1=…0.999

המוטיבציה הראשונית שלי לעיסוק בנושא הנוכחי מגיעה משאילתת חיפוש כושלת שהביאה נפש תועה לאתר – במקרה הזה, לגבי הפיתוח העשרוני של מספרים רציונליים. נראה לי שהדרך הטובה ביותר להציג את הנושא היא באמצעות אחת מהבעיות ה"לוהטות" ביותר שעולות ממנו – סוגיית המספר $latex 0.999\dots$.

חשוב להדגיש מלכתחילה שהסוגייה הזו, כמו גם מושג הפיתוח העשרוני של מספרים (רציונליים או ממשיים), היא טריוויאלית לחלוטין מבחינה מתמטית; לא קיים (או לפחות, נדיר ביותר) אדם בעל השכלה בסיסית במתמטיקה שמסוגל לחלוק על האבחנה האלמנטרית לפיה …0.999 הוא פשוט ייצוג שונה למספר 1. עם זאת ולמרות זאת, קיימים רבים שחולקים בדיוק על זה – ולרוב שורש אי ההסכמה נובע בדיוק מחוסר הבנה בסיסי במתמטיקה – לא במובן של "לא יודע לחשב אינטגרלים" או "גרוע בחשבון", אלא במובן של "לא מבין את השפה". הטענות הנפוצות ביותר שלהם הן "זה לא אחד אלא רק שואף לאחד", "זה כמעט אחד", "זה יצור אינסופי בניגוד לאחד שהוא יצור סופי" וכיוצא בזה. ובכן, לא. לא נכון. לא במה שנקרא "מתמטיקה". במתמטיקה, זה 1. בדיוק 1.

אין בי רצון עז לחפש דוגמאות רבות לאלו שמסרבים להאמין ש-…0.999=1 (או חמור מכך, טוענים שהם יכולים להוכיח ההפך). הנה דוגמה טיפוסית אחת מתוך sci.math; הנה דוגמה תוצרת בית, פרי עטו של דורון שדמי שכבר הוזכר כאן.

לפני שאכנס לנבכי המספר המוזר הזה ומה הוא בעצם אומר, הנה כמה הוכחות "אינטואטיביות" לנכונות השוויון. קשה לקרוא להן פורמליות, שכן כולן מתבססות על הנחות לא מוכחות; עם זאת, אני סבור שהאינטואיציה של רבים מהקוראים תסכים עם נכונות ההנחות הללו, ולכן ההוכחות יהיו משכנעות מספיק כדי שניתן יהיה לעבור בלב שקט לשלב הבא. פרט לכך, אני חושב שההוכחות הללו נחמדות מאוד (בניגוד להוכחה ה"אמיתית", שהיא סתם טכנית).

ובכן, גישה אלמנטרית ומשעשעת אומרת כך: אנחנו יודעים ש-$latex \frac{1}{3}=0.333\dots$. נכפול את שני האגפים בשלוש ונקבל $latex 1=0.999\dots$ מייד. כמובן שהאינסטינקט הראשוני של קורא ההוכחה עלול להיות זריקה לעזאזל של האמונה ש-$latex \frac{1}{3}=0.333\dots$; אני מקווה שלא גרמתי זאת לאיש.

הוכחה חביבה עוד יותר היא זו: נסמן $latex x=0.999\dots$ (כבר הנחנו שהסימון הזה הוא מספר). נכפול ב-10 ונקבל $latex 10x=9.999\dots$ (מה הנחנו כאן?). כעת נחסר 9 משני האגפים ונקבל $latex 10x-9=0.999\dots=x$. נעביר אגפים ונקבל $latex 9x=9$, נצמצם ונקבל $latex x=1$, כנדרש.

טיעון משכנע ביותר (שקשה לקרוא לו "הוכחה" בשום צורה שהיא) הוא פשוט לשאול "אם 1 שונה מ-…0.999, אז מה זה $latex 1-0.999\dots$?". כמובן שהעונה לא יכול להגיד $latex 0.000\dots$ (או שהוא טוען שהביטוי הזה אינו אפס?), ולכן התשובה תהיה משהו מוזר כמו $latex 0.000\dots1$ – כלומר, אינסוף אפסים ו"בסוף" 1 – אבל כמובן שזה לא פיתוח עשרוני חוקי – ואם זה לא מובן, עוד מעט אסביר.

אם כן, ההוכחות הללו הובילו אותנו  אל המושג של פיתוח עשרוני. בשורה התחתונה, אי אפשר להימנע ממנו; הסיבה היחידה שבגללה כל מהומת …0.999 קיימת היא שהסימון הזה הוא פיתוח עשרוני, ושליצורים הללו המוזרויות שלהם.

פיתוח עשרוני, בראש ובראשונה, הוא סימון. הוא דרך שבה אנחנו לוקחים אוסף של סמלים – "תווים", מצרפים אותם אחד לשני ונותנים לצירוף הזה משמעות מוסכמת. בלי שתהיה מראש הסכמה על המשמעות של הסימון הזה, כל דיון עליו הוא חסר ערך. אני סבור שכל מהומות …0.999 נובעות מחוסר הסכמה כבר בשלב הזה. אנשים פשוט מנסים לייחס לסימון הזה יותר ממה שיש בו. המשמעות המקובלת של פיתוח עשרוני היא פשוטה – הסכום של טור מתכנס של מספרים רציונליים. כאן כדאי לעצור ולהדגיש את הנקודה – כשיש לנו טור מתכנס, אז הסכום שלו הוא מספר. לא "בערך מספר" ולא "שואף למספר". זה הפירוש של "סכום" – "מספר שמותאם לטור, על פי התנאים הזה והזה". מהם התנאים – זה כבר עניין הגדרתי שעוד נגיע אליו.

