אז איך פותרים משוואה ריבועית?

אחת מהשאלות שהביאה נפשות תועות לבלוג הייתה "איך פותרים משוואה ריבועית". תכננתי לענות עליה במסגרת מדור "שאלות ותשובות", תשובה שהייתה בערך זו: "הפתרון של המשוואה $latex ax^2+bx+c=0$ הוא $latex x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$", אבל אז הבנתי שזו אולי תשובה נכונה ומדוייקת, אבל התחמקות גמורה מהשאלה. אנסה להסביר מדוע.

לא מזמן ראיתי הרצאה של מתמטיקאי שעסקה בשאלת המבחנים האמריקאיים אל מול המבחנים הפתוחים. מהר מאוד ההרצאה התגלגלה למערכת החינוך המוצלחת שלנו ושיטות אי-הוראת המתמטיקה בה. המרצה סיפר את סיפור הזוועה הבא על בנו: הבן, שמתכונן לבחינות הבגרות, היה צריך לפתור את המשוואה הבאה: $latex (x-6)^2=900$. מה עשה הבן? פתח את הסוגריים, קיבל $latex x^2-12x+36=900$. העביר אגף, קיבל את המשוואה $latex x^2-12x-864=0$ שמתאימה ל"צורה הכללית", ופתר באמצעות הנוסחה. על פניו, פתרון כשר ותקין לחלוטין, אז מה הבעיה? שאני נתקף חלחלה רק מעצם המחשבה על ביצוע החישובים שנדרשים להצבת הערכים הללו בנוסחה הכללית, ועם זאת אני מסוגל לפתור את המשוואה המקורית בשניות, רק מהסתכלות עליה, ולדעת שהפתרונות הם 36 ומינוס 24. לא כי אני מחשבון אנושי, חלילה; פשוט מכיוון שאני רואה שאפשר להוציא מייד שורש משני האגפים ולחבר 6 לשניהם כדי לקבל את הפתרונות.

מה הבעיה כאן? שהבן התרגל לפתור משוואות בצורה מכנית, כאילו היה מחשב. רואים משוואה? מייד להביא אותה ל"צורה הכללית" שמכירים, ומשם לפתור עם הנוסחה. החישובים אולי יהיו קקי, אבל ממילא מחשבון הוא סטנדרט בכל בחינה תיכונית במתמטיקה (לצורך ההשוואה – יש רק קורס מתמטי אחד שלמדתי אי פעם באוניברסיטה שבו הורשינו להשתמש במחשבון; וגם בו הוא היה מיותר לגמרי. זה היה הקורס שעסק בשיטות שבהן מחשבים משתמשים כדי לבצע חישובים נומריים). האירוניה כאן היא שכל הרעיון שמאחורי הנוסחה ("נוסחת השורשים") הוא הבאה של המשוואה הכללית לצורה של "משהו בריבוע שווה מספר", כמו זו שממנה הבן התחיל.

אלא מה? אני די בספק אם רבים מהתלמידים בבית הספר זוכרים את ההוכחה של נוסחת השורשים – אם בגלל שלא לימדו אותם, ואם בגלל שלא לימדו אותם למה לדעת את ההוכחה חשוב. כשכל מה שצריך לדעת הוא התוצר הסופי (הנוסחה), למי אכפת ממה שקרה בדרך? וכך מתעלמים מהסיבה האמיתית שבגללה לומדים הוכחות (גם את זה המרצה אמר, כציטוט של מישהו אחר…) – לא בשביל לדעת שמשהו הוא נכון, אלא כדי לדעת למה הוא נכון. וכשיודעים את ה"למה", קל גם לזהות מצבים שבהם אין צורך בנוסחה הכללית ויש "דרך קיצור" נוחה.

אם כן, איך הגיעו לנוסחה הכללית? מה השיטה שעומדת בבסיסה? השיטה היא שיטה עתיקת יומין, שקיימת לפחות מימי הבבלים – שיטת ה"השלמה לריבוע". אציג אותה כאן ראשית כל בניסוח "אלגברי" מודרני – בתור משהו שמושג על ידי מניפולציה של סמלים. עם זאת, הדבר המעניין בשיטה הזו, לטעמי, הוא דווקא הצורה שבה הבבלים הבינו אותה. הבבלים לא עסקו כלל באלגברה. הם לא ייצגו ערכים על ידי משתנים. מה שהם כן עשו היה לפתור בעיות ספציפיות בעזרת אלגוריתמים כלליים, והשלמה לריבוע היא דוגמה לאלגוריתם שכזה. בפרט, ממש רואים בה את ה"ריבוע" פיזית. לכן אציג גם את מה שאני מכיר בתור השיטה הבבלית (כמובן, ייתכן שזו לא באמת השיטה שבה הבבלים השתמשו; אני לא היסטוריון של המתמטיקה אלא רק מסתמך על כאלו).

