, שפותח על ידי ניוטון ולייבניץ ומתמטיקאים נוספים בנסיון לפתור בעיות מעשיות רבות (ובפרט בא לידי שימוש אצל ניוטון בתורות הפיזיקליות שלו). "מעל" רמת הפשטה זו אנו מוצאים את ההפשטה של קושי וויירשטראס – מושג הגבול שלהם, שבא לפתור את הבעיות הפנים-מתמטיות שיצר הניסוח הלא מדוייק של החשבון האינפיניטסימלי של קודמיהם. באופן דומה העיסוק במספרים החל בגלל הצורך לבצע ספירה של אלף ואחד דברים שונים בצורה יעילה – החל מסוסים וכלה בכסף; ברמת ההפשטה הבאה אנשים החלו להשתעשע כבר בתורת המספרים עצמה, כי המספרים הפכו בעיניהם לאובייקטים מעניינים בפני עצמם.
הטיעון של "חוסר המשמעות" הוא טיעון נפוץ מאוד נגד המתמטיקה. לשיאו הוא ללא ספק מגיע בהאשמה (הנפוצה למדי) המופנית כלפי דיוויד הילברט (מבכירי המתמטיקה של המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20) כי הוא שאף "לרוקן את המתמטיקה מתוכן". ובכן – לא, לא, לא. האם אריכאולוג שעוסק שעות ארוכות בחפירת שבר חרס בודד שוכח את ה"משמעות" של מה שהוא עוסק בו? את המטרה הסופית שלו? ודאי שלא. וכך גם המתמטיקאי, גם אם חלק מזמנו מוקדש לפתרון בעיה אבסטרקטית ולא למשמעותה הקונקרטית. היכולת לתקוף בעיות בצורה אבסטרקטית היא סוד כוחה של המתמטיקה, אבל אסור לבלבל בין דרך העבודה הזו ובין המשמעות או חוסר המשמעות של המתמטיקה.
הטיעון של קליינברג גרוע בהרבה, וילדותי בהרבה. מה זאת אומרת "עוסקת במה שחשוב לך"? ואם לילד חשוב לאכול גלידה כל היום, האם צריך לבוא בטענות למתמטיקה על כך שאינה משתפת עמו פעולה? ומדוע קליינברג מניח שאין ילדים שפתרון בעיות חשוב להם? קליינברג יורק בפרצוף של אותם ילדים שהמתמטיקה כן מעניינת אותם כבר מגיל צעיר. הדבר דומה לפרסומת מזוויעה שראיתי לא מזמן של יצרנית חלב מסויימת, שבה כל ילד גר בבית שמעוצב בהתאם לאורח החיים שהוריו כופים עליו, ומקוננת על מר גורלו של ילד מסכן שנאלץ לקרוא ספרים ולכן חייו משעממים. פויה. מביך מאוד שפרופסור מכובד נותן את ידו להתבהמות הזו.
כמובן שמתמטיקה "אמיתית" עוסקת גם בדברים שחשובים לכולנו בחיי היום יום. הרי ללא מתמטיקה לא הייתה טכנולוגיה; אני לא חושב שיש ויכוח אמיתי על הנקודה הזו. אם קליינברג בוחר לבטל את החשיבות של הטכנולוגיה לחיי היום יום, אין טעם להיכנס איתו כלל לדיון. לכן אני מניח שקליינברג מנסה להגיד שאמנם טכנולוגיה ומתמטיקה זה מאוד חשוב והכל, אבל איכסה – שמישהו אחר יתעסק בזה, לא הקורא. קליינברג ככל הנראה טוען שלאדם הפשוט מתמטיקה אינה חשובה. לזה יש לי שתי תשובות: ראשית, לאדם הפשוט חשוב חשבון ברמה כלשהי גם בחיי היום יום, פשוט כי זה כישור שמשפר את איכות החיים, כבר ברמה שבה לא מסתבכים עם עודף בסופר; ואני מסכים שמתמטיקה תיכונית של פתרון בעיות (נניח, חישוב אינטגרלים טריוויאליים כשם שעושים משום מה בבגרות) לא מועילה לאף אחד ועוסקת בפתרון בעיות לא מעניינות – אך זוהי שוב בעיה של אופן הלימוד ולא של המתמטיקה, ובעיה שקיימת כמובן גם במקצועות אחרים, למשל היסטוריה. בפרפראזה על קליינברג, ניתן לטעון שלימודי ההיסטוריה בבית הספר אינם עוסקים במה שחשוב לנו אלא בשינון תאריכים ושמות.
את התשובה השניה אני משאיר לגדול ממני לענות – הפיזיקאי קרל סגאן, בספרו "עולם רדוף שדים":
We have designed our civilization based on science and technology and at the same time arranged things so that almost no one understands anything at all about science and technology. This is a clear prescription for disaster.
אז כן, אני רוצה שגם האדם ברחוב יהיה בעל ידע במדע, ולכן גם בעל ידע במתמטיקה. אחרת בסופו של דבר זה מחלחל גם לחיי היום יום שלנו, כמו בקומיקס הנפלא של PhD comics על מחזור החיים של ידיעה מדעית, כלומר על האופן שבו האדם ברחוב מסוגל לעכל אותה:
וטוב יהיה אם פרופסורים באוניברסיטה לא יעודדו בורות.
על ה"דתיים מאוד או מתמטיקאים" די להגיד שאם הדת הייתה דומה למתמטיקה, היינו מחליפים אלים ומצוות כמו נעליים ועוסקים בחצי מהזמן בבדיקה מה האלים לא מסוגלים לעשות. ולא היינו מתפללים.
נספח
הפעם לא הצלחתי להתאפק וקראתי את הטוקבקים (שברובם המכריע יוצאים נגד הכתבה ונגד הספר ומביאים טיעונים טובים, שחלקם זהים למה שאני עצמי כתבתי). כאילו שזה לא מספיק גרוע, אני רוצה גם לצטט חלק מהם, כי אני סבור שזה ממחיש בדיוק עד כמה שגויה התדמית של המתמטיקה בציבור. האשמה היא בראש ובראשונה בנו – בכל אלו שיודעים מתמטיקה אבל לא מבהירים מספיק טוב מהי המתמטיקה באמת; האשמים המשניים הם האנשים ששוחטים אותה בבית הספר, והאנשים שכותבים נגדה ספרים.
המקצועות הריאליים הם דבר פשוט שדורש רק חישוב, נוסחאות, הכל מדויק, הכל מחושב, הכל מרובע. קל מאד לפענח סודות במתמטיקה או בפיזיקה עם הנוסחאות הנכונות, אבל… תהית פעם מי אתה? מהיכן אתה בא? לאן פניך מועדות? בחייך. תתבגר.
אכן – מכיוון שהכל כל כך קל, המשפט האחרון של פרמה בעל הניסוח הפשוט והקל חיכה כמעט ארבע מאות שנים להוכחה. בגלל שהכל כל כך מדוייק היה ברור לכולם מלכתחילה מהו האינסוף והעיסוק בו לא היה אחד ממוקדי הטלטלות המתמידות שעברה המתמטיקה. בהחלט. (אני סבור שיש גם טעם רב יותר לעיסוק בשאלות מתמטיות מאשר בשאלות מהצורה "מהיכן אתה בא ולאן פנייך מועדות"בניסוחן הפילוסופי, אבל זה כבר עניין לדיון אחר).
זה תמיד הדהים אותי העובדה שיש ממש הרבה תלמידים שכול הבעיות שלהם במתמטיקה נובעות מדברים שהם לא למדו כמו שצריך ביסודי. כאילו, עד כמה מורה צריך לא לדעת את העבודה שלו או לא אכפתי בשביל לא להצליח ב-6(!!!!!) שנים, ללמד 4 פעולות חשבון ללא נעלמים.
