איך חישב ארטוסתנס את היקף כדור הארץ

יום אחד, לפני אלפיים ומשהו שנים, קם אדם בבוקר והחליט שהופס – היום הוא ימדוד את היקף כדור הארץ. הלך כמה צעדים, עמד בשמש, מדד איזה צל שהיה בסביבה, עשה עוד איזה חישוב – וסיים! הוא חישב את היקף כדור הארץ, ברמת דיוק טובה למדי. בלי לצאת למסע שמקיף את כל כדור הארץ. בלי תמונות לווין. בלי תקשורת לצד השני של הכדור. לאדם הזה קראו ארטוסתנס והוא היה מתמטיקאי (בין היתר, הוא עשה עוד כל מני דברים) יווני. איך בדיוק הוא עשה את הקסם המדהים הזה? ובכן, מתמטיקה זה מגניב. אחרי הפוסט הזה אני מקווה שגם אתם תדעו.

כמובן, ההצגה בפסקה הקודמת של הסיפור היא נאיבית במתכוון. הפרטים המדוייקים מראים שארטוסתנס התכונן לעניין וידע בדיוק מתי למדוד ואת מה. וגם היה לו קצת מזל של להיות במדינה הנכונה.

אז בואו נדבר קצת על ארטוסתנס ומה שהוא ידע ועזר לו בחישובים. ארטוסתנס עצמו חי את רוב חייו באלכסנדריה, שהייתה אז אחד ממרכזי התרבות העולמיים, והוא שימש בתפקיד הספרן הראשי של הספריה של אלכסנדריה, שזה קצת כמו להיות הממונה על האינטרנט בימינו. אלכסנדריה ממוקמת בצפון מצרים; בדרום הייתה העיר שבתנ"ך נקראת סונה (באנגלית Syene) והיום נקראת אסוואן. לסונה הייתה תכונה מעניינת מאוד: ביום של נקודת ההיפוך של הקיץ ("היום הארוך ביותר בשנה", 21 ביוני), באמצע הצהריים, השמש זרחה הישר מעל העיר. דהיינו, הקרניים מהשמש הגיעו בקו ישר ובשעה הזו לא היה צל כלל. הסיפור מספר על באר עמוקה שבשעה הזו השמש האירה רק את תחתיתה, לא את הצדדים. בפועל, כמובן שזה לא היה מדויק לחלוטין – הקרניים כן הגיעו בזווית כלשהי, פשוט קטנה מאוד, מה שלא יכל לקלקל יותר מדי את החישוב. בציור כאן אנחנו רואים מימין מה קרה בדרך כלל, ובשמאל מה קרה במועד המיוחד.well

ארטוסתנס ידע גם שבאלכסנדריה זה לא המצב – באותו היום ובאותה השעה, השמש כן הטילה צל. מה גורם להבדל? בהנחה שהקרניים מהשמש שמגיעות לכדור הארץ כולן מקבילות זו לזו, פירוש הדבר הוא שהארץ אינה שטוחה אלא מעוקלת קצת. הרעיון הגאוני של ארטוסתנס היה שאפשר יהיה ללמוד משהו על כמה הארץ מעוקלת על ידי כך שמודדים את הזווית שבה קרני השמש מגיעות לאלכסנדריה באותו הזמן שבו הן מגיעות לסונה באופן ישיר. עוד רגע נסביר איך בדיוק ונראה ציורים.