אם כן, משוואה ריבועית "כללית" מסומנת ב-$latex Ax^2+Bx+C=0$ כאשר $latex A,B,C$ הם מספרים ממשיים (אבל לא רק; כפי שתראו, מה שאציג עובד בכל שדה – כלומר, בכל קבוצה שיש בה פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק שמקיימות את התכונות שאנו מכירים ואוהבים) ואנו מעוניינים לגלות מספר שכאשר מציבים אותו במקום $latex x$ המשוואה מתקיימת. הדבר הראשון שעושים הוא להעביר את המשוואה לצורה פשוטה קצת יותר: $latex x^2+\frac{B}{A}x+\frac{C}{A}$ – כלומר, חילקתי ב-$latex A$. אי אפשר לחלק ב-$latex A$ אם הוא 0; אבל במקרה כזה, אין לנו את $latex x^2$ בשום מקום במשוואה ולכן זו לא משוואה ריבועית. אסמן $latex b=\frac{B}{A}, c=\frac{C}{A}$ ומעכשיו ועד עולם אפשר לדבר על הדרך התיאורטית הכללית לפתור את המשוואה $latex x^2+bx+c=0$. כפי שתראו, חיסול אחד מהמקדמים פשוט מקל על החישובים (ועל הצגת השיטה הבבלית).

מה כעת? מבחינה אלגברית, השאיפה שלנו תמיד בפתרון משוואות הוא לרכז את כל ה-$latex x$-ים בצד אחד, ואת כל המספרים שאינם $latex x$ בצד השני. על כן, מעבירים אגף ומקבלים $latex x^2+bx=-c$. כעת, היינו רוצים להוציא את $latex x$ כגורם משותף, אבל אז היינו מקבלים $latex x(x+b)=c$. מכיוון שיש $latex x$ גם בסוגריים אין הרבה תועלת בפעולה הזו – קשה "לבודד" את $latex x$. לכן משתמשים בתעלול.

התעלול הוא כדלהלן: ידוע שמתקיים $latex (x+t)^2=x^2+2tx+t^2$ וזאת לכל $latex x,t$. מה שטוב בכך הוא שזה מאפשר לנו להפוך סכום של $latex x^2$ שמופיע בו גם $latex x$ למשהו שמכיל רק $latex x$. אם כן, רוצים לחשוב על $latex x^2+bx$ בתור ביטוי מהצורה שלעיל, אבל לעת עתה הם ממש לא דומים; בביטוי שלמעלה יש שלושה מחוברים, וכאן יש רק שניים. הפתרון לכך פשוט – נחבר את אותו המספר לשני אגפי המשוואה (נשלים את אגף שמאל של המשוואה כך שיהיה ריבוע של מספר כלשהו). המספר אמור להיות $latex t^2$, אבל לא ברור לנו עדיין מהו $latex t$. כדי להבין מה הוא אמור להיות, נשווה את המקדמים של $latex x$ בשתי המשוואות; נקבל $latex b=2t$, כלומר $latex t=\frac{b}{2}$. אם כן, מה שיש לחבר לשתי המשוואות הוא $latex t^2=\frac{b^2}{4}$. נעשה זאת ונקבל את המשוואה:

$latex x^2+bx+\frac{b^2}{4}=\frac{b^2}{4}-c$

כעת אפשר "לסגור" את אגף שמאל על פי הנוסחה שכבר ראינו:

$latex \left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2}{4}-c$

כדי להקל לעצמי על החיים אני "מעלה" את $latex c$ אל השבר באגף ימין על ידי טריק נפוץ נוסף – אני כופל ומחלק אותו ב-4:

$latex \left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2-4c}{4}$

וכעת אני מוציא שורש מאגף שמאל, ולכן גם מאגף ימין. זה, כאמור, לב העניין כולו וזו הייתה המטרה המרכזית שלי:

$latex x+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4c}{4}}$

לא תמיד אפשר להוציא שורש לאגף ימין – למשל, כשאנו עוסקים במספרים ממשיים בלבד, מה שמופיע באגף ימין חייב להיות מספר לא שלילי. לכן לא לכל משוואה יש פתרון מאותו השדה (תמיד יש לה פתרון בשדה רחב יותר, כמו למשל במקרה של המרוכבים, אך לא ניכנס לזה). חשוב גם לשים לב לכך שקיבלנו שני פתרונות במקרה הכללי, כי הוצאת שורש אינה פעולה חד ערכית.