העובדה הזו היא אכן אחת מהסיבות שמועלות בדרך כלל בנסיון להסביר את הקושי במתמטיקה תיכונית שבו נתקל התלמיד הממוצע, ואני נוטה להאמין שזה אכן כך. עם זאת, "ללמד 4 פעולות חשבון ללא נעלמים"זה כלל לא דבר פשוט כפי שזה נשמע למי שכבר "התרגל"למספרים – ובנוסף לפעולות החשבון גם צריך לבצע את ההפשטה הנדרשת כדי לעבור מדיון על שני תפוחים, או תפוח ואגס, למספר 2 – מעבר לא טריוויאלי כלל, וכפי שראינו מהכתבה – גם כזה שיש אנשים שגם בבגרותם אינם מסכימים איתו.
אני מתפרנסת מעיסוק שנסמך ברובו על מתמטיקה.אבל באמת לפעמים קשה לי להסביר, אפילו לעצמי, למה צריך את כל הנוסחאות המורכבות ולמה טובה כל אחת מהן, מה השימוש המעשי שנעשה או מסתמך עליה.
מידע כזה, היה עוזר לקבל את הקושי בלימוד ונותן את הטעם.
חבל שאין אותו באף מקום.
לצערי לא ברור מה העיסוק של הכותבת, אבל ברוב המכריע של המקרים שאני מכיר שבהם נעשה שימוש בנוסחאות, בהחלט קיימים מקומות שמסבירים למה צריך את הנוסחאות, למה הן טובות, ומה השימוש המעשי שנעשה או מסתמך עליה. דוגמה הקרובה ללבי: ה-Handbook of applied cryptography.
אני רוצה לסיים בטוקבק פשוט שאומר את הדבר החשוב ביותר כאן, שלצערי לא ברור וכנראה לעולם לא יהיה ברור לכלל הציבור:
בתיכון אולי זה קרוב למה שכתבת, אבל באקדמיה מתמטיקה היא המדע הכי יצירתי ואומנותי שקיים.
על ה"הכי" אולי הייתי מוותר כי אנחנו לא בתחרות יצירתיות, אבל השורה התחתונה היא שמתמטיקה – מתמטיקה אמיתית – היא תחום יצירתי ומעודד מחשבה מאין כמותו. אני מקווה שאני מצליח להמחיש שמץ מכך כאן.
תגים: אנטי-אנטי-מתמטיקה
אני יכול רק לקוות שחיפוש בגוגל של הפרופסור המכובד אביעד קליינברג או של ספרו יוביל קוראים לכאן…(כרגע ד"א, בחיפוש על שם הספר אתה נמצא במקום השלישי אחרי הכתבה עצמה).
אין לי הרבה מה להוסיף על מה שכתבת, סיכמת את הדברים בצורה די מוחלטת…
אני חושב שאחת הבעיות בתיכון היא שהמורים (לפחות אלא שאני נתקלתי בהם) למתמטיקה לא באמת "אוהבים" (אולי אפילו צריך להיות בלי מרכאות) מתמטיקה בעצם, וכשהמצב הוא כזה אין פלא שאנשים נרתעים, כאשר כל מה שמלמדים אותם זה להציב בנוסחא.
אני נוטה להסכים. מצבה של מערכת החינוך באופן כללי לא טוב, וכשזה משתלב עם מקצוע שמאוד קשה ללמד ולחבב על אנשים כמו מתמטיקה זה מה שמקבלים.
אוי. כמה חבל. אני מכיר את כתיבתו של קליינברג ומאוד אוהב אותה – הספרים הפופולריים שלו והפובלציסטיקה שלו משובחות, ולכן כל כך חבל לי לשמוע שהוא הוציא ספר כזה. אין לזה שום הצדקה.
לצערי, צריך גם להתייחס לצד השני – יש תופעה של אנשי מדעים מדוייקים וכלכלנים התוקפים פעמים רבות את העיסוק האקדמי בפילוסופיה, היסטוריה וכד' בטענה שהוא "לא מעשי" ו-"לא רווחי", וקוראים לקיצוצים במחלקות המחקר העוסקות בתחומים הללו. אנשים אלו ממהרים לנופף ברלבנטיות היישומית של התחומים שלהם. על רקע כזה (שבולט במיוחד על רקע מצב האקדמיה בישראל היום) אני תוהה אם באופן חלקי כלשהו הספר של קליינברג הוא לא תגובה – אומללה והרסנית ככל שתהיה – כנגד המתקפות הללו.
אם קליינברג אכן מגיב למתקפות שכאלו, הוא בחר את המטרה הגרועה ביותר האפשרית – מכל תחומי המדע, המתמטיקה היא זו שלעתים הקרובות ביותר מואשמת בעצמה בהיותה "לא מעשית" וחסרת טעם לכשעצמה (זוכר את הציטוט המפורסם על מהי מתמטיקה ללא פיזיקה?)
אני אישית חושב/מנחש/מנתח-פסיכולוגית-בשקל-תשעים שקליינברג הוא קורבן של החינוך המתמטי ה"לא נחמד" ובאופן כללי קורבן של חרדת המתמטיקה, וזו דרך שלו להתמודד עם זה.
תודה רבה, גדי, על הפוסט החשוב הזה.
למען האמת, הטוקבק הראשון הזכיר לי את הציטטה הבאה שאני לא זוכר כרגע למי היא מיוחסת (אולי פון-נוימן): "אם אנשים חושבים שהמתמטיקה היא לא פשוטה, זה רק בגלל שהם לא מבינים עד כמה החיים עצמם הם מסובכים".
גדי, אני אצטרף לתודתו של יוסי.
בנוסף, אני לא חושב שקשה לחבב מתמטיקה על אנשים יותר מדברים אחרים, אם לא מפחדים לעשות את זה.
לפני מספר שנים הדרכתי במוזיאון המדע בירושלים. כמה חודשים לאחר תחילת עבודתי נפתחה (לשמחתי הרבה) במוזיאון תערוכה בנושא מתמטיקה. בשלט הכניסה לתערוכה היה כתוב (בין השאר) שאנחנו (כלל בני-האדם) שונאים מתמטיקה. החרמי את התערוכה. באמת. אם זה הייחס של אנשי-חינוך, ברור שיהיה קשה, אבל ברגע שנקודת המוצא היא שמתמטיקה היא דבר יפה, מלהיב, זה עובר אל התלמידים.
ונקודה אחרונה ליובל. אנשי המדעים (פיסיקה, כימיה, ביולוגיה) לא יעלו על דעתם לבטל את החוגים למדעי-הרוח. אני יושב בקרב האנשים האלה בגבעת-רם והם אנשי ספר ורוח. חובבי מוזיקה, ספרות, שירה, היסטוריה וכו' (לא כל אחד חובב של כל התחומים כמובן, אבל רובם נהנים מדברים אלו). זהו האדם ברחוב, ואולי המהנדס (לא יודע, לא מכיר אותם, ואם אני משמיץ סתם – התנצלותי) שרוצה לסגור את החוג לתולדות-התיאטרון.
אני דווקא רוצה להתמקד בטיעון השני
זה שענית עליו "אני מסכים", אבל מיד סייגת
אכן, אם יש מקומות שנוקטים בהנחה שחייבים מתמטיקה כדי "להסתדר בחיים"
יש מקום כזה, כולם עוברים בו והוא נקרא בגרות
ולאף אחד בו לא אכפת אם אתה אוהב או מבין את מה שאתה שופך אל הנייר
זה כלי מדידה נוח.