הרעיון בפיתוח עשרוני הוא להציג כל מספר ממשי בתור סכום של חזקות של 10. עבור מספרים טבעיים זה קל. כך למשל 123 הוא הסכום הבא:

$latex 123=100+20+3=1\cdot 10^2+2\cdot 10^1+3\cdot 10^0$

אנחנו מורגלים לחלוטין לצורת הכתיבה הזו, ומקבלים כמובן מאליו את הרעיון הגאוני שמאחוריה, שכלל איננו מובן מאליו – ערכי מיקום. כלומר, אותה ספרה, כשהיא מופיעה במקומות שונים במספר, יכולה לייצג מספרים שונים לחלוטין. אם 5 היא ספרת האחדות, היא מייצגת את המספר "חמש"; אם לעומת זאת היא ספרת המאות, היא מייצגת את המספר "חמש מאות". זה לא רעיון טריוויאלי. בספרות רומיות זה לא קיים.

המספר 10, שאת החזקות שלו אנחנו סוכמים, נקרא "בסיס הספירה". אין שום דבר קדוש במספר 10, כמובן; אפשר להשתמש בכל מספר טבעי אחר כבסיס (כולל אפילו 1, אבל זה כבר קצת יותר מסובך). במחשבים נפוצים מאוד הבסיסים 2, 8 ו-16. המאיה השתמשו בבסיס 20. הבבלים – בבסיס 60 (רעיון לא מופרך כפי שעלול להתקבל הרושם; לבבלים הייתה שיטת ייצוג פשוטה ונאה לכל המספרים עד 60. עם זאת, השיטה "שלנו" עדיין טובה יותר). לפחות בחלק מהמאה ה-20, הייתה קבוצה שקראה למעבר לבסיס 12 בחיי היום יום, והיו להם כמה נימוקים מוצלחים מאוד. עם זאת, בסיס 10 הוא הבסיס השולט היום, וכנראה שהמצב לא עומד להשתנות, למרות שהוא לא אופטימלי עד כדי כך. היתרון הגודל שעומד לזכותו – לרוב בני האדם יש 10 אצבעות.

אם כן, מספרים טבעיים קל לייצג בשיטה הזו. גם מספרים שליליים שלמים קל – פשוט מוסיפים סימן מינוס. הכיף מתחיל כשמגיעים למספרים הרציונליים. כזכור, יש כבר צורת סימון מקובלת לרציונליים, כמנה של שני מספרים שלמים. למשל $latex \frac{2}{5}$. דא עקא, רוצים לייצג אותם גם כסכום של חזקות של 10. בשביל זה, השינוי המהותי שמתירים הוא חזקות שליליות של 10. שימו לב – חזקה שלילית אין פירושה מספר שלילי, אלא פשוט שבר: כלומר, $latex 10^{-1}=\frac{1}{10}$, ובאופן כללי $latex 10^{-k}=\frac{1}{10^k}$.

יש מקרים שבהם זה עובד מצויין. למשל, $latex \frac{1}{2}=5\cdot 10^{-1}$, ולכן כותבים $latex \frac{1}{2}=0.5$. הכלל פשוט: כותבים נקודה באמצע המספר –  "הנקודה העשרונית" – ומה שמימין לה הוא חזקות שליליות של 10 (המספר הראשון מימין – מינוס 1. השני – מינוס 2, וכן הלאה). עם זאת, הצרות מתחילות כבר במספר הנחמד $latex \frac{1}{3}$ שקשה לייצג אותו בצורה דומה (בבסיס 12 זה לא היה קורה – הרי לכם נימוק לטובת בסיס 12). מה קורה עם $latex \frac{1}{3}$? הוא קטן מ-0.4 אבל גדול מ-0.3 ולכן המספר שמייצג אותו חייב להתחיל בספרות 0.3. מה הלאה? שוב – קטן מ-0.34, גדול מ-0.33, ולכן חייב להתחיל בספרות 0.33 אבל שם זה לא נגמר, וכן הלאה וכן הלאה. הבנתם מה קורה – חייבים להשתמש כאן באינסוף ספרות בשביל לתת ייצוג "מדויק".

מן הסתם, אינסוף ספרות הן לא משהו שניתן לכתוב בצורה מפורשת. למרבה המזל, אין בכך צורך; הרעיון של "מכאן והלאה הביטוי חוזר על עצמו" הוא משהו שאדם מסוגל לתפס גם בשכלו ה"מוגבל" (טיעון נפוץ בדיונים בנושא הוא שאדם, שמוחו סופי, לא מסוגל "לתפוס" משהו אינסופי). את הרעיון הזה מסמנים באמצעות שלוש נקודות, שמופיעות אחרי שהקטע שחוזר על עצמו הופיע כבר מספר פעמים כזה שמאפשר להבין מה הולך כאן. זה לא תיאור פורמלי במיוחד, אך כמעט תמיד הוא מספיק. המהדרין כותבים את המספר בלי שלוש נקודות, ועם קו מעל החלק המחזורי. למשל, $latex 0.123\overline{456}$ מייצג את המספר שניתן לכתוב גם כ-…0.123456456456 – כלומר, בהתחלה מופיעות הספרות 123, אבל מאז ועד עולם יופיעו 456.

ומה המשמעות המדוייקת של סימון שכזה?

ובכן, הזכרתי כבר את המילה הגסה "טור מתכנס", ואכן אין לחמוק ממנה. באופן כללי, "טור" במתמטיקה הוא סכום של מספרים. נהוג לסמן טור בעל t איברים באופן הבא: $latex \sum_{n=1}^ta_n$, כאשר $latex a_n$ זה פשוט סימון כללי ל"האיבר ה-n-י בטור". לרוב הצורה שבה כותבים טור ספציפי היא באמצעות נוסחה כלשהו שקושרת את $latex a_n$ לערכו של $latex n$, כך למשל $latex \sum_{n=1}^t\frac{1}{n}$ (כלומר, $latex a_n=\frac{1}{n}$ הוא טור – וטור מיוחד, שזכה לשם משל עצמו: "הטור ההרמוני".

