נפלאות אי התבונה (חלק ב')

לפני שנעבור לדבר על שיווי משקל נאש כדאי לומר כמה מילים על מהו ה"משחק" שבו עוסקת תורת המשחקים ומהו "פתרון" עבורו, ולהתמקד במקרה פרטי מעניין שלהם. משחק, בצורה לא מדויקת, הוא סיטואציה שבה נמצאים כמה משתתפים, שלכל אחד מהם מספר דרכי פעולה ("אסטרטגיות") שונות ("אני אלך על הבלונדינית", "אני אלך על הברונטית"). לכל צירוף של דרכי פעולה ("אני הלכתי על הבלונדינית והוא הלך על הברונטית") מותאם ה"רווח" שמקבלים השחקנים מהתרחיש שנובע מדרכי הפעולה שכולם בחרו ("כולנו הלכנו על הבלונדינית, כולנו קיבלנו רווח של מינוס 1 (בגלל ההשפלה)", "אני הלכתי על הברונטית וקיבלתי רווח של 1, הוא הלך על הבלונדינית וקיבל רווח של 3").

חשוב לשים לב לנקודה עדינה כאן: "רווח" אינו בהכרח רווח כספי, או אפילו חומרי. הוא פשוט מספר שמתאימים לסיטואציה כדי להגיד עד כמה השחקן מרוצה מתוצאת הסיטואציה. הוא גם לא מעיד על אנוכיות - אם נאש הוא אלטרואיסט, הרווח שלו יכול להיות הגדול ביותר דווקא כשחברו הטוב זוכה בבלונדינית ולא הוא עצמו. אנסה לתת דוגמה נוספת כאשר אדבר על דילמת האסיר.

במודל של נאש יש מספר הנחות חשובות אחרות: כל שחקן יודע את כל המידע על המשחק – כלומר, מהם כל התרחישים האפשריים, ומה הרווח שכל שחקן יניב מהם. עוד הנחה היא שכל שחקן פועל כדי למקסם את הרווח של עצמו (ושוב – "למקסם את הרווח של עצמו" אין פירושו "לפעול בצורה אנוכית לגמרי", אלא פשוט "לפעול בצורה שתניב את התוצאה הטובה ביותר לדעת השחקן בלי תלות במה שיעשו האחרים").

נאש לא המציא את המודל; זכות הראשונים שמורה למתמטיקאי ג'ון פון נוימן ולכלכלן אוסקר מורגנשטרן, שבספרם "תורת המשחקים והתנהגות כלכלית" המציאו, למעשה, את הענף. פון נוימן ומורגנשטרן עסקו במודל פשוט יותר – משחק סכום אפס שבו משתתפים שני שחקנים בלבד. "סכום אפס" פירושו שכל רווח של השחקן האחד מתבטא בהפסד דומה של השחקן השני. למשל, משחק הימורים לשני שחקנים הוא כזה – את הסכום שהמפסיד מאבד, המנצח מקבל. לעומת זאת, משחק הבלונדינית והברונטיות אינו כזה, שכן אם הארבעה ילכו על הברונטיות, כולם ירוויחו מבלי שאיש יפסיד.

פון נוימן ומורגנשטרן הוכיחו (במשפט שנקרא "משפט המינימקס") כי במשחק סכום אפס לשני שחקנים קיימת תמיד אסטרטגיה "אופטימלית" לכל אחד מהשחקנים – כלומר, כזו שמבטיחה לשחקן כי לא משנה מה הצד השני עושה, הרווח שלו יהיה הגדול ביותר אם ידבק באסטרטגיה שבחר. במבט ראשון, לא ברור מדוע לא מובן מאליו שתהיה אסטרטגיה שכזו, אז אציג מקרה שבו אסטרטגיה כזו (לכאורה) באמת אינה קיימת: אבן-נייר-ומספרים.

אבן-נייר-ומספרים הוא ספורט רציני. אל תזלזלו. הייתה אליפות עולם באבן-נייר-ומספריים בקנדה לפני כמה שנים. אם יש לשחקן ידע כלשהו על הפסיכולוגיה של היריב, הוא יכול לנצל אותו. אבל בגרסה הפשוטה ביותר אין לנו שום ידע כזה, ואין לנו שום מושג מה יעשה היריב.

יש לנו בסך הכל שלוש אסטרטגיות – לשלוף אבן, לשלוף נייר או לשלוף מספריים, אלא שאף אחת משלוש האסטרטגיות הללו אינה אופטימלית על פי הצורה שבה הגדרנו את המושג: למשל, אם נשלוף אבן, קיימת אסטרטגיה של היריב ("שלוף נייר") שתבטיח לנו רווח נמוך מזה שהיינו משיגים אם היינו נוקטים באסטרטגיה אחרת – "שלוף מספריים". אבל גם "שלוף מספריים" אינה אופטימלית, כי היריב יכל לשחק "שלוף אבן", וכן הלאה וכן הלאה. הבעייתיות המעגלית כאן מוכרת מחיי היום יום – בכל פעם שטומנים פח למישהו עולה השאלה "האם הוא יודע שאני טומן לו פח?" והצד השני שואל את עצמו "האם הוא יודע שאני יודע שאני טומן לו פח?" ושוב הראשון שואל "האם הוא יודע שאני יודע שהוא יודע שאני טומן לו פח?" וכן הלאה וכן הלאה.

אז מה הפתרון של פון נוימן ומורגנשטרן שמבטיח שתמיד תהיה אסטרטגיה אופטימלית? הם מרשים להכניס מימד הסתברותי לתמונה – כלומר, לבחור באקראי אחת מהאסטרטגיות שעומדות לרשותנו, כשאסטרטגיות שונות יכולות לקבל משקלים שונים בהגרלה (למשל, כדי לתת משקלים של 2/3 ו-1/3 אפשר להטיל קובייה, לבחור באסטרטגיה הראשונה אם התוצאה קטנה מ-5, ובשנייה אם היא גדולה או שווה ל-5). אם מרשים הגרלה שכזו תמיד קיימת דרך מסוימת להגריל שמבטיחה רווח אופטימלי בלי תלות בבחירה של היריב. במקרה של אבן-נייר-ומספריים הדרך הזו היא פשוט הגרלה בהסתברות אחידה של 1/3 לכל אחת מהאפשרויות. חישוב מהיר מראה שתוחלת הרווח במקרה הזה (אם "ניצחון" שווה נקודה ו"הפסד" שווה מינוס נקודה) היא אפס, כפי שניתן היה לצפות – הרי המשחק סימטרי במהותו, ואין סיבה שלשחקן אחד יהיה יתרון על השני אם שניהם נוקטים בגישה האופטימלית. (למעשה, זו דרך מצוינת לזהות משחק סכום אפס שאינו הוגן – משחק שבו לאחד מהשחקנים מובטח רווח כלשהו אם ישתמש באסטרטגיה האופטימלית).

ואיך כל זה קשור לשיווי משקל נאש? בכך ששיווי משקל נאש הוא ההכללה של משפט המינימקס לסוג כללי יותר של משחקים – משחקים שבהם יכולים להיות יותר משני שחקנים, ואינם בהכרח סכום אפס, כדוגמת משחק הבלונדינית והברונטיות שלנו.