לארטוסתנס היה עוד מידע – הוא ידע (בערך) מה המרחק בין אלכסנדריה לסונה. זה כל המידע הנוסף שהוא נזקק לו. בנוסף לכך, הוא הניח שהארץ היא כדור מושלם. בפועל הארץ אינה כדור מושלם, ומדידת המרחק בין אלכסנדריה לסונה לא הייתה מושלמת, ואלכסנדריה וסונה נמצאות רק בערך על אותו קו אורך כך ששעת הצהריים בהם לא הייתה זהה לחלוטין, כך שהחישוב לא היה מושלם. הטעות הייתה בין 10 ל-15 אחוז (עוד מעט נסביר למה אנחנו לא בטוחים מה הייתה הטעות). תחשבו על זה שניה. זו טעות כמעט זניחה. בעולם של לפני אלפיים שנה, עולם שבו במפה שהכין ארטוסתנס עצמו (ואני מציג שחזור שלה למטה) לא הכירו את אמריקה, אוסטרליה, צפון אירופה וכמעט כל אסיה, בא איש ומודד צל ומקבל הערכה מצויינת לרדיוס כדור הארץ. קסם! כריסטופר קולומבוס קרא את ארטוסתנס, לא האמין, וסבר שהיקף כדור הארץ קטן בשליש ממה שארטוסתנס אמר. כתוצאה מכך הוא חשב שיש לו סיכוי להגיע להודו אם ייסע מערבה מאירופה, ולא הבין שהיבשת שהגיע אליה איננה הודו. אם היה מקשיב לארטוסתנס היה יודע. אולי (תיאוריה אחרת ששמעתי היא שקולומבוס חשב שהודו גדולה בהרבה ממה שהיא באמת).

Mappa_di_Eratostene

בואו נעבור עכשיו לפרטים של מה ארטוסתנס עשה. הוא חיכה לצהריים ביום נקודת ההיפוך של הקיץ, ואז הלך אל מגדל גבוה שהיה באלכסנדריה, והטיל צל – שהרי השמש באלכסנדריה לא הייתה בדיוק מלמעלה, והקרניים הגיעו בזווית. הוא ידע את גובה המגדל וחישב את אורך הצל שעל הקרקע, ומזה הוא חישב את הזווית שבה הקרניים הגיעו (כלומר, כמה באיזה סיבוב הן ביחס לקרן שמגיעה במאונך, כמו בסונה). איך הוא חישב? שאלה טובה, לא מצאתי פירוט לזה במקורות שקראתי, אבל בזמנו של ארטוסתנס הטריגונומטריה הייתה קיימת כבר; אם אורך הצל הוא $latex A$ וגובה המגדל הוא $latex B$, והזווית המבוקשת היא $latex \alpha$, אז מתקיים הקשר הפשוט $latex \tan\alpha=\frac{A}{B}$. קרוב לודאי שהייתה לו כבר טבלה עם נתונים מספריים מקורבים; הזווית שהוא מצא היא $latex 7.2$ מעלות, כלומר, 360 מעלות (מעגל שלם) חלקי 50. זה טיפה עגול מדי; מן הסתם החישוב פה היה מקורב (הנה לנו עוד קירוב שלא השפיע מהותית על התוצאה).

tower

עכשיו מגיע החלק המסובך (יחסית) בכל העסק. בואו ניקח את הקו (על פני כדור הארץ; זה "קו" עקום) הקצר ביותר שמחבר את אלכסנדריה עם סונה, ונמשיך אותו כך שיקיף את כדור הארץ ויתחבר שוב אל סונה. קיבלנו את מה שנקרא "מעגל גדול". ההיקף שלו הוא היקף כדור הארץ. כעת אפשר לשכוח מכך שהארץ היא כדור ולהסתכל רק על המעגל הדו-ממדי הזה – אם נחשב את ההיקף שלו, סיימנו. ככה זה נראה:

earth_1

עכשיו, נניח שאנחנו מותחים קווים ישרים שמחברים את סונה ואת אלכסנדריה עם מרכז כדור הארץ ונסמן את הזווית בנקודת החיבור שלהם בתור $latex \beta$. מה קיבלנו? שהקו שמחבר את סונה ואלכסנדריה הוא קשת על מעגל, שנשענת על זווית בגודל $latex \beta$. אם נמצא כמה פעמים $latex \beta$ נכנסת במעגל שלם, ונכפול את אורך הקשת במספר הזה, נקבל את היקף כדור הארץ. דוגמה פשוטה: אם הקשת שלנו נשענת על זווית של 90 מעלות, הרי שהיא תופסת בדיוק רבע מהמעגל, ולכן צריך לכפול את אורך הקשת ב-4 כדי לקבל את ההיקף.