אם כן, טור הוא בסך הכל סדרה של איברים שמצויירת בצורה מסויימת. מה שבאמת מעניין בטור הוא הסכום שלו – מספר מיוחד שמוגדר באמצעותו. ההגדרה די ברורה – זה מה שמתקבל כשמחברים את כל איברי הטור (אנחנו יודעים לחבר שני איברים; סכום של שלושה איברים הוא סכום האיבר שמתקבל מסכום שני הראשונים והשלישי; וכו' וכו').

המספר הזה מקיים כמה תכונות "נחמדות" וצפויות – למשל, אם מחברים שני טורים, גם הסכומים שלהם מתחברים ואם כופלים את כל אבריו של טור במספר כלשהו, גם הסכום מוכפל במספר זה. זה, פחות או יותר, הרעיון שיש לנו בראש כשאנחנו פונים לחשוב על טורים אינסופיים.

מה ההבדל בין $latex \sum_{n=1}^t\frac{1}{n}$ ובין $latex \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$? הבדל של סימן אחד, שם למעלה – במקום האות t כתבנו סימן שהמשמעות המקובלת שלו היא "אינסוף". פירוש הדבר הוא שלכל מספר טבעי n מותאם איבר $latex a_n$ בתוך הטור (יש סימונים עוד יותר כלליים והגדרות עוד יותר כלליות שאליהן לא אכנס).

אם כן, השאלה הראשונה היא האם לכל סדרה של מספרים אפשר להתאים "סכום" שיתנהג בצורה נחמדה? התשובה המצערת היא שממש, אבל ממש, לא. הנה שתי דוגמאות קלאסיות.

הדוגמה הראשונה היא הסכום $latex \sum_{n=0}^\infty 2^n$, כלומר $latex 1+2+4+8+\dots$. אם מניחים שלברנש הזה אפשר להתאים מספר שיקיים את תכונות החשבון הרגילות, אנו צפויים לאכזבה. נניח שיש כזה מספר – נסמנו A, כלומר  $latex 1+2+4+8+\dots=A$. כעת נבצע להטוט – נכפול את שני האגפים ב-2. התוצאה?

$latex 2+4+8+16+\dots=2A$

השלב הבא – נוסיף 1 לשני האגפים:

$latex 1+2+4+8+16+\dots=1+2A$

אבל מה יש לנו כרגע באגף שמאל? בדיוק את A המקורי. כלומר, קיבלנו:

$latex A=1+2A$

ואחרי העברת אגפים:

$latex A=-1$

מסקנה – ה"סכום" של הטור הזה, שכולו מספרים חיוביים, הוא מינוס אחד. מספר שלילי. ברור שזה כבר מקלקל לנו לחלוטין את המשמעות האינטואיטיבית שהיינו רוצים לייחס לסכומים; יתר על כן, הלהטוט הזה בסך הכל הצביע על מוזרות אחת שנובעת מההגדרה – אולי יש מוזרות נוספת, סותרת, שתנבע מלהטוט אחר? בקיצור, מעדיפים שלא להגדיר את סכום הטור הזה וחסל (אפשר להגדיר אותו בתור "אינסוף" וגם לכך יש שימושים, אבל לא נעסוק בזה).

הדוגמה השנייה היא הסכום $latex \sum_{n=0}^\infty(-1)^n$, ובמילים אחרות, הסכום $latex 1-1+1-1+\dots$.לכאורה טור תמים ונחמד. הבעיה מתחילה אם מנסים לעשות לו כינוס איברים. אפשר לכתוב את הסכום בשתי הצורות הבאות:

$latex (1-1)+(1-1)+\dots $

$latex 1-(1-1)-(1-1)-\dots$

מה הבעיה? בשיטת הכינוס הראשונה יש לנו סכום של אפסים – ועל פי כל אינטואיציה אפשרית, סכום שכזה הוא אפס; על פי שיטת הכינוס השנייה נקבל 1 פחות (סכום של אפסים), כלומר 1. קיבלנו שני ערכים אפשריים שונים – שוב, בעיה.

אם כן, איך מגדירים סכום של טור שכזה? אציג את ההגדרה הפורמלית, והרעיון המקסים שמאחוריה, בפוסט הבא, ואז גם יתברר מדוע על פי ההגדרה הפורמלית מקבלים תכף ומייד $latex 0.999\dots=1$ (רמז: טור הנדסי מתכנס).

46 תגובות על הפוסט “1=…0.999

  1. גיל קרסיק, המורה שלי למתמטיקה בכיתה י, נתן הסבר אחד ששיכנע אותי: אם 0.9999 ו 1 הם לא אותו מספר, אז בהכרח יש מספר שגדול מזה וקטן מזה. נראה לי שגם למתנגדים יהיה קשה למצוא מספר כזה.
    זה בעצם קצת דומה לטיעון השלישי שהבאת, אבל יותר קולע, לטעמי.

    יוחאי

  2. אני מסכים; מנסיוני, לרוב כשמציגים למישהו את הטיעון הזה והוא ממשיך להתנגד, הוא שולף משהו דמוי 1…0.000 כתגובה.

  3. למעשה הטענות הללו נובעות, כנראה, מאי-הבנה של מושג האינסוף. הרי ברגע שמדובר על שבר מחזורי אינסופי, אין משמעות לומר שהמספר 0‎.000…1‎ משלים ל1, כי אם כך נוסיף בשבר עוד 9 "בסוף", בקצה הימני, והנה זה השבר שהוא בעצם 1, וחוזר חלילה.

    טור הנדסי מתכנס, מכיוון שגם הוא מתבסס על האינסוף, מן הסתם יגרור את אותן טענות, אלא אם, משום מה, זה יכריח להבין את משמעות האינסוף? אולי בגלל שזה פותר כמה פרדוקסים ("אכילס והצב")?