כעת מעבירים את $latex \frac{b}{2}$ אגף, ובאותה הזדמנות אפשר להשאיר את השורש על המונה של אגף ימין בלבד, כי להוציא שורש למכנה אנו יודעים:

$latex x=\frac{\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}-\frac{b}{2}$

ובצורת כתיבה אחרת מקבלים את הנוסחה המוכרת לנו:

$latex x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$

אם מציבים $latex b=\frac{B}{A}, c=\frac{C}{A}$ במשוואה הזו מקבלים את הנוסחה הכללית ביותר (הטריק היחיד שיש לבצע כאן הוא לכפול ולחלק את $latex C$ שבתוך השורש ב-$latex A$, ואז ניתן להוציא את $latex \frac{1}{A^2}$ מחוץ לשורש):
$latex x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$

הגרסה הזו נוחה במקרים שבהם לא כיף לחלק ב-$latex A$ ואז לחשב כל מני דברים מעצבנים, כמו את הריבוע של $latex \frac{B}{A}$.

אם כן, זו הגישה ה"אלגברית" לכל זה. אבל מה הבבלים עשו? האם יש אינטואיציה לפתרון שהיא מעבר ל"אם נעשה את המניפולציה הזו והזו על הסמלים הזה והזה, יצא לנו משהו נחמד"?

הבבלים עוסקים בשאלה שבמבט ראשון נראית קשורה רק למחצה, במקרה הטוב: נתון להם מלבן. הם יודעים את שטח המלבן ואת ההפרש בין אורך צלעותיו של המלבן. המטרה: לגלות את אורך הצלעות. ראשית אציג את הדרך שבה פותרים את הבעיה הזו; אחר כך אסביר מדוע עבור מקרים רבים זו הבעיה שלנו, בתחפושת. נתחיל בתמונה אחת ששווה אלף מילים – תיאור התהליך כולו.
Completion

כעת להסבר. אנחנו מתחילים ממלבן A שאורך צלעותיו הוא הנעלמים $latex x,y$. מה אנחנו כן יודעים? את שטחו $latex xy$ ואת הערך $latex y-x$.

הרעיון הכללי בבנייה הוא להפוך את המלבן לריבוע. לשם כך יהיה צורך "להשלים" אותו על ידי הוספת פיסה נוספת – זו ה-D שמופיעה בשלב האחרון. את התהליך מתחילים כך: A הוא מלבן, ולכן יש בו צלע ארוכה וצלע קצרה יותר. אפשר להעביר מקביל בתוך המלבן לצלע הקצרה יותר כדי לחלק את A לריבוע (B) ולמלבן קטן יותר, C. אורך הצלע של הריבוע B הוא $latex x$, ואילו אורך הצלעות של C הוא $latex x$ ו-$latex y-x$ (כי "גזרנו" מהצלע שאורכה $latex y$ קטע שאורכו $latex x$). מה שחשוב במלבן החדש הוא שאנו יודעים את אורך הצלע $latex y-x$ – זה חלק מהנתון.

כעת, מחלקים את המלבן הזה לשני חלקים – C1,C2. את C1 משאירים במקומו, אבל עם C2 יוצאים לטיולים. לוקחים אותו, מסובבים אותו ב-90 מעלות, ומדביקים אותו בחלק התחתון של הריבוע B. זה יוצר לנו צורה שהיא "כמעט ריבוע" – אורך צלעה הוא $latex x+\frac{y-x}{2}$, אך חסר בה חלק. את החלק הזה – D – "משלימים", ומקבלים ריבוע תקין.

מה שטח הריבוע הזה? את זה אפשר לדעת מהנתונים. זה שווה לשטח המלבן המקורי, ועוד שטח D. את שטח D יודעים, כי D הוא ריבוע שאורך צלעו $latex \frac{y-x}{2}$, ושטח D הוא פשוט ריבוע האורך הזה. אם כן, את השטח הכולל, שאסמן ב-$latex S$, אפשר לחשב באמצעות חיבור שטח A לשטח D. בנוסף, ידוע ששטח זה הוא הריבוע של אורך הצלע של הריבוע שיצרנו: $latex S=\left(x+\frac{y-x}{2}\right)^2$. זהו מקורה ה"היסטורי" של המילה "ריבוע" (באנגלית Square; וכאשר מדברים על חזקה שלישית, זה Cube – אני מניח שכעת ברור למה). אם כן, כל מה שנשאר לעשות הוא להוציא שורש לשטח הריבוע, שאותו כאמור אנו יודעים, וקיבלנו את $latex x+\frac{y-x}{2}$. מכיוון שאנחנו יודעים את $latex \frac{y-x}{2}$, קל לגלות את $latex x$, ולכן גם את $latex y$.