earth_22

כפי שבוודאי כבר ניחשתם, אפשר להראות (ותכף נעשה את זה) ש-$latex \beta$ היא אותה $latex \alpha$ שארטוסתנס מדד. כלומר, על פי הקירוב של ארטוסתנס, היקף כדור הארץ הוא בערך 50 כפול המרחק בין סונה ואלכסנדריה. מה המרחק הזה? פתחתי את Google maps, השתמשתי בכלי מדידת המרחק שלהם, ראיתי שהמרחק בין אלכסנדריה ואסוואן (סונה של ימינו) הוא בערך (שוב ה"בערך" הזה?!) 840 ק"מ, וכפול 50 מקבלים שהיקף כדור הארץ הוא 42,000 ק"מ. היקף כדור הארץ האמיתי הוא 40,075 ק"מ. כלומר, קיבלנו היקף שהוא 104 אחוז מההיקף האמיתי – שגיאה של 4 אחוז. שמעו, זה ממש מוצלח! קיבלנו קירוב ממש טוב, בהתחשב בכך שאנחנו בכלל לא מתייחסים לעובדה שכדור הארץ הוא בכלל לא כדור אלא אליפסואיד.

כמובן, לנו קל. אנחנו פשוט פותחים גוגל ומקבלים את המרחק בין שתי הערים. אצל ארטוסתנס זה לא היה ככה. איך באמת מדדו מרחקים? בדקו כמה זמן (נטו, רק כשנמצאים בתנועה) לוקח להגיע מעיר אחת לשניה. אני מניח שגם ניסו להעריך את המהירות בהתחשב בתנאי הדרך. אני מודה שאין לי מושג מה עשו באמת; ההיסטוריה של המדע היא מרתקת למדי. מכל מקום, יחידת המרחק שארטוסתנס השתמש בה נקראת סטדיה (או לפעמים סטדיון) והבעיה היא שאין לנו ודאות מהי היחידה הזו במונחים מודרניים. יש רק הערכות שונות ומשונות, שמן הסתם נותנות הערכות שונות למרחק בין סונה ואלכסנדריה. ארטוסתנס דיבר על מרחק של 5,000 סטדיות (עגול מדי!!!!! קירוב!), ועל פי הערכה אפשרית אחת, סטדיה הייתה 176 מטרים, מה שנותן לנו היקף של 44,100 ק"מ – שגיאה של 10 אחוז. הערכות אחרות לסטדיה נותנות שגיאות גדולות יותר, אבל לא משמעותית. כמובן, זה החלק המעניין פחות בסיפור הזה כי ארטוסתנס לא חישב את המרחק בעצמו; המדידות שהוא עצמו ביצע, והטכניקה שבה השתמש, כשהן מופעלות על הנתון המדוייק של המרחק, נותנות, כפי שראינו, קירוב מצויין.

נשאר רק להסביר איך הזווית שעליה נשענת הקשת אלכסנדריה-סונה יוצאת זהה לזווית של הצל שהשמש הטילה על אלכסנדריה כשהיא הייתה הישר מעל סונה. את זה עושים עם גאומטריה אוקלידית בסיסית מהסוג שרואים בבית הספר. נתחיל עם האיור.

earth_final

באיור הזה אפשר לראות שני קרני שמש מקבילות שמגיעות לכדור הארץ – האחת אל סונה, הישר מלמעלה; והשני אל אלכסנדריה, בזווית. אם מסתכלים ממש טוב אפשר לראות שסימנתי את הזווית הזו ב-$latex \alpha$ כמו בתמונה שהייתה קודם עם המגדל. בצד ציירתי גרסה מופשטת של הסיפור הזה. אנחנו רואים ש-$latex \alpha,\beta$ הן מה שמכונה "זוויות מתחלפות". אלו שתי זוויות שנוצרות כאשר קו חותך שני ישרים מקבילים, שתי הזוויות נמצאות בצדדים שונים של המקבילים (אצלנו $latex \alpha$ משמאל לקו המקביל שאליו היא צמודה ואילו $latex \beta$ מימין), ובצדדים שונים ביחס לקו החותך (כאן $latex \alpha$ מתחתיו ואילו $latex \beta$מעליו). במקרה כזה, אפשר להוכיח ששתי הזווית שוות, מה שכמובן מסיים את הכל.