  4. אתה מקדים את הפוסט הבא… אבל כן, אני מסכים שהבעיה המרכזית היא אי הבנה של האינסוף. לא של מושג האינסוף הפילוסופי – אותו דווקא כנראה המתווכחים מבינים טוב *מדי* – אלא של מושג האינסוף המתמטי, שהוא הבסיס לסימון שפיתוח עשרוני מייצג.

  5. אני לא בטוח שאני מבין את ההקשר. על עוצמות (בפרט, ההבדל בין בן מניה ללא-בן מניה) כבר כתבתי בעבר. בהקשר הזה אין ממש מה לכתוב – אינסוף של סכומים מהסוג שעליו אני מדבר הוא תמיד בן מניה (הוא לפעמים נלקח על מספר לא בן מניה של איברים שמובטח שהוא מתאפס על כולם פרט למספר בן מניה). כמובן שיש מושג מקביל עבור סכום של מספר לא בן מניה של איברים – אינטגרל…

  6. מרתק ומאלף. אני חייב לציין שגם בתור מישהו שעוסק בפיזיקה, האינטואציה הראשונה שלי הייתה להגיד שזה כמעט אחד אבל לא בדיוק אחד, ולקח לי כמה שניות של פשפוש בזכרוני ובשיעורי אינפי כדי להיזכר שאתה צודק לחלוטין. כנראה שאצל רוב הפיזיקאים (ואולי אפילו יותר אצל מהנדסים), למושג "בדיוק" אין שום שימוש מעשי, וזה לא שאנחנו טועים בתפיסה שלנו את, זה פשוט לא מעסיק אותנו.
    טוב שיש מתמטיקאים בעולם.

  7. שלום גדי
    ברכות על הבלוג היפה והמעניין
    טוב אתה כבר יודע
    שאני לא מסכים ש ..0.999999 =1
    אמנם חשבתי כך הרבה שנים
    היום אני חושב אחרת
    בכל אופן שיהיה בהצלחה !
    משה

  8. שלום משה. כפי שניסיתי להבהיר בפוסט עצמו, אי ההסכמה איננה על נכונות השוויון (שאינה ממש מוטלת בספק) אלא על הצורה שבה אתה נותן משמעות לאוסף הסמלים …0.999, שהיא שונה מזו המקובלת (ולצערי, מעולם לא הצלחתי להבין מה היא בעצם אומרת, וכנראה שגם לא אצליח בעתיד).

  9. פינגבאק: שברים משולבים, ולמה הם מגניבים (חלק 2) « לא מדויק

  10. אני בגדול מסכים עם כול מה שאמרת אבל יש לי בעיה קטנה שמעסיקה אותי כבר כמה זמן שאולי תוכל לשפוך עליה טיפה אור.
    פעם אחת הלכתי למרצה שחובב את הבניה האינפינטיסימלית מן הממשיים (אין לי מושג למה) והוא אמר לי ש 0.99999… יכול להיות גם שונה מאחד אם אתה מתייחס אליו בתור סכום של סוג מוזר של טבעיים (האינדקס הוא במקום על הטבעיים אלא עיוות מוזר שלהם) שקשור איכשהו לאינפיניטיסימלים.
    יש לך מושג למה הוא התכוון?

  11. לא, אני לא יודע למה הכוונה שלו – ויותר מכך, סתם שינוי של סדר הסכימה לא ישנה את סכום הטור.

    מה שנכון הוא שאפשר להגדיר הרחבות למספרים הממשיים שבהן יהיו גם אינפיניטסימלים, ואז אפשר יהיה לדבר על מספר שקטן מ-1 וגדול מ-0.999 לכל רצף סופי של 9-ים; אבל גם אז לא יהיה נכון לקרוא לו …0.999 מבלי לשנות את ההגדרה של פיתוח עשרוני.

  12. טוב, בדף הוא לא "טוען נחרצות" ש-…0.999 הוא לא אחד. הוא אומר שזה אחד, ושלסטודנטים יש קושי להבין זאת בגלל כך וכך (והוא צודק), ואז הוא מתאר גישות אחרות לתת משמעות לצירוף הסמלים …0.999 שיתאימו יותר לאינטואיציה של הסטודנטים. לא נראה לי בעייתי.

  13. טוב, אז כנראה שלא הבנתי אותו… קשה להבין מה הוא אומר בד"כ…

  14. אחרי כל ההסברים עדיין יש לי שאלה:
    לכאורה, אם המספר הנ"ל שווה ל-1 ולא שואף לו, אז סתרנו את המושג "אסימפטוטה"!
    הרי האסימפטוטה מבוססת על כך שהגרף שואף אליה ככל שמתרחקים לאינסוף, אבל הוא לעולם לא יגיע אליה! אם נייצג זאת בייצוג מתמטי, אז לכאורה נהיה חייבים לומר ש ………0.99999 לא שווה ל-1.
    ייתכן שהשאלה שלי בנויה על חוסר הבנה מסוימת במתמטיקה, אבל אוכל לקבל את הטיעון לגבי המספר הנ"ל רק אם מישהו יסביר לי בשפה מתמטית מדוע השאלה שלי היא לא נכונה.
    תודה.

  15. אני חושב שאתה מבלבל בין מושגים. אסימפטוטה היא קו ישר ששואף לפונקציה ממשית כלשהי, אבל כאן אנחנו בכלל מדברים על ייצוג עשרוני של מספרים, לא על פונקציות ממשיות. בנוסף, בהגדרת האסימפטוטה אין דרישה שהיא "אף פעם לא תיגע" בפונקציה (למרות שלצערי זו דרך הצגה פופולרית של המושג בבתי הספר) כך שבכל מקרה סתירה לא תופיע כאן.

    אם טרם השתכנעת, נסה אתה לדבר בשפה מתמטית – נסח במדוייק את המושג "אסימפטוטה", והסבר כיצד נובעת ממנו ומההנחה ש-1=…0.999 סתירה.