את כל זה הצגתי, שוב, בגישה אלגברית יחסית, תוך שימוש במשתנים. הבבלים פשוט הציגו את זה בעזרת דוגמאות. למשל, נניח ששטח המלבן הוא 7 וההפרש בין אורכי הצלעות הוא 6: אז אורך C יהיה 6, ולכן חצי מאורך C יהיה 3. לכן שטח D יהיה 9, ולכן השטח הכולל של הריבוע הגדול יהיה 16 – לכן אורך צלעו של הריבוע הגדול הוא 4, ולכן אורך צלע אחת של הריבוע המקורית הוא $latex 4-3=1$ (ה-3 הגיע מ"חצי מאורך C"). לכן אורך הצלע השנייה הוא 7, וגמרנו.

לדעתי השיטה הזו נאה מאוד גם בקני המידה של ימינו. הנה הצורה שבה אני לפחות, כתוצר משובח של מערכת החינוך שלנו, הייתי ניגש לבעיה הזו אם היו מציגים לי אותה בניסוח אלגברי טהור, כלומר מציגים בפני את שתי המשוואות $latex xy=7, y-x=6$: הייתי מחלץ מהמשוואה השנייה $latex y=6+x$, מציב במשוואה הראשונה $latex x(6+x)=7$. פותח סוגריים ומקבל $latex x^2+6x-7=0$, וכאן משתמש בנוסחת השורשים ומקבל $latex x=\frac{-6\pm\sqrt{36+28}}{2}=\frac{-6\pm 8}{2}$ ובסופו של דבר, את התוצאות $latex x=1$ ו-$latex x=-7$ (שלא מתאים לתיאור הגאומטרי, שבו אורכים הם תמיד חיוביים). כמות החישובים שהגישה הזו דרשה ממני היא גדולה יותר, ואני מבצע אותה לאט יותר (מחשב, כמובן, יעדיף את הגישה האלגברית…).

טרם סיימתי. טענתי קודם שהשיטה הזו של הבבלים היא (לא תמיד, אבל במקרים רבים) השיטה לפתרון משוואה ריבועית שאנו מכירים, פשוט בתחפושת. על פניו, לא נראה שיש קשר ישיר ביניהן; הרי כאמור, השיטה הזו פותרת את מערכת המשוואות $latex xy=t_1,y-x=t_2$ (כש-$latex t_1,t_2$ הם מספרים כלשהם). כדי להבין איך זה מתקשר למשוואות ריבועיות "רגילות", צריך להיזכר במה שמכונה "נוסחאות וייטה".

נניח שיש לנו את המשוואה הריבועית $latex x^2+bx+c=0$. אפשר לחשוב על בעיית הפתרון שלה כעל בעיית מציאת השורשים של הפולינום $latex x^2+bx+c$. נניח שהשורשים הם $latex \alpha,\beta$. היכרות עם תכונות של פולינומים מראה שקיים פולינום יחיד ממעלה שנייה שאלו הם שורשיו, וניתן לכתוב אותו בתור $latex (x-\alpha)(x-\beta)$. לאחר פתיחת סוגריים מקבלים $latex x^2+(-\alpha-\beta)x+\alpha\beta$. אם כן, קיבלנו $latex b=-\alpha-\beta$ ו-$latex c=\alpha\beta$. אלו הן נוסחאות וייטה עבור משוואה ריבועית – הן מראות שמקדמי המשוואה הם פשוט מינוס הסכום והמכפלה של הפתרונות. במקרה שלנו, זה עוזר לנו "להנדס" בעיית מלבן שתפתור לנו את המשוואה הריבועית. הבעיה המרכזית כאן היא שפתרון בעיית המלבן מבוסס על הכרת ההפרש בין שני המספרים שאנו מחפשים, ואילו כאן נתון לנו דווקא מינוס הסכום שלהם. לכן נשתמש בתעלול הבא: אם $latex \alpha,\beta$ הם הפתרונות של המשוואה, אז $latex b=-\beta-\alpha$. אם נסמן $latex x=\alpha, y=-\beta$ (סליחה על השימוש הכפול ב-x – אני מנסה להיות קונסיסטנטי עם השימוש בו בבעיית המלבן) נקבל $latex b=y-x$, בדיוק כמו בבעיית המלבן. לכן, אם נפתור את בעיית המלבן ונמצא $latex x,y$, הפתרונות למשוואה הריבועית יהיו $latex x,-y$.