רגע, למה לא להסביר לכם על הדרך גם איך מוכיחים את זה? הנה איור כללי קצת יותר:

par1

כאן לקחתי את שני המקבילים (הצהובים) ואת הקו שחותך אותם (השחור). יש לנו שמונה זוויות, ואנחנו רוצים לדעת מי מהן שוות ומה אפשר להגיד על היתר. אנחנו הולכים להתבסס ללא הוכחה על שני דברים של אוקלידס. האחד (טענה 13 בספר 1 של "יסודות"), שאם יש לנו קו ישר $latex A$, וקו אחר $latex B$ שחותך אותו, ואנחנו מסתכלים על סכום שתי הזוויות שנמצאות באותו צד של $latex A$ ונוצרות על ידי החיתוך עם $latex B$, אז הסכום של שתי הזוויות הללו הוא 180 מעלות בדיוק (מה שאוקלידס מכנה "שתי זוויות ישרות"). בואו נקרא לקו הצהוב הימני $latex A$, לקו השחור $latex B$, ונסתכל על שתי הזוויות שבצד ימין של הקו. נקרא להן $latex x,y$. אז קיבלנו מהמשפט של אוקלידס ש-$latex x+y=180$. עכשיו בואו "נחליף דיסקט" ונחשוב על $latex A$ דווקא בתור הקו השחור, על הצהוב הימני בתור $latex B$ ונסתכל על שתי הזווית שמעל הקו השחור. אחת מהן אנחנו כבר מכירים ה-$latex y$ הימנית. את השניה אנחנו לא מכירים אבל אנחנו יודעים שסכומה עם $latex y$ הוא 180, כלומר היא שווה ל-$latex 180-y$ ולכן ל-$latex x$. בצורה דומה מראים שהזווית הנותרת שלא טיפלנו בה היא $latex y$. מה שעשינו פה הוא בעצם להוכיח את המשפט לפיו זוויות קודקודיות הן שוות (כשחותכים ישר עם ישר אחר נוצרות ארבע זוויות; זוג זוויות הן קודקודיות אם הן לא נוגעות זו בזו מלבד בנקודת החיתוך של הישרים).

par2

עכשיו, בואו נדבר על המקביל השני. גם לו יש ארבע זוויות שאפשר לחלק לשני זוגות שווים בואו ניתן להם שמות: $latex a,b$.

par3

איך נוכל להגיד משהו על הקשר בין $latex x,y$ ובין $latex a,b$? כאן אוקלידס נזקק לאקסיומה: הוא טוען שאם שני ישרים הם מקבילים, ואם נסתכל על ישר שחותך את שני הישרים הללו, וניקח שתי זוויות שהן מצדדים שונים של המקבילים אבל מאותו צד של הישר החותך, אז סכום הזוויות הזה גדול או שווה ל-180. ליתר דיוק, הניסוח המדויק של אוקלידס הוא שקול, אבל מוצג הפוך. אם נגיד "אם יורד גשם אז יש עננים בשמיים" זה שקול לכך שנגיד "אם אין עננים בשמיים אז לא יורד גשם" – מה שעשינו פה היה להוסיף "לא" לשתי הטענות ולהפוך את כיוון הגרירה שלהן. אצל אוקלידס, אם כן, הטענה היא "אם יש לנו שני ישרים שנחתכים על ידי ישר שלישי, ואנחנו לוקחים זוויות מצדדים שונים של הישרים ומאותו צד של הישר השלישי ורואים שסכומן קטן מ-180, אז הישרים נפגשים מתישהו".

המשפט המסורבל והמפותל הזה נקרא אקסיומת המקבילים והיא ראויה לפוסט מיוחד שעוסק בהיסטוריה המרתקת שלה, שמתקשרת למה שנקרא גאומטריות לא אוקלידיות. אבל שולי הפוסט הזה צרים מלהכיל את כל הסיפור הזה. רק אעיר שזה הניסוח המקורי של אוקלידס; ניסוח שקול מודרני ופופולרי יותר הוא "לכל ישר ונקודה מחוץ לישר ניתן להעביר מקביל אחד ויחיד לישר שעובר דרך הנקודה". דווקא הניסוח המקורי של אוקלידס יותר עוזר לנו כאן.