(הרבה יותר נוח מלבדוק מבחן בהסטוריה)
האבסורד זועק במערכת גם ברמת המורים (שמטרתם היא חד משמעית – אחוזי מעבר בבגרות)
במידה מסויימת הכוח לטעון אחרת ולומר המלך הוא ערום
הוא רק בידיים של אלה שלא מתייחסים לזה כמו אל ספרי קודש בלטינית.
אני לא בטוח שהטיעון השני
"בשביל מה זה טוב"
הוא מאוד שונה מהקולות האלה:
http://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_s_formula_for_changing_math_education.html
http://www.ted.com/talks/dan_meyer_math_curriculum_makeover.html
""מה זה אחת ועוד אחת? שתיים. ואם האחד הראשון הוא תנין אפריקני והאחד השני הוא אפרסק, מה התשובה? עדיין שתיים". זוהי בדיוק מתמטיקה." – לא יודע, לפחות במתמטיקה שאני למדתי, תנין אפריקאי ואפרסק הם לא שתיים. הם תנין אפריקאי אחד ואפרסק אחד. אולי הם שני "עצמים" בהנחה ש"עצם" הוא "תנין אפריקאי" או "אפרסק", אבל באותה מידה הם יכולים להיות 37 "עצמים" אם עצם הוא "שן של תנין אפריקאי" או "אפרסק", ככה שגם המשפט הזה של פרימו לא נכון לחלוטין, ולא ברור לי למה אתה כל כך ממהר להסכים איתו. במתמטיקה אחד ועוד אחד הם תמיד שתיים, אבל ההשלכות של מה זה אחד, מה זה שתיים ומה זה חיבור על העולם הפיזיקלי הם ממש לא "תמיד נכונות".
אני מסכים שבאופן שבו אתה מציג אותו המשפט לא נכון לחלוטין ונתון לפרשנויות, אבל אני חושב שאין צורך ב"התגוננות" הזו – המתמטיקה מבצעת אבסטרקציה, וזה מה שהיא ניסתה לתקוף במשפט ההוא (ובגלל שהיא לא מתמטיקאית או עו"דית, ניסחה אותו באופן שניתן לתקיפה עם פרשנויות אלטרנטיביות…) וזה מה שלדעתי צריך לדבר עליו ולהתגאות בו.
אני סבור שקליינברג הוא אחד מקורבנותיו האומללים של הפוסטמודרניזם, וככזה הוא לוקה בליקוי מאורות חמור מרגע שאחיזתו במציאות מתרופפת. יצא לי לקרוא את תרגומו המצויין ל"וידויים" של אורפיוס אוגוסטינוס. כל עוד הוא נצמד למקור והביא את הדברים כהוויתם, תענוג היה לקרוא. ברגע שהביא את פרשנויותיו האישיות – בוקה ומבוקה ומבולקה.
פוסט מעולה. כרגיל, כשאתה משחיז את לשונך נגד טרחן זה או אחר התוצאה תמיד מהנה.
אני חושב שיש קשר בין דת (בפרט יהדות) למתמטיקה, על שניהם אנשים (ואני לא מדבר עליך, למען הסר ספק.) מרשים לעצמם לכתוב למרות שרמת הידע שלהם בתחום היא מכמה שמועות קלוטות מהשוק, ואם אותם אנשים הם ברי־סמכא בתחומם אז גם יקשיבו להם.
יובל,
לטעמי, הבעיה היא אם רמת הניתוח של העוסקים במדעי החברה ובמדעי הרוח תואמת לקשקושים שיש לכמה וכמה מהם לומר על המדעים המדויקים, וע"ע תגובתו של עופר.
אני לא ממש מסכים עם הטיעון השני של הכתבה (שהוא הטיעון הראשון שלך). לדעתי קורה היום דווקא תהליך הפוך – מתגבש קונצנזוס די מסוכן ש"מתמטיקה זה לא חשוב" ואפשר להיות אדם משכיל גם בלי להבין בזה כלום.
דוגמא מהזמן האחרון – לפני מספר שבועות צפיתי בתוכנית "1 נגד 100". הופיעה שם השאלה "אם השנה יש לי יום הולדת ביום שני, באיזה יום יהיה יום ההולדת שלי בשנה הבאה?". מיותר לציין שלמתמודדת לא היה מושג. היא השתמשה באיזה גלגל הצלה, ומהנדס מהקהל התנדב להסביר לה שכיוון ש- 365 מוד 7 הוא 1, שנה הבאה היומולדת תהיה ביום שלישי (ההסבר שלו היה ארוך יותר, מפורט ובאופן כללי מצויין). המתמודדת ואברי גלעד פשוט בהו בו, ובסוף הסכימו לקבל את התשובה כי "הוא נשמע מבין עם האחוזים האלה שהוא מדבר עליהם".
לדעתי להצליח להבין את התשובה הזאת זה מתמטיקה, בערך כמו שלדעת שביאליק הוא המשורר הלאומי זה ספרות, לדעת שעשרת הדברות ניתנו בספר שמות זה תנ"ך ולדעת שארה"ב הטילה פצצת אטום על יפן זה היסטוריה. מדובר באמת בבסיס של הבסיס. יש אנשים שלא יודעים את כל הדברים האלה? נכון. אבל רובם די מתביישים בזה, ורובם נתפסים כבורים מוחלטים. משום מה אברי גלעד ממשיך להיתפס כאינטלקטואל (הכל יחסי בחיים), אחרי שהוא התגאה בטלוויזיה הארצית שהוא לא מבין מתמטיקה של כיתה ה'. למרבה הצער הוא בחברה טובה – ציטוטים דומים נשמעים על ידי אנשי טלוויזיה (כולל ירון לונדון), עיתונות, פוליטיקה, משפט, ספורט, מוזיקה וכו' וכו'.
אבל יש בגרות חובה במתמטיקה ותלמידים ששונאים אותה? אז מה? אני תיעבתי ספרות. פשוט לא הסתדרתי עם המקצוע הזה. האם צריכה להיות קריאה לבטל את הבגרות בספרות? או שבדיעבד זה טוב שהכריחו אותי לקרוא כמה שירים של ביאליק, סיפורים של עגנון ומחזות של שייקספיר? כמובן צריך ללמד מתמטיקה טוב, אבל חייבים ללמד אותה. את כולם. ומי שלא אוהב, שיסבול קצת בבית הספר ושלא יילך להיות מהנדס. אבל שיבין למה 365 מוד 7 זה 1.
הטיעון השני הוא לא הטיעון שלי. כל שאני אומר הוא שאם מערכת החינוך מתנהגת באופן גרוע צריך לתקן את זה. אין לי מושג מה המצב כיום. בנוגע למצב בתרבות הכללית – אכן, אוהבים לרמוס את המתמטיקה ולהתגאות בבורות מתמטית, אבל זה כמובן לא חדש. התחלתי היום לקרוא ספר של חיים שפירא, והוא מצטט שם את דוקינס שאומר בדיוק את זה, וגם כשדוקינס אמר את זה, זו כבר הייתה קלישאה.
אני מזדהה עם דבריו של יחזקאל, על הקשר בין דת ומתמטיקה, ולא רק הן.
הבעיה היא באמת, ברמת הטיעונים של אנשי מדעי הרוח.
במתמטיקה, כמעט תמיד (כמעט במובנו המתמטי) אחרים יכולים לבדוק את טענותיך, ומיד. לא צריך בשביל זה ניסויים יקרים ומסובכים, אלא רק קריאה בקורתית. אם מה שכתבת אינו הגיוני, הוא יופרך לאלתר, ולא יעזרו לך כל נפנופי הידים שלך ושל אחרים. במדעי הרוח ההיפך מזה נכון. אי אפשר לסתור טיעונים חד משמעית, כולל טיעונים מופרכים מתחלתם ועד סופם, ואין דרך לבחון אם מי שקיבל תואר פרופסור מבין כלל מה הוא אומר, והתזה שלו עומדת במבחן הגיון פשוט, או שרק האריך כל כך בכתיבה עד שמוריו התייאשו מלבדוק.