מה עוד נשאר כדי לקבל בעיית מלבן? צריך לדעת גם את $latex xy=-\alpha\beta=-c$ – וכאמור, אנו יודעים אותו. אם כן, כדי לפתור את המשוואה הריבועית אנו פותרים בעיית מלבן עם שטח $latex -c$ והפרש צלעות $latex b$ ואז מתרגמים את פתרונות בעיית המלבן חזרה לפתרונות של המשוואה הריבועית.

כמובן, השיטה הזו תקפה רק אם $latex c$ שלילי, אחרת נקבל בעיית מלבן לא הגיונית, עם שטח שלילי; לכן לא ניתן לטפל במשוואות כמו $latex x^2+1=0$ בעזרת השיטה הזו. עם זאת, אני חושב שבהתחשב בכך שהמתמטיקה הבבלית הייתה קיימת למעלה מאלף וחמש מאות שנים לפני הספירה, אני חושב ששיטת ההשלמה לריבוע היא הישג מרשים ונאה ביותר לזמנו.

29 תגובות על הפוסט “אז איך פותרים משוואה ריבועית?

  1. לאחרונה הסתכלתי בספרי מתמטיקה דיי ישנים, ןלהפתעתי הרבה גיליתי מספר דברים מענינים. למשל חישוב הטור 1+4+9+16+.. נתונה באינדוקציה (שהיא שיטת הוכחה מקובלת בהחלט) אבל משהו חסר בה לטעמי. בספר ישן של calculus מצאתי הוכחה יפייפיה לטור. ודוגמא נוספת ישנן הוכחות ממש אלגנטיות לנושאים הקשורים לתורת החבורות דווקא בספר של jacobson שנקרא basic algebra 1 משנת 1910! לצערי הרב יש לי הרגשה שלאחרונה אנו יותר מסתמכים על טכניקה ומניפולציות על סימנים ופחות על הבנה מתמטית, הורגלנו לחשוב בסימנים ואיבדנו את המשמעות.

  2. מגניב ביותר. ההבנה שלך את הדברים מעניינת מאוד.
    קל הרבה יותר מלפתור פולינום ממעלה שלישית.

  3. אדם עבר מרחק של 12 קמ" בזמן מסויים ובמהירות קבועה. בדרכו חזרה הגדיל את מהירותו ב-2קמ"ש ולכן עבר מרחק זה בשעה פחות. מצא את מהירותו בדרך הלוך.

    אתם יכולים לעזור לי לפתור את זה בבקשה.

  4. עליך להשתמש במשוואת התנועה: d=vt, כאשר d הוא המרחק, v הוא המהירות (הקבועה) ו-t הוא הזמן. יש לך שתי משוואות – אחת לדרך הלוך, ואחת לדרך חזור. בגלל הנתונים (מהירות גדולה יותר, זמן קטן יותר) אתה יכול להשתמש באותם ערכים של v,t בשתי המשוואות – והרי לך שתי משוואות (לינאריות) בשני נעלמים.

  5. ניסיתי כבר לפתור כך אל לא יוצאת לי תוצאה יוצא לי:
    12=2Y-בשנייה2Y ואני לא יודעת איך לפתור את זה

  6. אתם יכולים בבקשה לפתור לי את התרגיל הבא:
    אדם עבר מרחק של 12 קמ'’ בזמן מסויים ובמהירות קבועה. בדרכו חזרה הגדיל את מהירותו ב-2קמ'’ש ולכן עבר מרחק זה בשעה פחות. מצא את מהירותו בדרך הלוך.

    בבקשה זה די דחוף ולא יוצא לי לפתור את התרגיל הזה.