עכשיו, במקרה שלנו יש שני זוגות של זוויות שהן מצדדים שונים של המקבילים ומאותו צד של הישר השלישי: במקרה הראשון אלו $latex x,b$ ובמקרה השני אלו $latex y,a$. מה שראינו בהתחלה, מטענה 13, הוא ש-

$latex x+y=180$

$latex a+b=180$

ומה שאקסיומת המקבילים מספרת לנו הוא ש-

$latex x+b\ge180$

$latex y+a\ge180$

חיבור שתי המשוואות הראשונות נותן לנו $latex x+y+a+b=360$. מצד שני, אם $latex x+y>180$ או אם $latex y+a>180$, אז מחיבור שתי המשוואות נקבל $latex x+y+a+b>360$ וזו סתירה. לכן בהכרח קיבלנו $latex x+b=180$ ו-$latex y+a=180$. על כן, $latex a=180-y=x$ ו-$latex b=180-x=y$:

par4

וזה משלים את ההוכחה.

לסיום, הערה אישית: ראיתי את השיטה של ארטוסתנס לראשונה בבית הספר התיכון והתלהבתי מאוד. רק מה, לא ראיתי אותה בשיעור מתמטיקה; ראיתי אותה בשיעור פיזיקה, בגלל שהמורה (כתבתי בטעות "מרצה" בהתחלה, דווקא מתאים) נהג באופן כללי להגדיל ראש ולהראות לנו דברים מגניבים. זו לגמרי תוצאה שכדאי להראות בבית הספר. אין סיבה שלא. המתמטיקה פה, כפי שראיתם, היא טריגונומטריה בסיסית ביותר וגאומטריה אוקלידית שממילא יודעים. יש כאן תשובה מצויינת ל"בשביל מה זה טוב", יש כאן רעיון מגניב שאפשר לבצע בפועל, ויש כאן המחשה נאה לאופן שבו כבר בתקופת היוונים לא רק שהבינו שהעולם הוא בקירוב כדור (לא, לא היה צריך את קולומבוס בשביל זה) אלא גם שידעו להגיד עליו דברים מאוד לא טריוויאליים. אני מקווה שזה בדיוק מסוג הדברים שיאפשר לאנשים לראות כמה מתמטיקה יכולה להיות מגניבה, גם בלי להיכנס לעומק.

19 תגובות על הפוסט “איך חישב ארטוסתנס את היקף כדור הארץ

  1. מגניב לגמרי.
    מחכה לפוסט על איך חושב באותה תקופה המרחק לירח ברמת דיוק יפה מאוד.

  2. ופוסדוניוס מרודוס, הרבה אחרי, ניסה אותו דבר עם המגדלורים של אלכסנדריה ורודוס. אבל, היות ומרחקים ימיים הרבה יותר קשה להעריך, השגיאה שלו היתה בערך של 60%.
    כשתלמי כתב את האלמנך שלו, הוא הניח שפוסדוניוס – המאוחר יותר – תיקן את החישוב של ארסתוסתנס, ולכן הוא ציטט את המספר הקטן יותר.
    כשהנצרות משתלטת על האימפריה הביזנטית, הם מחסלים את האקדמיות במערב. נשאר רק הספר של תלמי, שבו כתוב שכדור הארץ בערך 60% יותר קטן. במזרח, האימפריה הפרתית והיורשים המוסלמים שלה מקבלים בזרועות פתוחות את המדענים שנפלטו מהמערב, ולכן המדע המוסלמי של ימי הביניים מכיר את התוצאה של ארסתוסתנס (ויש מי שמשפר אותה באמת).

    קולומבוס, כמי שהתחנך על מדע נוצרי, הכיר את הספר של תלמי.
    כשקולומבוס מבקש ממלך פורטוגל (אם זכרוני אינו מטעני) מימון למסע מערבה, המלך פונה לאוניברטיסת סמוסה. שם מכירים מדע איסלאמי, ויודעים שהקף כדור הארץ גדול מדי. הם משיבים למלך שמשלחת מערבה תאבד. אין לנו ספינות שמסוגלות לחצות אוקיאנוס כה גדול, הם מסבירים.
    אז קולומבוס פונה לפרוטקציה. והשאר היסטוריה…

  3. קווים מקבילים? אז על הדרך הוא הניח שהמרחק לשמש הוא אינסוף…
    (ושהגודל של השמש 0 – אחרת לא בדיוק ברור מאיזה חלק של השמש הקרניים יוצאות)