(יצא לי לא מזמן לקרוא ספר של פרופסור ידוע בנושא שאני קצת מכיר, שרכשתיו כדי להעמיק בו, ולצערי לקח לי כמה שעות טובות להבין שכשרונו הגדול הוא לכתוב עוד ועוד ועוד, בלי לומר כלום,אלא רק ליצור רושם אצל הקורא שעוד רגע יגיעו הדברם הגדולים באמת. נדמה לי שזו תופעה ייחודית במדעי הרוח).
צריך, באופן דחוף, למצוא קריטריוניים מתמטיים טהורים, כד לאבחן מי ראוי להיות פרופסור למדעי הרוח.
יחזקאל, סער -
זה פחות או יותר מה שאני מדבר עליו.
יחזקאל – אתה לא רואה איזושהי בעיה בכך שאתה מבקר אנשים על כך שהם מבקרים תחום עמוק, מורכב ובעל היסטוריה (בין אם זה דת ובין אם זה מתמטיקה) בלי באמת להעמיק בו, ובאותה הנשימה מבקר את אנשי מדעי הרוח על "הקשקושים" שהם כותבים?
סער – אני מצטער, אבל אני חושב שהדבר האחרון שצריך זה "קריטריונים מתמטיים טהורים" במדעי הרוח. מדעי הרוח הם לא מדעי הטבע ולא אמורים להיות מדעי הטבע. הקריטריונים שם אחרים, שיטת המחקר והמחשבה היא אחרת, והמחקר שם הוא אחר, *וככה זה צריך להיות*. דעות כמו שלך מטרידות אותי הרבה יותר מאשר הספר של קליינברג.
תודה גדי, פוסט חשוב.
קראתי בעצמי את אותה הכתבה, והתעצבנתי על אוסף הקשקושים, שעושה רושם שיש בספר הזה. נראה שהמחבר שלו פשוט לא יודע על מה הוא מדבר, ובפרט כותבת הכתבה לא יודעת על מה היא מדברת.
לטעמי זה מביך וקצת מעצבן.
והערה אחרונה – אני לא חושב שיש מקום לתקוף את מדעי הרוח בגלל שפרופסור אחד החליט לכתוב ספר שאנחנו לא אוהבים. כבודם של מדעי הרוח במקומם מונח.
ליובל.
קריטריונים מתמטיים טהורים, פירושם קריטריונים כאלו שאינם תלויים באדם הבודק, אלא כל בדיקה תביא לאותן תוצאות. ודאי שיטות המחקר הן שונות, מאד, ובודאי יש חוקרים חשובים העושים מלאכתם נאמנה. הענין הוא שיש כאלה (וזאת אני אומר מידיעה אישית ברורה) שדבריהם אינם עומדים בשום מבחן שכלי סביר, ואין לאחרים כלים מספיקים כדי להצביע על תופעה זו באופן שיובן לכל, לעוסקים בתחום כמו לאלו שאינם עוסקים בו, ששלילת דעה מסויימת לא באה מתוך צרות עין או קנאה, אלא באופן אובייקטיבי אותה דעה אין לה קיום, או, מה שיותר גרוע, שאינה דעה כלל ובעצם מאמר או ספר שלם לא אמר כלום (ולכן גם אי אפשר לתקוף אותו על מה שכתב). אני משער שגם אתה מסכים שלא כל רעיון הזוי יכול להיחשב כמחקר מדעי, גם לא במדעי הרוח, ושמלל חסר פשר אינו מדע.
ראיתי הרבה מאמרים במדעי הרוח, ואני לא חושב שניתן להאשים אותי באי כיבוד מדעים אלו. אני עוסק בהם יותר ממתמטיקה. אבל פעמים רבות ניכר חוסר החשיבה המסודרת והשיטתית, הבאת דברים ממין הענין ושלא ממין הענין יחד, הסקים שאינם עומדים בשום מבחן לוגי, וכיוצא. על זה אני חושב שייטב למדעי הרוח ולכולנו, אם ימצאו קריטריונים אובייקטיבים כריעים (לזה אני קורא מתמטיים), לאבחן מאמר במדעי הרוח הראוי לשם מאמר, ומחקר במדעים אלו הראוי לשם מחקר.
סער -
גם במדעי הטבע (לפחות אלה שאני מכיר מיד ראשונה) מי ששופט אם מאמר ראוי לפרסום או לא הם בני אדם. וכמו תמיד – בני אדם מכניסים את כל הדבר הזה שנקרא "אנושיות" לסיפור. גם במדעי הטבע מי שמחליט אם מאמר עוסק בנושא מעניין מספיק, אם הוא חידש מספיק ואם הוא כתוב בצורה טובה ובהירה דיה הם שופטים אנושיים. הנקודה היחידה בה למדעי הטבע "יתרון" (לשיטתך) על פני מדעי הרוח הוא ביכולת לבדוק *תקפות* של טענה, וזהו רק חלק אחד משיפוט של מאמר. כאן ראוי להציג שתי הסתייגויות:
1. גם במדעי הטבע היכולת לבדוק תקפות של טענות היא לא חדה, בעולם המציאותי. בתחום המחקר שלי בהחלט ישנם אזורים "אפורים", מחלוקות על פרשנות ועל תקפות של גישות שונות ומשונות ועוד. אני משוכנע שבתחומים "קשים" פחות כגון ביולוגיה וכימיה זה כך, ואני אופתע אם אפילו במתמטיקה הטהורה זה לא כך. אם אכן כל המתמטיקאים היו כותבים מאמרים רק בשפה פורמלית, אני מניח שהבעיה הזו היתה נפתרת. אבל מתמטיקאים הם בני אדם, והם כותבים לבני אדם אחרים, ואני מנחש שהכתיבה מאפשרת מקום לטעויות, לגישות שונות ולהשמטות והזנחות שאפשר להתווכח עליהם. אני אולי טועה – וכאן גדי (או מתמטיקאים אחרים) מוזמנים לתקן אותי.
2. השאלה האם במדעי הרוח יש בכלל משמעות למונח "תקפות" ביחס לטענה היא שאלה לא פשוטה, והנטיה שלי היא לומר שבתחום הזה המשמעות מוגבלת בהרבה ממדעי הטבע (ושוב – טוב שכך). לכן, גם המגבלה הזו היא לא "חסרון" של מדעי הרוח, אלא משהו אינהרנטי לתחום שהוא חשוב ומשמעותי לגבי אופיו. זה לא באג, זה פיצ'ר.
אכן – גם במאמרים מתמטיים יש טעויות, וגם במאמרים מתמטיים יש עניין של אופנות והלכי רוח שעל פיהן מאמר עשוי להיפסל או להתקבל.
צודק במאה אחוז. אני דווקא רוצה להתייחס לנקודה אחרת. ואם המתמטיקה לא הייתה מעשית אז מה? היום כל דבר חייב להוביל למשהו מוחשי או מעשי אחרת הוא נחשב לבזוי, לא חשוב, לא מעניין וכזה שאפשר לבטל (ע"ע סגירת המחלקות בפקולטה למדעי הרוח). מה אם עיסוק אינטלקטואלי בדברים? יצר סקרנות? חדשנות? לחקור דברים שאף אחד לא עשה בעבר רק בשביל הכיף רחמנא ליצלן?