  7. פינגבאק: מי הזיז את הטור שלי? « לא מדויק

  8. פינגבאק: בניות בסרגל ומחוגה « לא מדויק

  9. פינגבאק: בניות בסרגל ומחוגה | לא מדויק

  10. כמו רוב המגיבים, קראתי והנהנתי בהתלהבות. כמה נכון… איזה יופי… אכן – לא מלמדים כלום, לא מלמדים נכון וכו' וכו'.
    אבל אז שמתי לב שלקראת סוף הסיפור הבבלי – כבר התעייפתי קצת ואין לי ממש כוח לעקוב אחר הטיעון…
    אהה.
    אז אולי הפוסט לא כזה מבריק בעצם… אולי כל הגישה שמקדשת הבנה, הבנה, הבנה היא בעצם די בולשיט.
    בוא נחשוב על זה: בבלים… כמה בבלים ידעו את השיטה? 10? 50? 200? ואלו שידעו – כמה זמן לקח להם להבין את ההגיון? – או שהם פשוט עשו בצורה טכנית לגמרי…?
    הטיעון שלי הוא כזה: העולם הוא מורכב ורב פנים. מאד מאד מורכב. אין – פשוט אין – מצב להבין לעומק כל דבר.
    תחשוב על כפר בן 20 תושבים, או 100. אתה חי שם כל החיים ומכיר כל אחד באופן אינטימי.
    עכשיו תחשוב על עיר עם מליוני תושבים…
    כמה קל להעביר ביקורת על 'השטחיות' שבמערכות היחסים שם…
    אבל מה האופציה?
    מערכת החינוך צריכה להכניס המון חומר לתלמיד בשביל להוציא אותו עם יכולת להתמודד קצת עם העולם המאד מורכב שבו אנו חיים – הרבה הרבה יותר מורכב מהעולם של הבבלים החמודים. אם יתחילו 'להבין' הכל – מה כבר יספיקו?
    אז הם בוחרים בפתרון – הרע – של לדחוף מה שיותר בצורה של נוסחאות – העיקר שיוכלו איכשהו להסתדר.
    רע? בלי ספק. יש אופציה אחרת ריאלית? לא.
    אבל יש גישה נכונה – תן הכל ברמת הלהסתדר – ומי שירצה להעמיק יוכל אח"כ…
    אתה למשל – למדת שם, ובכ"ז, כל 'שיטת הנוסחאות' הזו, הספיקה בשביל שתקלוט שזה תחום שמושך אותך – והלכת ללמוד באונ'.
    אבל מה 'הבן' רוצה להיות צלם? זמר? כיימאי? המוח שלו לא מסוגל להבין 'הכל' בכל תחום. גם אתה לא 'מבין' 99% מהעולם שסובב אותך… לא 'באמת'.
    ואתה מסתדר. איך? עם נוסחאות…
    בדיוק כמו הילד ההוא.

  11. למרות שאני לא חושב שהדיון צריך לעסוק בי, אני רוצה להעמיד דבר אחד על דיוקו – האמירה "כל 'שיטת הנוסחאות' הזו, הספיקה בשביל שתקלוט שזה תחום שמושך אותך" היא שגויה לחלוטין, ועגום למדי שאתה מנחש מה האופן שבו הגעתי ללימודי מתמטיקה למרות שאין לך שום מידע בנושא.

    (הסיבה העיקרית שבגללה הלכתי לנתיב האקדמי שבו בחרתי היא הספר "אלגוריתמיקה" של דוד הראל שמצאתי כמעט בדרך מקרה בספריית בית הספר שלי בכיתה י"א וקראתי בשקיקה את כולו – לדעתי זה די מנוגד לגישה שאתה מציג בהודעה שלך).

  12. בכלל לא.
    הרעיון הוא די פשוט:
    כפר של 100 איש – תכיר כל אחד באופן אינטימי
    עיר של 10 מליון – תדע להסתדר בצורה סבירה פחות או יותר => לקנות בקיוסק בלי להיות חבר של הקיוסקאי, לנסוע במונית בלי שהנהג ידע מי אתה ולאן אתה צריך, וכו' – בטח הבנת.
    תשתמש בנוסחאות 'יצירת קשר' עם בני אדם. (וכמובן – הרבה פעמים תטעה בתשובה…)
    אבל תהיה בעולם מורכב שאתה מסוגל להתמודד איתו = לקבל ולספק את הצרכים שלך ולא להזיק ילאחרים.
    אבל – אבל גדול – תבנה לך במקביל את 'הכפר הקטן שלך' שבו יהיו ה 100 איש שאתה כן מכיר לעומק, כן מחבב, כן מתקשר איתם ברמות שהן מעבר ל 'להסתדר'.

    אם אתה תהיה חייב להיות חבר של כל קיוסקאי וכל נהג מונית וכל אחד אחר שאתה בא איתו במגע – לא ישאר לך מספיק זמן וכוח לעולם שלך.

    וזה בדיוק מה שאתה מתאר – שיטת הנוסחאות שלמדת הספיקה בשביל שתוכל לקחת ספר, 'להתאהב' ולהחליט שזה מתאים לעולם שלך.
    אבל מה אם הספר הנהדר היה בסינית?
    שיטת הנוסחאות מביאה אותך למצב של 'לקחת ספר' בתחומים רבים – מ"מ, היסטוריה, כימיה, ניהול עסקים, בישול, מסעות בעולם – ולהיות מסוגל להתמודד איתו מספיק בשביל להרגיש את ה'קליק'.