  16. אני יודעת שאת מדבר פה על מושגים שונים אבל האסימפטוטה בכל אופן מפריעה לי לקבל את ההנחה הנ"ל.
    את האסימפטוטה האנכית הפונקציה לא יכולה לחתוך. מצד שני המרחק ביניהם שואף לאפס.
    אז נניח שהאסימפטוטה היא הקו X=1, אז גם למרות שגרף הפונקציה שואף אליה וממשיך עד אין סוף, הוא לא יגיע ל-1. אבל אם ……0.9999 שווה ל-1, אז אי אפשר לומר שהגרף ימשיך עד אין סוף ולא יתלכד עם הציר של ה-1.

  17. רמזת שכאשר קיבלנו …9.999 מהכפלת …0.999 ב-10 הנחנו משהו לא מוכח. אתה יכול לפרט, בבקשה?
    ותודה רבה על הפוסט המשובח ובכלל על הבלוג.

  18. שום דבר מחוכם, רק שהכפלה ב-10 אכן מניבה מספר חוקי שמתקבל מהמספר המקורי על ידי הזזת הנקודה העשרונית.

  19. בתגובה הראשונה כתב יוחאי בשם גיל קרסיק, שמכיוון שאי אפשר להכניס אף מספר בין 1 לבין 0.999… ניתן להבין שמתקיים שוויון.
    זו לא הוכחה מתמטית, אבל אפילו בתור אינטואיציה בעיניי היא לא מדויקת מכמה סיבות.

    1. ראשית, הטיעון הנ"ל אינו הסבר מספק, מכיוון שייתכן שאלו שני מספרים שונים אבל עוקבים ולכן אין ביניהם אף מספר אחר. כלומר, כדי שהטענה הנ"ל תדגים את השוויון יש להוכיח שבממשיים אין דבר כזה עקיבה, ורק לאחר מכן היא תהיה תקפה.

    2. בנוסף ניתן לסתור את הטענה הזו באופן הבא: נקרא ל-0.999… x ול-1 נקרא y. נתאר את המספר שביניהם בתור y-x|)/2+x|). זהו לא ייצוג עשרוני, כמובן, אבל העובדה שהמספר הנ"ל לא ניתן לייצוג עשרוני אינה מוכיחה שהוא לא קיים.

    3. הטענה לא מוכיחה את השוויון ביניהם אלא את ההתקרבות לאין שיעור. כלומר, גם אם 0.999… מתקרב לאין שיעור ל-1 אבל אינו שווה לו, עדיין לא ניתן להכניס אף מספר ביניהם, כי המרחק ביניהם יכול להיות קטן כרצוננו.

    שני הסעיפים האחרונים גם נוגעים לטיעון השלישי שכתבת, גדי, שמדגים את השוויון באמצעות הסכום |…1-0.999|, שאינו יכול להיות שווה אלא ל-0.
    ראשית העובדה שאין למספר זה ייצוג עשרוני אינה מהווה אינדיקציה לכלום, ובנוסף, זה לא מכריח שוויון אלא התקרבות לאין שיעור.

    לעצם העניין, אני רחוק מאוד מלהיות מתמטיקאי דגול, אבל בעיניי השאלה האם מדובר בשוויון או בשאיפה בשיעור אינסופי היא שאלה סמנטית שאיני מצליח להבין את ההשלכות שלה. אם תוכל לתת השלכה מתמטית לשאלה זו אולי אצליח להבין אותך טוב יותר.

  20. כרגיל בסוגיית …0.999, העיקר כאן הוא להבין את ההגדרות שעומדות בבסיס הדיון, ואז ה"הוכחות" האינטואיטיביות מתבהרות. לגופו של עניין, הנחת היסוד כאן היא ש"מספר ממשי" הוא כל מה שקיים לו ייצוג עשרוני, ושאנחנו יודעים כמה תכונות בסיסיות של ממשיים – למשל, שהם צפופים, כלומר שיש ממשי בין כל שני ממשיים (מה שמחסל את 1); זה שכל מספר ממשי ניתן לייצוג עשרוני מחסל את 2 (ליתר דיוק, אם מנסים למצוא את הייצוג העשרוני של המספר ההוא מגלים ש-y-x הוא אפס, ולכן המספר ש"ביניהם" הוא בדיוק x), ובנוגע ל-3 – אין דבר כזה "התקרבות לאין שיעור" כשמדברים על מספרים ממשיים. זה מושג אינטואיטיבי שנכנס לדיון בלי הצדקה של ממש (ובוודאי שללא הגדרה מדויקת), למרות שבהקשרים אחרים דווקא ניתן להשתמש בו.

    לשאלה "האם זה שוויון או שאיפה" אין השלכות חשובות שאני מצליח להעלות על הדעת, אבל אולי זה מכיוון שאף מתמטיקאי לא מתייחס ל-…0.999=1 בתור "שאיפה בשיעור אינסופי".

  21. אולי בהקשר זה "התקרבות לאין שיעור" פירושה הוא שעבור סדרת הסכומים החלקיים של …0.999
    (0.9)+(0.9+0.09)+(0.9+0.09+0.009)… יש דלתא לכל אפסילון, עד ל-1.

  22. פינגבאק: טרטורי טורים « לא מדויק

  23. פינגבאק: למה (בגדול, מאוד בגדול) לא ניתן לפתור משוואות ממעלה חמישית ומעלה, ומה

  24. פינגבאק: על טרחני-קנטור וטרחני-טרחני-קנטור « לא מדויק

  25. פינגבאק: קבוצת קנטור, ואיך לכל הרוחות המימד שלה הוא בערך 0.63? | לא מדויק

  26. אחד מההישגים המרשימים של המתמטיקה זו היכולת להגדיר מושגים מבלבלים, ואולי אפילו פילוסופיים כמו אינסוף ושאיפה באופן פורמלי לחלוטין, ולהפוך אותם לדברים מוסכמים כמו שעשר כפול עשר זה מאה.
    אנשים שלא מסכימים ש0.999..=1 פשוט מעולם לא הוצגו להגדרות הרשמיות של אינסוף, אבל שכן מכירים את ההגדרות, זה עניין פשוט של שרשורי טיעונים לוגיים, ושום דבר פילוסופי.