  4. למה בדיוק?
    קרני השמש אכן מגיעות כמעט במקביל אבל לא בגלל מה שרשמת. אלא לאור הגודל העצום של השמש מול כדור הארץ…
    דווקא אם המרחק אינסופי והשמש היא אפסית היינו בחושך מוחלט, או שקרן אחת הייתה מגיעה אלינו כל הזמן.
    גם היום בלימודים אנו מניחים שקרני השמש מקבילות כי הזווית היא כל כך קטנה שכל פונקציה טריגו' שלה תצא כמעט כמעט זהה לזווית עצמה. אז אין טעם להתייחס אליה לרוב.

  5. נראה לי שמתן דווקא צודק.
    ההנחה היא שהמרחק אל השמש הוא אינסוף ובגלל זה יוצאת זווית קטנה כמו שאתה אומר.
    זה שהשמש גדולה לא קשור.

    ציור הדגמה: http://imgur.com/a/0FPjH
    משמאל שמש גדולה וקרובה לכדור הארץ.
    בשאר התמונה כדור הארץ קטן מהשמש והמרחק גדול ביחס לגודל השמש.
    היחס האמיתי הוא בערך פי 100 בין קוטר כדור הארץ לקוטר השמש והמרחק בין כדור הארץ לשמש הוא בערך פי מאה מקוטר השמש. בתמונה יצא לי אפילו פחות.
    הזווית בין הקרניים מימין הופכת לזניחה, וכמו שאמרתי המרחק אפילו יותר גדול ביחד לקוטר השמש ממה שיש בתמונה. (בתמונה קצת יותר מ-20 שמשות נכנסות בתוך המרחק.)

    אם הייתה משמעות לזה שהשמש גדולה היא הייתה נראית כמו בציור משמאל, וזה דווקא היה יוצר צל משמעותי, אפילו באסואן.

  6. אה וכמובן מה שרציתי להגיד:
    כשהיחס בין קוטר כדור-הארץ לקוטר השמש הוא יותר מ-100 וכשהיחס בין קוטר השמש למרחק השמש מכדור הארץ הוא יותר מ-100, כשבסך הכל היחס בין קוטר כדור הארץ למרחק כדור הארץ מהשמש הוא 11500, אפשר בכיף להגיד שהשמש במרחק אינסופי מכדור הארץ.
    יש מצב שזה מוביל לטעויות קטנות יותר בחישוב מעיגול המספרים שגדי חושד בו ומחישוב לא מדויק של המרחק מאלכסנדריה לאסואן.

  7. ההנחה לגבי מקבילוּת הקרניים של השמש אינה מפורשת נכון ע"י מרבית האנשים. אני מקווה שגדי יסביר את העניין כי תרשים קטן יעשה את ההסבר הרבה יותר ברור ממה שיקרה אם אני אנסה להסביר זאת במלים. כפי שמישהו כאן ציין, עפ"י הפירוש האינטואיטיבי של רוב האנשים השמש היתה אמורה להראות לנו כנקודה! מה שבאמת מקביל (בקירוב מצויין) הוא כל קרניים שיוצאות *מנקודה אחת* על השמש ומגיעות אל האישון שלנו או לעדשת הטלסקופ. גודלם של אלה אכן זניח לגמרי יחסית למרחק של השמש מאיתנו.

  8. כתבה נהדרת,קראתי כבר על הסיפור הזה ב"מפץ הגדול" מאת סיימון סינג

  9. שלום רב, פוסט מרתק. חשבתי על שיטה כלשהי לחישוב ההיקף ואני מקווה שאני לא טועה פה בענק, ואשמח לתיקונים והערות. כל מה שצריך זה לכאורה חבל ומד זווית, ואז קצת חישובים מתמטיים.

    אני גם מניח שהכדור הוא עגול, וזה יהיה קירוב.