שים לב – לא מתלוננים על חוסר מעשיות של המתמטיקה, אלא על זה שהיא "לא עוסקת במה שחשוב לך". לי אישית נראה שזה מעיד יותר על האדם שעליו זה נאמר מאשר על המתמטיקה.
זו לשון מכובסת לומר שהיא אולי מועילה להרבה אנשים אבל אתה לא צריך את זה. בלי קשר לאי נכונות הטענה, אני לא חושב שצריך ללמד אנשים רק מה שצריך בשביל להסתדר בעולם.
הערה אחת – אני לא לגמרי מסכים עם זה שלא צריך מתמטיקה כדי להסתדר בחיים.
השאלה היא מה פירוש צריך מתמטיקה ומה פירוש להסתדר בחיים.
אתחיל במה פירוש צריך מתמטיקה – האדם הפרטי לא צריך הרבה מתמטיקה (בלי קצת מתמטיקה אי אפשר) כדי להסתדר בחייו כמו שהוא לא צריך לשלם מיסים כדי שהמדינה תמשיך לספק לו שירותים. מספיק שדי אנשים ישלמו מיסים, כדי שזה שלא משלם יוכל לקבל את השירותים להם הוא נחוץ מהמדינה. אותו כנ"ל לגבי מתמטיקה ומדע בכלל – האדם הפרטי לא צריך להבין בזה הרבה, אם הוא סומך שמישהו אחר מבין בזה בשבילו (אולי זה נשמע מקומם לחלק מכם, אבל זה מה שרובנו עושים בחלק גדול מהדברים בחיים – אנחנו סומכים על זה שיהיה מישהו שיתקן עבורנו את הרכב או לחליפין יטיס עבורנו את המטוס כשאנחנו רוצים לטוס לחו"ל). זה שלא שאני טוען שמשהו מהדברים האלו הוא לא חשוב או לא מעניין, אבל ההעדפה שלי היא להתעסק בדברים אחרים ולסמוך על מישהו אחר שיעשה זאת בשבילי (כי הזמן שלי הוא סופי ודברים מסוימים מעניינים אותי יותר מדברים אחרים).
העניין מתחיל להיות מעצבן, כשלא רק שאני סומך על מישהו אחר שיבין בשבילי מתמטיקה, אלא גם אומר לו שזה לא חשוב ולא מעניין אותי. כלומר, יש כאן הטפה לרעיון כללי – אף אחד לא צריך לדעת מתמטיקה כדי להסתדר בחיים. טענה כזאת פשוט לא נכונה, לפחות לא כדי להמשיך לחיות חיים מודרניים עם רפואה, מכונות, מחשבים וכל שאר הדברים הנפלאים שהקדמה הביאה. אפשר כמובן להמשיך לחיות גם בלי אלה (לחזור להיות מלקטים, לגור במערה ולמות לפני גיל 50), אבל אני לא בטוח שלזה התכוונה הכותבת כשאמרה שאפשר להסתדר בחיים.
כל האמור לעיל לא גורע מכל מה שנכתב על ידי אחרים כאן – מתמטיקה בסיסית היא חלק מהתרבות הבסיסית שלדעתי רצוי שכל אדם יכיר, כפי שאני רוצה שיכיר תנ"ך, היסטוריה, ספרות וכו'.
עם כל אהבתך למתמטיקה תמיד תהיתי למה אתה במחלקה הלא נכונה…
ברור לגמרי שלקליינברג אין מושג קלוש מהי מתמטיקה. הוא תופס אותה כעניין טכני וצר. מבחינתו מתמטיקאי הוא לא יותר ממחשבון (calculator) אנושי שמשתמש בכל מיני מתכונים מוכנים מראש כדי לחשב דברים. זו פעולה הכרחית אך משעממת. אפשר למנות כמה אנשים שיעשו את זה בשביל כולנו, ובזה נגמר העניין. היום יש מחשבונים אלקטרונים , כך שבכלל צריך את המחשבונים האנושיים עוד פחות, וחבל שמערכת החינוך תבזבז את זמנה בהכשרתם. למעשה קליינברג בראיה המעוותת שלו חושב שהמתמטיקאים הם חוטבי העצים ושואבי המים של כולנו…
לאור העובדה שמדובר באיש אקדמיה, הייתי מצפה שלפני שהוא כותב כזה ספר, יואיל ויבצע עבודת תחקיר מינימלית. אם הוא היה טורח לקיים אפילו שיחה של 20 דקות עם מתמטיקאי, היה שומע משהו ממה שגדי והמגיבים כתבו כאן, ומבין שהוא לא באמת יודע מה זה מתמטיקה ומה משמעותה. אז הצעה למערכת החינוך לנושא לימוד בשעות שיתפנו לאחר ביטול לימודי המתמטיקה – "חשיבות בדיקת עובדות והכרת נושא לפני שמביעים עליו דעה". אם פרופסור להיסטוריה נכשל בכך, סביר להניח שגם כמה תלמידי תיכון יוכלו להפיק תועלת מהכשרה בנושא.
הערה קטנה (מכוונת במידה רבה לתגובה האחרונה של חזי, אך תקפה גם להערות אחרות).
גדי סייג את דבריו מראש בכך שהוא לא קרא את הספר האמור. הביקורת היא במידה רבה על הלך הרוח העולה מכתבת הביקורת ב־ynet על הספר.
הערות כגון "יואיל ויבצע עבודת תחקיר"יראו לי יותר מוצדקות אם הן מבוססות על קריאת הספר עצמו, ולא על ביקורת אחת בעיתון. יכול להיות שהוא ביצע "תחקיר" כזה. יכול להיות שבמהלך חייו הוא כבר הספיק לשוחח על כך עם כמה מתמטיקאים.
עוד הערה קטנה:
ולמי שטוען ש"צריך מתמטיקה" – בשביל להכניס מעט פרופורציה לטיעון: למה שלא נדרוש מכל אחד ידע מתמטיקאי ברמה של תואר ראשון? (ובאותה הזדמנות: ידע בסיסי בפיזיקה, כימיה וביולוגיה באותה הרמה לא יזיק).
לעומת זאת, כיום אנחנו מזניחים תחומי לימוד רבים שנחשבו במשך שנים "ידע בסיסי". לדוגמה: ספק אם צעיר צרפתי ידע להבין את כל הבדיחות של ספרי אסריקס הגאלי. לא כ"כ מפני הסתמכותם על ארועי ההווה אלא בגלל הסתמכותם על "החינוך הקלאסי".
כלומר: לטענה "תמטיקה בסיסית היא חלק מהתרבות הבסיסית שלדעתי רצוי שכל אדם יכיר, כפי שאני רוצה שיכיר תנ"ך, היסטוריה, ספרות וכו'." הייתי רוצה לקבל כהבהרה: מהי בדיוק מתמטיקה בסיסית?
דבר אחד שהייתי רוצה שתלמידים יצאו איתו מבית הספר והם לא יוצאים איתו כיום: ההבנה של האופן שבו המתמטיקה מודדת גודל של קבוצה אינסופית ומדוע מאופן מדידה זה עולה כי קיימים אינסוף גדלים שונים של אינסוף.
מה ש*באמת* הייתי רוצה הוא לא להיתקל באנשים שאומרים "המתמטיקה הידועה לנו כיום אינה יודעת לעסוק באינסוף ואינה מתאימה לאינסוף" ומבינים עד כמה הטיעון הזה מחמיץ את לב לבה של המתמטיקה; והייתי גם רוצה אנשים שמסוגלים להבין למה …0.999 הוא בדיוק 1. אלו דברים שאני מחשיב כמתמטיקה בסיסית והציבור הכללי אינו יודע ואין לו מושג בהם.