  27. אני יודע שזה פוסט די ישן ובכל זאת..
    בתחילה אתה מדגיש שמדובר בשיוויון ולא בשאיפה, אבל הסיבה לכך לפי מה שהצלחתי להבין מהפוסט "טרטורי טורים" היא שאתה פשוט מגדיר את הגבול להיות שוויון.. כלומר אתה מגדיר מחדש את השיוויון כך שבמקרה של טורים יכלול שוויון.

    הואיל ומדובר כאן על הגדרה השאלה שלי היא לא על הנכונות אלא על המוטיבציה. הרי באותה מידה ניתן לומר שלא מדובר בשוויון אלא בשאיפה לגבול של סדרת הספרות בפיתוח.

    אומנם התגובה הראשונה כאן העלתה עוד טענה מדוע אי אפשר לייצג מספר בין ..0.999 ל1, אבל מצד שני, מבחינת ייצוג נראה לי ברור שאפשר להראות שאלו שני מספרים שונים, שכן אני יכול להשתמש בהתאמה מהממשיים לטבעיים על פי הספרה במקום כלשהו ולהראות שההתאמה הזו נותנת ערך שונה עבור שני הייצוגים הללו, כך שקשה לי להשתכנע מבעיית הייצוג.

    מבחינת המוטיבציה הנגדית, לטעמי, לחשוב על …0.9999 כעל גבול ולא כעל שיוויון היא שכל מספר בסדרה הזו נמצא בקטע הפתוח (1,1-) בניגוד לאחד עצמו שלא.לכן אני מעדיף לחשוב על הייצוג השני כמזכיר שמדובר באיבר גבול.

  28. אני לא יכול לומר שהבנתי מה אמרת בפסקה הראשונה, אבל כדאי לחדד את זה: …0.999 הוא *סימון*. אין מנוס מזה. זה אוסף של תווים (8 תווים, אם להיות מדוייקים) שיש לו משמעות מוסכמת כלשהי בעולם המתמטיקה. אין לו משמעות "אבסולוטית" שמרחפת לה באוויר ואפשר להוכיח מהי. יש לו משמעות מוסכמת. צריך להבין את המשמעות המוסכמת הזו. אתה קורא לזה "להגדיר", ניחא, זו אכן הגדרה, אבל צריך להבין שבלי להגדיר מה המשמעות של סדרת הסימבולים הזו, היא פשוט חסרת משמעות וזהו.

    ההגדרה, כאמור, היא "המספר שהוא הגבול של הסדרה כך-וכך" והוא יוצא *בדיוק* 1. הוא לא יוצא "שאיפה" כי כאמור – ההגדרה של המשמעות של סדרת הסימבולים הזו היא המספר שהוא הגבול. לא הקונספט של שאיפה לגבול.

    אני לא מבין מה זה אומר "מבחינת ייצוג נראה לי ברור שאפשר להראות שאלו שני מספרים שונים". לי זה נראה כאילו תגיד שמבחינת ייצוג ברור שאפשר להראות ש-1+1 ו-2 הם מספרים שונים, הרי הייצוג שלהם שונה… במתמטיקה באופן כללי את אותו אובייקט ניתן לתאר בשלל דרכים שונות, כך שעצם קיום תיאור סינטקטי שונה לא אומר כלום על כך שהאובייקט המתואר שונה.

    בכל הנוגע למוטיבציה לחשוב על …0.999 בתור גבול – ניחא, אבל אתה מבין שבכך שאתה הופך את סדרת הסימבולים הזו למייצגת "גבול" אתה בעצם זורק לפח את כל הרעיון של תיאור מספרים בבסיס עשרוני? אתה בעצם אומר שכשמתארים משהו בבסיס עשרוני לפעמים זה יצא מספר, אבל לפעמים זה יצא מושג לא מוגדר שאתה קורא לו "גבול" אבל אינו מספר (להבדיל מגבול במובן הסטנדרטי של חדו"א, שהוא מספר).

  29. אני אנסה להסביר יותר למה התכוונתי:
    לסימן …0.999 נתת מלכתחילה את המשמעות: "וגם אם הייתי ממשיך הלאה הייתי צריך לכתוב 9", שזה למעשה שקול לחלוטין לאמירה שזו הסדרה האינסופית של תשע כפול חזקות שליליות יותר ויותר של 10. בסופו של דבר אתה מגיע להגדרה: "המספר שהוא הגבול של הסדרה כך-וכך" זו הגדרה חדשה, אין לי בעיה עם זה, אני לא חושב שיש בזה משהו לא נכון, אני רק לא מבין למה זה טוב, למה לא פשוט להבין שמדובר בסדרה עצמה?

    בניגוד לדוגמא שלך עם "1+1" אני הבאתי דוגמא שמראה למה לא טבעי לי כל כך לחשוב על זה כעל אותו מספר, שכן אני לא רואה שום בעיה בהתאמה המתאימה לכל מספר רציונלי את המספר הטבעי הקטן ממנו או שווה לו. זו נראית לי התאמה מוגדרת היטב. ואני חושב שקל לראות שבדרך זו אפשר להמשיך לגבי כל ספרה ולהגדיר פונקציה שמתאימה בין מספרים ממשים למספר הטבעי שמופיע במקום הN של הייצוג העשרוני שלהם (על ידי הכפלה ב10 ומודלו 10 בהתאמה). בהתאמה כזו, קשה לי לראות למה להתעקש ש1 ו…0.999 הם אותו דבר ואני לא חושב שזה רק תיאור סינטקטי שונה.