    אל תבין אותי לא נכון – אני מאד בעד הבנה מתמטית – מאד. כי אני רואה בזה בעיקר פיתוח של יכולות חשיבה שחשוב מאד לפתח אותן – כי הן נוגעות לכל תחום.
    ובעולם מושלם בהחלט הייתי רוצה שכל אחד יוכל לפתח את היכולות האלה מה שיותר.
    בדיוק כמו שזה היה יכול להיות מאד מעניין להכיר המון אנשים – כי יש המון אנשים מרתקים שם בחוץ.
    אבל אין זמן.
    אין זמן להיות מומחה בציור = פיתוח יכולות
    אין זמן להיות מומחה בכתיבה בשני ידיים = פיתוח יכולות
    אין זמן לחיפוש השלמות המזויינת הזו. ולא צריך.
    העסק הזה סובייקטיבי לגמרי. מי יכול להגדיר מה צריך? מה מושלם? מה מתאים?

    טיעון הנגד – המאד נכון – הוא שאנשים יבחרו בפתרונות 'קלים'. ששיטת הנוסאות בונה לאנשים עולם נוח והם מתרגלים ללעשות את המינימום ולהסתפק בזה. שהם לא מוותרים על הבנה מתמטית וכנגד זה מפתחים הבנה בתחום אחר – שהם מסתפקים בבערך שטחי של כל העולם הסובב אותם.
    וזו באמת הבעיה של שיטת הנוסחאות – אם אתה יכול להסתדר, למה שתתעמק?
    שיטת הנוסחאות מקדשת ומאלפת לבינוניות, שטחיות, אי הבנה ול 'זה מספיק טוב'.
    ואח"כ כאילו מצפים שמי שאולף כך 'ימצא' את עצמו ואת התחום שמושך אותו ויעמיק בו.
    משימה שרוב האנשים כושלים בה באופן מחריד, ויעיד ערוץ 2…
    אבל זה לא קשור להבנה מתמטית דווקא, זה יותר עצם העניין של להתמודד עם קושי ועם מורכבות – בכל תחום שהוא.

    טוב, לא נריב סתם.
    אני בעד להבין מ"מ. מאד בעד.
    אבל – מהנסיון שלי כמורה חובב – כל העסק הזה של 'הבנה' מאד קשה לאנשים. וקשה = מפחיד.
    ומפחיד = עזוב אותי מזה.
    אני הייתי מסתפק רק בנוסחאות. נותן להם להסתובב קצת בעולם הזה – חמושים בנוסחאות – בלי לפחד. לפתח קצת ביטחון. להרגיש בנוח. לראות שזה לא נושך.
    ואז… – לדחוף להם הבנה…
    בעדינות. אבל זה בדיוק מה שאתה עושה בבלוג הזה…

  13. אני קצת התבלבלתי מהכותרת לכתבה (וגם שם הלינק המפנה מוויקפידיה)
    לתומי חשבתי שיהיה פה מדובר במאמר קצר וענייני עם טכניקה לפתרון מהיר של משוואות, אבל נוכחתי לדעת כי מדובר פה במאמר ארוך הכולל הוכחות שמיותרות לסוג התלמידים שמלתכתחילה מחפשים פתרון מהיר של משוואות.

    איתי.

  14. ה"טכניקה" מוצגת בפסקה הראשונה של המאמר- נוסחת השורשים. המאמר עצמו, כמו הבלוג כולו, מיועד לאנשים שרוצים להבין מתמטיקה ולא רק לדעת "טכניקות". הבנה של המתמטיקה גם מובילה לשיפור ביכולת הפתרון של משוואות מבלי להסתמך על "טכניקות" עיוורות.

  15. טוב, נו, stamgolesh עלה לי קצת על העצבים, אז אני חייב להגיד משהו. stamgolesh, מצד אחד יש משהו נכון במה שאתה אומר, וזה שלא כל אחד יכול/צריך "להבין" את נוסחת השורשים (או, לצורך העניין, לתת שלוש דוגמאות למוטיב המוות בשיר ראה שמש של אבן גבירול, או אולי איך לנסח מחדש את המשפט "המלאכה נאסרה בשבת משום שיש בה מעשה יצירה" כמשפט מורכב שבו פסוקית לוואי).