מה אני *לא* רוצה שאנשים ידעו – לא רוצה שידעו לחשב אינטגרלים טריוויאליים. לא רוצה שידעו לחשב נגזרות. לא רוצה אפילו שידעו להפעיל את הנוסחה הכללית לפתרון משוואה ריבועית באלף ואחת משוואות שונות (אבל כן רוצה שידעו איך בכלל מגיעים אליה). לא רוצה אוטומטים שמריצים אלגוריתמים.
התחלתי לכתוב תגובה, ואז ראיתי שגדי כבר כתב בערך מה שרציתי – אני רוצה שיכירו מושגים בסיסיים, אבל לאו דווקא את הטכניקה (שהיא חשובה, אבל ממש לא הכרחית לרוב האנשים).
עוד דוגמאות בנוסף למה שגדי כתב – הייתי שרוצה שאנשים ידעו מה זה i, מהם בסיסי ספירה שונים, מהי פונקציה, מהי נגזרת (אינטואיטיבית – לא הגדרה או אפילו להיות מסוגלים לגזור משהו).
עוד משהו שלדעתי חסר מאוד בתיכון, ונראה דווקא שימושי לחיים הוא קצת הסתברות וקצת סטטיסטיקה.
בנוסף, בניגוד להשמצות שיש לפעמים על הנושא – אני חושב שכן חשוב שאנשים ידעו לעשות קצת חישובים בראש (או למעשה להעריך סדרי גודל של תוצאות של חישובים) כי בניגוד לדעה המקובלת – לא תמיד יש מחשבון בהישג יד וזה לא רק העודף במכולת.
מה שאנחנו מלמדים את הילדים בבית הספר אמור לספק להם הנאה ("העכשיו") ולבכשיר אותם לחייהם הבוגרים ("העתיד").
האם "להבין את האופן בו המתמטיקה מודדת גודל של קבוצה אינסופית" תורם להם באספקטים הנ"ל יותר מללמוד ערכי מוסר דרך תנ"ך או ספרות או מלהכיר בעלי חיים?
הכל חשוב, הכל תורם, הלואי והיינו יכולים ללמוד וללמד הכל, אך לצערנו הזמן העומד לרשותנו מוגבל.
אז מה עושים?
לדעתי, יש לחשוף את הילדים לתחומים שונים ומרובים ככל שניתן. ולהרגיש אותם, לזהות את מה שהם אוהבים ולאיזה כיוונים הם נמשכים ומגלים כשרון. אם הילד אוהב לקרוא ספרים ומגלה יכולת כתיבה נאותה, ומספרים מהווים עבורו איום, מה בדיוק הוא והחברה מרוויחים מכך שנלמד אותו פונקציות בשני משתנים?
קראתי עכשיו כתבה על מישהו שכל התיכון גלש גלים, ואחרי הצבא החליט ללכת ללמוד, עשה מכינה, גילה כמה המתמטיקה יפה וסיים תואר. שמעתי סיפורים דומים מפרופסורים באוניברסיטה. אולי לימוד כפוי של מתמטיקה הילדותם היה מקשה עליהם ומותיר בהם צלקות שהיו מונעות מהם את המתמטיקה לעולם, כמו שקורה אצל חלק גדול מהאוכלוסיה?
אני חושב שיש להתמקד בשני דברים: ערכים (כן, כולל הערך שלפעמים בחיים צריך לעשות דברים שלא אוהבים, ואפילו לפעמים לעבוד קשה רחמנא ליצלן) וחשיפה ליופי שיש בעולמנו. מי שיאהב את האסתטיקה של הקבוצות של קנטור – סבבה. מי שידלק על הסונטות של בטהובן – גם סבבה. שיצאו מבית הספר עם סקרנות, אהבה וחמלה ומוטיבציה למצות את עצמם בכל תחום בו יבחרו.
(אני מורה למתמטיקה, עכשיו ביסודי, מתמודד עם הדילמות הללו על בסיס יומיומי, חסר תשובות מוחלטות ושמח שיש כאן דיון בנושא)
אני מסכים איתך לחלוטין – צריך לחשוף את הילדים לתחומים שונים ומרובים ככל שניתן. זו הכללה פרועה, אבל בכל זאת אגיד אותה: ילד/נער שלא נחשף לתורת הקבוצות של קנטור, לא נחשף למתמטיקה.
השאלה היא האם אנחנו רוצים שהילדים יצאו מבית הספר בורים ופשוט לא ידעו על העולם המתמטי הרחב שקיים ואפשר ללמוד עליו (ואם הם לא יודעים, למה שילכו ללמוד עליו מרצונם?).
כמובן שכל זה לא הכי רלוונטי כי מה שבתי הספר (התיכוניים) עושים כיום הוא להכין את התלמידים למבחן טכני מסויים – הבגרות. הם לא באמת מלמדים כלום. ואת מה שאנחנו מציעים כאן אי אפשר ממש לבחון טכנית.
אם בבורות עסקינן – מי שיודע על בוריה את תורת הקבוצות ואינו מכיר שיר אחד של אלתרמן – בור או לא בור? ומי שפותר משוואות דיפרנציאליות ולא ישן לילה אחד במדבר הפתוח? הדיון הזה הוא אינסופי (ואת זה יכול להגיד גם ילד שלא למד על הבדלים בין רמות שונות של האינסוף) ובסופו של דבר לא מקדם אותנו.
הבעיה עם המתמטיקה, כמו שמישהו כבר ציין כאן למעלה, היא שהיא מתגלה בשיא יופיה ותפארתה רק בשלב מאוחר מאד – באוניברסיטה. וכדי להגיע ליופי שלה צריך חשיבה מופשטת שעדין אינה נגישה לילדים בגילאים הצעירים.
וזה האתגר הגדול ביותר העומד בפני המורה למתטיקה – לספק להם את הכלים עבור האסתטיקה המאוחרת הזאת, באמצעות חויית לימוד מהנה ומענינת כבר בשלבים המוקדמים.
הדיון אכן אינסופי, אבל צריך לקיים אותו וזו הדרך היחידה להתקדם, כי אחרת אי אפשר להחליט מה בכלל יש ללמד בבית הספר. לי נראה שאנלוגיה טובה יותר תהיה לא שיר של המשורר הספציפי אלתרמן, אלא אי הכרת שירה כלל. אני משער שתסכים איתי שמי שיוצא מבית הספר ואינו יודע שקיים דבר כזה, שירה, יצא מבית הספר בור.
אני בהחלט סבור שילד בגיל התיכון מסוגל להתמודד עם תורת הקבוצות, לפחות כשם שהוא מסוגל להתמודד כיום עם המתמטיקה התיכונית הקיימת. העובדה שרק באוניברסיטה נתקלים במתמטיקה "אמיתית" היא לטעמי מצערת מאוד ולא מחוייבת המציאות (אם כי אולי העובדות בשטח יראו שעלי להתבדות ואכן, תלמידי תיכון אינם מסוגלים להתמודד עם החומר הזה).
יובל,
אולי לא הובנתי נכון. אני לא טענתי באופן כללי על מה שקורה במדעי הרוח או מדעי החברה, אלא על דברים כמו שגדי הביא פה או במקומות אחרים, טענות של אנשים מסוימים על מתמטיקה. כדי לשפוט על טענות בסיסיות על המתמטיקה שהן קשקושים לא תמיד צריך ידע מעמיק, או במילים של מתמטיקאים: לטענה צריך הוכחה, להפרכה מספיקה דוגמה נגדית.