    אני לא חושב שזה לזרוק לפח את התיאור בבסיס עשרוני, שכן מראש אנחנו מדברים כאן על מקרה קצה של התיאור העשרוני שהוא סדרות אינסופיות. כלומר, הדבר היחיד שמשתנה הוא היחס לסימן "…" כשהוא מופיע בסוף תיאור עשרוני. ונראה לי מאוד טבעי להבין שמדובר בגבול של סדרה.

    אני רוצה להבין את העמדה שלך: מבחינתך …0.999 לא נמצא בקטע הפתוח (1,1-)?
    אם לא, מדוע? זה בדיוק האופן שבו אני חושב על השלוש נקודות האלו, זה קצה הקטע הפתוח שגובל ב1, בגלל שזו סדרה שהולכת ומצרפת קטעים הולכים וקטנים עד שהיא מגיעה לכל נקודה שהיא קטנה (אך לא שווה) ל1.

  30. נראה לי שהבנתי מה הבעיה. אתה פשוט לא מכיר את השימוש בשלוש נקודות בתיאור של פיתוח עשרוני. אין כאן שום דבר מסובך – הרעיון בייצוג עשרוני של מספר הוא תמיד לייצג מספר – יש דרכים אחרות לתאר סדרות. שלוש הנקודות הן פשוט דרך לומר שהייצוג העשרוני לא מסתיים כאן (לרוב ההנחה היא שההמשך הוא מחזורי, אבל לא בהכרח – למשל, עבור פאי).

    אפשר להגדיר משמעויות שונות לסימון הזה, כמובן, אבל הן לא יהיו המשמעות הסטנדרטית במתמטיקה, ואני לא רואה יתרון גדול בהן (יש דרכים יותר סבירות לתאר בהן סדרות).

    לגבי ההתאמה שניסית להביא, לא נראה לי שהבנתי מה הטיעון שלך ולמה אתה חושב שמה שכתבת מראה שמדובר על מספרים שונים. אני כמובן מסכים שיש פונקציה שמתאימה בין מספר ממשי לבין הספרה במקום כך-וכך בפיתוח העשרוני שלו; אני לא רואה איך אתה מסיק מכך ש-1 ו-…0.999 הם דברים שונים (כמספר ממשי; כייצוגים של המספר הממשי הזה בוודאי שהם שונים, למשל "1" הוא ייצוג שכולל תו אחד ו-"…0.999" הוא ייצוג שכולל 8 תווים).

  31. אני לא רוצה להיות מציק או משהו, אבל:
    הבנתי מהתחלה, ואם זה פתחתי, שההסכמה שאתה מציג היא לסמן כך את הגבול של הסדרה ולא את הסדרה, השאלה שלי היא רק למה?
    כמו שאני מבין את זה כתיבת כל מספר בכתיבה עשרונית היא גם ככה פיתוח לסדרה, ההבדל היחיד בשלוש נקודות יכול להיות שמדובר במעבר לסדרה אינסופית, אני מבין שההסכמה שאתה מציג (ואני אכן לא הכרתי קודם) היא שהמשמעות היא הגבול וזה אחלה בחלה, וברור שגם השאלות שלי הן לא סתירות להנחה הזו (לדוגמא: אתה יכול בקלות לטעון שהפונקציה שתיארתי תתן אותה תוצאה עבור 0.999… שכן היא נותנת תוצאה זו כשמהספר קטן שווה, ועל פי המוסכמה הזו המספר אכן שווה) השאלה שלי היא רק למה? למה זה טוב? למה להעדיף את הגדרת הגבול על פני הגדרת הסדרה האינסופית?

    ולא התייחסת לשאלה המרכזית שמפריעה לי: האם 0.999… נמצא בקטע הפתוח או לא? כי זה מה שמפריע לי הכי הרבה: כל איבר בסדרה הזו נשאר בוודאות בתוך הקטע הפתוח, למרות שהגבול שלה הוא רק בסגור. לכן אני חשבתי שהסימון כסדרה יותר ברור לי.

  32. בתשובה לשאלתך "למה": פשוט מאוד, כי אנחנו משתמשים בכתיב עשרוני כדי לתאר מספרים. בדרך כלל אנחנו מדברים על מספרים, לא על סדרות שמוגדרות בצורה מאוד מאוד ספציפית כמו הסדרות שמוגדרות על ידי הסימון העשרוני. אגב, אפשר לחשוב על *כל* מספר עשרוני כמיוצג על ידי סדרה אינסופית – פשוט תוסיף אינסוף אפסים…

    לגבי "השאלה המרכזית", שאני לא ממש מבין למה היא חשובה: …0.999 הוא כאמור *בדיוק* 1, ולכן הוא לא נמצא בקטע הפתוח. ה"תופעה" הזו, של סדרה שכולה מוכלת בקטע כלשהי אבל הגבול שלה אינו בקטע הזה, היא תופעה סטנדרטית ובסיסית ואני לא רואה איתה משהו בעייתי.

    אז אם לסכם את הדיון, אתה לא חולק על כך ש-…0.999 הוא סימון בעל משמעות קונקרטית ומקובלת במתמטיקה, ואתה לא חולק על כך שתחת המשמעות הזו הוא שווה ל-1, אתה רק חולק על כך שזו "צריכה" להיות המשמעות של הסימון הזה? ויכוחים על סימונים במתמטיקה הם לרוב מיותרים לגמרי, וזה לדעתי אחד מהם.