    במישור כלשהו על כדור הארץ מחפשים מקום גבוה (נגיד עמוד) שלקודקוד שלו נקרא נקודה A. נמתח חבל לאדמה מהקודקוד והנקודה שבה התחתית נקרא נקודה B. כך שהגובה AB הוא החבל מראש העמוד לתחתית. מכאן נמתח חבל מראש הקודקוד כמה נרצה אבל עדיף מרחק גדול ככל שניתן. בסוף המתיחה נעצור ונקרא לנקודה הזו C. נחשב כמה יצא לנו AC ונחשב את הזווית ביניהם: זווית BAC. (בקצרה: המישור, האדמה הוא BC, העמוד AB, והחבל שמתחנו מנקודה A לC זה כמובן AC).

    עכשיו מכאן נעבור לדף ועט. נצייר מעגל ונציב עליו נקודה B שהיא דומה לנקודה בתחתית. נעלה גובה שהוא העמוד שהיה במציאות ונקרא לראש הגובה A. בהמשך המעגל נציב נקודה C כפי החבל שנמתח. נמתח קו בין נקודה A לC וניצור משולש ABC כאשר B וC הן נקודות על המעגל.
    אנחנו מחפשים את היקף המעגל לפי המדידות שמצאנו.

    זווית BAC היא הזווית שבגללה עיקול של כדור הארץ נוצרה לנו באורך שונה מאשר הזווית אם BC היה קו ישר שמשיק למעגל, ואז לכאורה יש פער בין הזווית שציינו שקיימת במציאות, לבין הזווית שמדדנו.

    עכשיו נעבור לדף ועט. המטרה שלנו היא למצוא את רדיוס המעגל כדי לחשב את ההיקף.

    נמתח קו בין B למרכז המעגל שנקרא לו X (נקודה X היא מרכז המעגל). ממרכז המעגל נמתח קו לנקודה C.
    כך יצא לנו עוד משולש: BXC שהוא שווה שוקיים בגלל הרדיוסים XB ו-XC.

    איך מוצאים את הרדיוס?

    במשולש ABC אנחנו יודעים מהי צלע AB, זווית BAC, וצלע AC.
    מהנתונים האלה ניתן למצוא כמה שווה צלע BC (ולכאורה זה ידוע בין כה, כי זה המרחק שהלכנו במציאות ואפשר לחשב).
    גם נוכל למצוא כמה שוות שאר הזווית במשולש: BAC (ידוע) והשאר ABC ו-ACB.
    אם מצאנו את זווית ABC נוכל לדעת כמה שווה זווית XBC (משלימה ל180 מעלות בקו ישר).
    אם ידענו מהי זווית XBC נוכל לדעת כמה שווה זווית BCX (משולש שווה שוקיים).
    וככה נוכל לדעת כמה שווה זווית BXC (משלימה ל180 מעלות).
    אם צלע BC ידועה לנו, וכל הזווית במשולש והוא שווה שוקיים, נוכל לחשב כמה שווים הרדיוסים.

    ברגע שהשגנו את הרדיוס, נוכל לחשב את היקף כדור הארץ לפי שני פאי כפול רדיוס.

    טעות? מסובך? אשמח לתגובה.

  10. תיקון: צלע BC היא לא המרחק שהלכנו, אלא הקשת. אבל בכל מקרה אפשר לחשב את הצלע לפי שיש לנו את שתי הצלעות האחרות והזווית ביניהן.

  11. לא קשור לנושא (כי הפוסט המתאים נעול לתגובות) – אבל מישהו יכול להסביר לי למה קבוצה שמכילה את הקבוצה הריקה (ורק אותה) לא פותרת את הפרדוקס של ראסל?

  12. כי היא לא שייכת לעצמה, ולכן שייכת לעצמה – אם נסמן \(A={\phi}\) הקבוצה שלך אז \(A \notin A\) שהרי האיבר היחיד ב\(A\) הוא \(\phi\) ולכן A אינה איבר של עצמה

  13. פינגבאק: על כדורים שטוחים וחצאי הרים | לא מדויק

  14. לעומר מוצאפי,

    לעניות דעתי פוסדוניוס ניסה לעשות זאת באמצעות מדידת זוית גובה הכוכב קאנופוס מעל האופק ברודוס או אלכסנדריה או משהו כזה. רק שהוא טעה בשני דברים: הוא לא העריך את השבירה של קאנופוס באטמוספרה, וכמובן גם שגה במרחק רודוס ואלכסנדריה.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.