גדי,
אני לא מצליח להבין לפי מה קבעת מה הנושאים שנראים לך חשובים לתיכון, את הנושא של אינסוף בתורת הקבוצות הכנסת בגלל ששמעת אנשים אומרים "המתמטיקה הידועה לנו כיום אינה יודעת לעסוק באינסוף ואינה מתאימה לאינסוף"? שלא תטעה, אני חושב שזה אכן נושא יפה, ומעניין להראות שיש כלים מתמטיים שמאפשרים לנו לטפל בדברים שלכאורה בלתי נתפסים כמו האינסוף, אבל אני לא רואה את החשיבות בכך שכל תלמיד תיכון ידע זאת. מה כן חשוב שידעו? אני לא בטוח.
קבעתי בעיקר על פי טעמי האישי, מן הסתם, ועל פי מה שנראה לי שדורש מעט מאוד ידע מוקדם אבל מצליח עדיין לייצג טוב את המתמטיקה "האמיתית (ולתורת הקבוצות הנאיבית יתרון נוסף – היא, ולא משוואות אלגבריות או אפילו גאומטריה, השפה שבה מדוברת היום המתמטיקה).
לגבי השאלה "מה חשוב שידעו", אני חושב שהתשובה כאן פשוטה: שום דבר לא חשוב. כמו שקליינברג ואחרים טוענים, הם ככל הנראה לא יזדקקו בעתיד למתמטיקה שמעבר לרמת ארבע פעולות החשבון. המטרה לא צריכה להיות לתת להם ידע "חשוב" או "שימושי" אלא לאפשר להם להכיר את המתמטיקה האמיתית, ולו כדי למנוע מהם להחזיק בתפיסות שגויות בצורה קריטית לגבי מהות המתמטיקה – תפיסות שבאות לידי ביטוי בכתבה של ynet ובציטוט שהבאתי.
העובדה שכל כך הרבה בוגרי תיכון חווים קשיים ניכרים בחלק ההיסק של המבחן הפסיכומטרי ("כל הדגים כחולים, משה הוא כחול; האם נובע מכך שמשה הוא דג?") היא תעודת עניות לחינוך המתמטי בישראל. אי אפשר להתחיל להבין שום דבר שמתקרב למתמטיקה אם אין הסכמה על מה המשמעות של טענות שאנחנו טוענים, וזה הרבה יותר חשוב ונגיש מהתעקשות על הוכחות טריגונומטריות או חישוב אסימפטוטות.
ראשית, אודה ואתודה שלא קראתי כאן את כל הטוקבקים (כן קראתי את הפוסא עצמו, וגם את הכתבה בynet ובערך את כל תגוביותיהָ, אבל לא את הספר המדובר).
למרות שלא קראתי את הספר המדובר, מהמעט שאני רואה בכתבה ב-ynet אני בכלל לא משוכנע שהוא כל כך "אנטי-מתמטי". כלומר מקריאה "בין השורות" זה נראה יותר כסיפורו של הילד שנפגע מאיך לימדו אותו מתימטיקה, ותיאור התגובה בנוסח "מתימטיקה לא עוסקת במה שמעניין אותך" לא נראה לי כמו ביקורת על המתימטיקה כמו על מי שמלמד אותה שבמקום לחשוב על צרכי התלמיד אומר לו "תשתוק ותלמד בעל-פה מה שאומרים לך!". כשתהיה לי הזדמנות אקרא את הספר עצמו (וגם ילדי – אין שום סכנה שיפסיקו לאהוב מתימטיקה!) ואדע קצת יותר טוב למה התכוון המחבר. אני בטוח שהוא מכיר לא מעט מתימטיקאים, וביניהם גם כאלה שטובים במתימטיקה ולא בלהסביר מתימטיקה.
לעומת זאת המאמר ב-ynet לעומת זאת הוא פשוט מאמר שִׂטנה נגד המתימטיקה, שמאשים אותה ב"פשע מוסרי" וב"פשע חברתי", כשאפילו מקריאה של הכתבה עצמה אפשר לראות שאם בכלל יש "פשע חברתי" הוא אינו פשעה של המתימטיקה אלא של החברה עצמה שבחרה בדרך לא נכונה לחשוף את הילדים אליה. לגבי ה"פשע המוסרי" אין שום הצדקה בכתבה. כלומר יש נסיון "הצדקה" דרך אותו סיפור שמשווה בין "חביתה" ל"אחת ועוד אחת" שהצליח להפיל רבים מתומכי המתימטיקה שהגיבו בפח ולגרום להם להביא את הטיעונים הלא-ממש-רלבנטיים על מערכות אלגבריות בהם נותנים את השם "אחת" למשהו אחר (איבר נייטלרלי בכפל) ומקבלים לפעמים 1+1= 0 או את הטיעון העוד יותר לא-רלבנטי על כך שתלוי מה סופרים (למשל היתה כאן באחת התגובות טענה כאילו תנין ועוד אפרסק יכולים להיות 37 אם יש לתנין הרבה שיניים).
אז כיוון שאני יכול לצפות כאן לקהל שמבין קצת יותר מתימטיקה מרוב קוראי ynet אתחיל במה שלא כל כך אמרתי שם: ברור שמה שהכותבת דברה עליו הוא "אחת" ו"שתיים" כשמות של עוצמות של קבוצות (מספרים מונים) ולא שום פרשנות אחרת. לכן ההתיחסות לשדות שונים מיותרת. הסתיגות: לפעולות "מודולו" אפשר ליחס פרשנות של "ספירה" במערכת מחזורית, אבל גם שם זה לא בדיוק ספירה, ואפשר בקלות להסביר את זה לאדם אינטליגנטי כמו אברי גלעד את המשמעות של זה בעזרת דוגמאות קלות של חישובי זמן מעבר לשעה השלמה או מעבר לחצות והוא גם יבין, וגם יבין שנעשה לו עוול מסויים על ידי מוריו בבית הספר או מי שמינה אותם שלא הסבירו לו נכון כשהיה צעיר, ונחזור לעניין: ) העוצמה של הקבוצה {"תנין","אפרסק"} היא 2 גם אם "תנין"={שן1,שן2,…,שן37}. וגם אם "אפרסק"={"גלעין","קליפה",…,"תולעת"}. אם השאלה היתה "כמה הם תנין ואפרסק?" ומבינים אותה כשאלה על מי מספר האיברים בקבוצה שאלה שני איבריה אז התשובה היא "שתיים", ולא כי המתימטיקה החליטה לענות "שתיים" על כל דבר ולא כי יש או אין הגיון בלספור "תנין" ו"אפרסק" בתור שני יחידים שווי זכויות, אלא כי השואל הגדיר אותם ככאלה במסגרת אותה שאלה.
עכשיו אחרי שסטיתי מעט אחזור לעניין עצמו : מאמר שִׂטנה נגד המתימטיקה; מאשים את המתימטיקה ב"פשע מוסרי"; לשם "הצדקה" מביא סיפור על פרשנויות שונות של המילה "חביתה" שמוצג באופן חיובי מול סיפור על פרשנויות שונות למונח "שתיים" שאליהן דוקא היחס שלילי, ולמרות שבפירוש מה שמתואר הן פרשנויות שונות לאותו מונח "שתיים" (העוצמה) נטען שם כאילו "למתמטיקה יש רק תשובה אחת. במקום לכתוב מחדש אעתיק לכאן את אחד הטוקבקים שלי לכתבה ב-ynet שאני חושב שמראה באופן המוצלח ביותר (אחרי כמה נסיונות) מדוע הטיעון הזה הוא אחיזת עיניים ולא יותר ממשחק מילים. אין שום בעייה להחליף בין שני הסיפורים ולקבל בדיוק את ה"מסקנה" ההפוכה:
המלך חרדונזלך שכל הזמן שואל שאלות. הוא שואל, למשל, "כמה זה אחת ועוד אחת?". התשובה: "שתיים". אחרי שהוא מקבל תשובה פשוטה, הוא מתחיל להקשות: "אם האחד הראשון הוא תנין אפריקני והאחד השני הוא אפרסק?" "שניים". "אפשר תנין חולה ואפרסק? גם זה שניים?""."כן, אפשר!" "אפשר אפרסק שבתוכו יש תולעת?" "גם זה אפשר. גם זה שניים".