  33. אני לא רואה בזה ויכוח, ולא אמרתי שצריך לסמן אחרת, הצגת משהו שלא הכרתי וניסיתי להבין את ההיגיון מאחריו.
    אני לא "חולק" על כך שזו "צריכה" להיות המשמעות, אלא אני שואל מה המוטיבציה? מה זה הופך לברור יותר?
    הדוגמא שלי עם הקטע הפתוח, היא הסבר למה אני חושב שהסימון הזה הוא מבלבל: שכן הפירוש האינטואיטיבי של שלוש נקודות הוא שהספרות הללו "מאז ועד עולם יופיעו", כלומר זו סכום של סדרה אינסופית של ספרות. הבעיה היא שאנחנו לא יכולים להגדיר היטב סכום של אינסוף ספרות, ומשום כך נוח יותר לעבוד עם גבולות, זו מוטיבציה שאני מזדהה איתה ומסכים לה לחלוטין. אבל השאלה האם משום כך נכון להגיד שמתקיים כאן שיוויון? הטענה שלי היא שאומנם יש לנו בעיה עם סכימה של אינסוף איברים, אבל אנחנו יודעים עליה עוד דברים חוץ מאת הגבול שלה: אנחנו יודעים גם האם היא מגיעה לגבול שלה מאיבר כלשהו, או שלא משנה כמה איברים נחבר לעולם לא נקבל שיוויון. ההבדל הזה יוצר הבדל טופולוגי: הסכום של הסדרה נמצא בקטע הפתוח (ככל שאני מבין את זה) ואילו הגבול נמצא בסגור. לכן זו השאלה המרכזית מבחינתי: השאלה היא למה להשתמש בסימון שנראה כאילו הוא מסמן משהו אחד (סכום של אינסוף ספרות) בשביל לסמן משהו אחר (גבול) כאשר ברור שהם נבדלים. למה לא להסתפק בזה שבכל פעם שתדבר על חדו"א יהיה לך ברור שאתה מתעסק עם הגבולות (כלומר ככה תפרש את השיוויון, לא את שלוש הנקודות), בעוד כשתרצה להתעסק בטופולוגיה תוכל להשתמש בסימון הזה באופן ברור?

    באופן כללי, אני לא בטוח שאני מסכים לגבי הקביעה שמשתמשים בסימון העשרוני לסמן מספרים ולא סדרות. אני חושב שהצורה הנוחה ביותר לחשוב על הסימון העשרוני היא כעל סכום של סדרות. כשהסדרות הן סופיות הן כל כך מוכרות ונוחות שהן כל כך מובנות מעצמן עד שאנחנו יכולים להעדיף אותן על הטבעיים, אבל ביסודו של דבר ייצוג עשרוני איננו אלא סכימת סדרות עם מקדמי חזקות עשר.

  34. עכשיו כשסיימתי לכתוב את זה, אני חושב שהבנתי, את הטעות שלי:
    אם סכימה של אינסוף איברים לא מוגדרת אז גםא ם נראה שהיא נשארת עבור כל איבר בקטע מסויים, אי אפשר להגיד במפורש ש*הסכום* נמצא שם, כי אין מושג כזה סכום אינסופי..

  35. אני לא הבנתי כל כך מה שכתבת כי הרי אם 0.99999… הוא כמו 1 בגלל שאין מספר גדול ממנו וקטן מאחת אז זה אותו המספר אז אני יכול להגיד שגם 0.9999999….8 שווה ל0.9999999…איך זה הגיוני?

  36. לפי הפוסט שלך מספר שאנחנו קוראים לו שואף למספר כלשהו כי הוא הכי קרוב אליו הוא המספר עצמו אם הבנתי נכון.
    יש לי דוגמה שפעם חשבתי עליה שאם אתה אומר את זה אז הישרים y=(אינסוף)x והישר x=0 הם אותם ישרים אבל אז הגדרת הפונקציה לא נכונה בגלל שאנחנו רואים ישר שהוא לא פונקציה לפי ההגדרה אבל אפשר לבטאו כפונקציה.

  37. דוד, הביטוי שכתבת (0.999 ואז שלוש נקודות ו"בסוף" 8) לא מגדיר מספר ממשי. זה ביטוי חסר משמעות בהקשר הזה.

    יוסי, זה ממש לא "לפי הפוסט שלי". הפוסט שלי לא מגדיר את המילה "שאיפה" ויוצא נגד השימוש השגוי בה בהקשר הזה (כאמור, …0.999 לחלוטין *לא* "שואף" אל 1 אלא הוא שווה לו).

  38. זה בגלל שהמספר אף פעם לא נגמר אז אי אפשר להוסיף לו 8 בסוף כי אז יהיה אפשר לשים עוד ספרה אחריו?

  39. בגלל שהמספר לא נגמר אי אפשר להוסיף לו 8 בסוף כי אין לו סוף.

    שלוש הנקודות נותנות את הרושם שאתה בונה את המספר כך: קודם 0, אז נקודה, אז *סדרה אינסופית* של 9, ואחריה עוד איזה 8. היצור הזה הוא אמנם אובייקט מתמטי חוקי, אבל אין דרך לפרש אותו בתור מספר ממשי.

    אם אתה רוצה להציע מספר שכולל 0 ואז נקודה ואז סדרה *סופית* של 9-ים שאחריה 8, תגיד מה אורך הסדרה של ה-9-ים (ואז אפשר יהיה לתת מספר גדול מהמספר הזה שקרוב יותר אל 1).

  40. זה מאוד תלוי באופן שבו מגדירים את הביטוי "1 חלקי אינסוף". יש כמה דרכים שונות להגדיר אותו, כתלות בהקשר המתמטי שבו עובדים. ברמה הפשטנית ביותר של העניין, הביטוי "1 חלקי אינסוף" לא מוגדר ולא נכון להגיד שהוא שווה לאפס או לכל דבר אחר.

    המשמעות שבדרך כלל מתכוונים אליה היא שאם אנחנו מסתכלים על פונקציה מהצורה 1 חלקי משהו, כשהמשהו שואף לאינסוף, אז הפונקציה הזו שואפת לאפס. במשמעות הזו אין ל"1 חלקי אינסוף" משמעות מתמטית פורמלית (דהיינו, אינסוף הוא לא אובייקט פורמלי במערכת המספרים שלנו) אלא זה סתם סימון שיכולים להשתמש בו בתור קיצור.

  41. פינגבאק: על מספרים שאינם ניתנים למציאה בפיתוח העשרוני של 1/998001 ושברים דומים | לא

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.