    אבל מצד שני, האלטרנטיבה שאתה מספק היא איומה ונוראה בעיני. במקום להחליט שאולי לא כל אחד צריך בכלל לשמוע על נוסחת השורשים, אתה מציע שידחסו אותה (ואת יתר תוכנית הלימודים) באופן מכני למוח של התלמידים, כדי שיקיאו הכל בבחינה וישכחו יומיים אחריה (יש לך תעודת בגרות, נכון? אנא ממך, נסח את המשפט לעיל עם פסוקית לוואי וציין את המוטיבים בשיר "נטע אל" של ביאליק…). אתה מכיר הרבה צלמים, זמרים וכימאים שזקוקים לנוסחת השורשים, זיהוי מוטיבים בשירים ופסוקיות לוואי בעבודת יומם?

    אולי יש דרך אחרת? אולי עדיף שנעודד ילדים כמו gadial להתעמק בנוסחת השורשים, ולוותר לחלוטין על שירה שלא מעניינת אותם*? אולי ילדים פותחים ספרים (או גוגל) למרות "שיטת הנוסחאות", וממש לא בזכותה? אתה הרי מודה שהשיטה לא עובדת (ויעיד ערוץ 2…). בין Khan Academy לויקיפדיה, אני מאמין שיש לנו את הכלים להציע דרך אחרת. אני אפילו חושב שבמאה ה-21 אנחנו חייבים דרך אחרת (וראה גם את הרצאות ה-TED הקצרות, הקולעות והשנונות עד להתפקע של Ken Robinson בנושא).

    אם נלמד את ילדינו כיצד ללמוד, במקום אסופה כמעט-אקראית של נוסחאות, שירים וכללי דקדוק, אז בגיל שלושים ושלוש, אם במקרה הם ירצו לדעת את נוסחת השורשים, הם יוכלו לכתוב בגוגל: "משוואה ריבועית", ולהגיע לדף מצוין כמו הדף הזה, שיענה להם. ואם הם רוצים משהו נקודתי ואינציקלופדי אז שיפתחו ויקיפדיה, או יותר מקיף אז שיפתחו Khan Academy. הרי מכל מחשב מחובר לרשת הם יכולים למצוא את שניהם, וגם מסגרות חברתיות ללמידה ולשאלות ותשובות, או תרגילים, או הרצאות וידאו של טובי המומחים מהטכניון ומהרווארד, או עוד אין סוף משאבי לימוד.

    בבתיה"ס צריך ללמד מינימום של המינימום, צריך לחנך לערכים ראויים שהילדים, ההורים, ביה"ס והמדינה בוחרים בשותפות, צריך לעודד רצון ללמוד (ולא לדכא אותו, בשיטת מדחסת החומר והבחינות האינסופיות) וצריך לפתח כישורי למידה ויצירתיות. תן קצת קרדיט ל"ילדים של היום", הם ימצאו כבר את דרכם להפוך למבוגרים של מחר.

    * gadial, אתה משמש ניצב מקרי בדוגמה שלי; אם אתה חובב מושבע של אבן גבירול, התנצלותי, אבחר מתמטיקאי אקראי אחר במקומך שדווקא תיעב ספרות בביה"ס

  16. פינגבאק: שעשועי פולינומים | עד כדי קבוע

  17. אמנם לא עזר לי מה שכתבת פה בשביל מה שרציתי להבין
    אבל נתן לי השראה לנושא של השלמת ריבוע בכלל
    עד שהצלחתי להרחיב זאת למה שביקשתי אני להבין.
    תודה, האתר ממש עוזר!

  18. כתבה מרתקת ומעניינת. הזכירה לי את חדוות המתמטיקה שהייתה לי בעבר. כיף.
    מסכים שלא מתאים לכל אחד להבין את הכל, אבל זו בהחלט שאיפה ראויה בעייני …

  19. לא הבנתי כל כך איך הגעת לזה שb=2t… אפשר בבקשה הסבר?
    אבל סך הכל ממש התלהבתי מהפוסט!!!

  20. שמתי לב שה-b=y-x, ולכן אני רוצה לשאול אם יש הגרדה מפורשת למהי b. לדוגמה c מרמז על נקודת החיתוך עם ציר ה-y, ו-a היא השיפוע של הגרף.

  21. ״(תמיד יש לה פתרון בשדה רחב יותר, כמו למשל במקרה של המרוכבים, אך לא ניכנס לזה).״

    האם אפשר קישור להוכחה לכך שעבור כל שדה שאין בו פתרון למשוואה ריבועית כלשהי, תמיד יש שדה רחב יותר (ומה זה אומר שדה רחב יותר? שדה שמכיל את השדה המקורי?) שעבורו לאותה משוואה יהיה פתרון.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.