הגסטרונומיה אינה כזאת. מה זאת בלילת ביצים מטגנת? חביתה. ובלילת ביצים מטוגנת עם בצל? חביתה! ואם זה בצל ירוק? מה התשובה? עדיין חביתה! ועם בצל אדום? גם כן חביתה! ואם מטגנים אותה בחמאה? גם זה חביתה!!! ובמרגרינה? חביתה! חביתה! חביתה!
זאת ההצדקה של המְחַברת למה שהיא קוראת "פשע מוסרי": לוקחים אותו סיפור בדיוק, מנסחים פעם אחת בנימה אוהדת ופעם נוספת בנימה עויינת, וטוענים שיש הבדל! ההצדקה: משחק מילים! אז איפה כאן ה"פשע המוסרי"?
ולסיום הטוקבק הארוך הזה: בכלל לא ברור שכל האוכלוסיה צריכה ללמוד את המתימטיקה כפי שהיא נלמדת בתיכון. מאמר מעניין בעניין זה בבטאון החברה המתימטית למתימטיקה:
http://www.ams.org/notices/201005/rtx100500608p.pdf
ולסיום הסיום: אתמול בכנס האיגוד הישראלי למתימטיקה התקיים דיון בתכנון תוכנית הלימודים במתימטיקה בתיכון (לצערי נאלצתי לעזוב מיד אחרי הצגת הדברים על ידי רון לבנה ולא שמעתי את הדוברים האחרים ואת הדיון. לשמחתי האילוץ היה מפגש בנושא גרפים מישוריים וזה פשוט כיף!). המצב שהוצג עגום ביותר, וה"אקסיומה" שהוצגה שכאשר מתכננים תוכנית לימודים למתימטיקה בתיכון בישראל חייבים להניח שרף ההתחלה מאוד נמוך הוא עצוב ביותר. לעומת זאת הרעיונות המעטים שהוצגו בתור בסיס לתכנון העתידי הרבה יותר מעודדים.
אני תמיד טענתי ששר החינוך צריך להיות רון אהרוני, אבל אני חושבת שבתור המורה של הילדים שלי, לכשיהיו, אני אבחר בך
איזה פוסט תגובה יפה לכתבה מזוויעה שכזו.
אני מצטרף למגיבים שטענו שזה אחלה פוסט. – זה אכן אחלה פוסט.
בקשר למה שחסר בתיכון ועד כמה צריך מתמטיקה בשביל להסתדר בחיים – בעולם המודרני, אם אתה רוצה להבין את המציאות ולקבל החלטות מושכלות – ולא משנה אם זה הצבעה לכנסת או בחירת תוכנית פנסיה – אתה צריך לדעת קצת מתמטיקה. בעיקר הסתברות וסטטיסטיקה. הרבה מאד מהידע שמוגש לנו מבוסס על כל מיני חישובים סטטיסטיים ואם חשובה לך האמת אתה צריך להיות מסוגל להתמודד עם המידע הגולמי ולשפוט את הפרשנויות והניתוחים שמבוססים עליו. אתה לא צריך לעבור קורס בתורת המידה בשביל זה אבל אתה כן צריך להבין מה זה התפלגות נורמלית. אתה צריך לדעת מה זה ממוצע, איך מחשבים אותו ולמה, מה ההבדל בינו לבין החציון, למה ההבדל בינהם חשוב ועוד כמה מושגי יסוד כאלה. בתיכון שאני זוכר – בכלל לא מדברים על הדברים האלו. וגם – הנוסחאות המדויקות והטכניקה החישובית חשובים פחות. אם תרצה לחשב דברים – יש כלים פשוטים מאד שיעזרו לך – אם אתה מבין מה אתה רוצה לדעת. (אפילו אקסל יכול להיות כלי חזק מאד להבנה של כל מני דברים אם יודעים לאן לכוון אותו ולמה).
אז נכון – אפשר לחיות בלי זה. אבל לא כדאי. וגם לא צריך. זה לא יותר מסובך מלנתח שירים. זה רק קצת יותר מפחיד.
ועכשיו להוכחה ניצחת לכך שועצי המלך חרדונזלך שיקרו כאשר אמרו "המתמטיקה לא עוסקת במה שחשוב לך":
Bar-Ilan Combinatorics Seminar
(when) Tuesday, 26 Sivan (June 8), 12:00-13:30
(where) Room 201 (Math Department Seminar Room), Math and CS Building (216), Bar-Ilan University
(who) Dov Samet (Tel-Aviv University)
(what) "Why Angelina Jolie and Brad Pitt are a couple"
(or: "Matching of like rank and the size of the core in the marriage problem")
Abstract:
When men and women are objectively ranked in a marriage problem,
say by beauty, then pairing individuals of equal rank is the only
stable matching. We generalize this observation by providing bounds
on the size of the rank gap between mates in a stable matching in
terms of the size of the ranking sets. Using a metric on the set of
matchings, we provide bounds on the diameter of the core—the set
of stable matchings—in terms of the size of the ranking sets and
in terms of the size of the rank gap. We conclude that when the set
of rankings is small, so are the core and the rank gap in stable
matchings.
http://u.math.biu.ac.il/~radin/comsem/comsem_70/comsem_70b.html
[...] את הפוסט על "איך בוטל "איך בוטלה המתמטיקה"" טרם קראתי את [...]
[...] לסיכום אומר שהעיסוק התקשורתי והראיונות היו בהחלט חוויה. גם למדתי לא מעט על איך עובדת התקשורת ועל חשיבותו של היח"צ. עם כל הרעש, הקורא האובססיבי שיעבור על המקורות האלו, יתקשה לקבל תמונה ברורה של מה שעשינו. להיפך, הוא ימצא עצמו מבולבל קמעה. כמספר הראיונות והאיזכורים כך מספר השמות לאלגוריתמים, מספר בסיסי הנתונים ומספר התיאורים של הממצאים. די משעשע. אין מנוס מלהביא את הסטריפ המדוייק עד למאוד מ-PhD comics (דרך גדי ברשימה איך בוטל 'איך ביטלו את המתמטיקה', על ספרו של אביעד קליינברג): [...]
המתמטיקה היא תופעה מדהימה שהמין האנושי יודע לעסוק בה. למתמטיקה יש אינסוף חוקים בינה ולבין עצמה והיא פשוט דבר נפלא. אני לא מדבר על מתמטיקה משעממת כמו שלומדים בבית הספר היסודי, אני מדבר על נוסחאות מסובכות, חכמות ומדהימות להפליא.
אנשים אשר לא אוהבים מתמטיקה לא מבינים עד כמה היא חכמה ומופלאה. הפחד ממתמטיקה נובע מחוסר שליטה במקצוע זה.
המתמטיקה טמונה בחיינו ואנו לא יכולים לבחור להיפרד ממנה פתאום, גם אם ננסה ונכתוב על כך ספרים.
לסיכום, I Love Math !!!!!!!!!!!!!!
אני מסכים איתך, דניאל.
גם אני חושב שמתמטיקה זה הרבה מעבר למה שלומדים בבית הספר, מתמטיקה זה גאוני.
יחי ליאונרדו פיבונצ'י!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
איזה זוג חנונים…
במתמטיקה אין שום דבר מעבר לשני דברים-1. סבל ו-2. רצון למות.