תקציר הפרקים הקודמים: הראיתי את פרדוקס האוסדורף, או כפי שהעדפתי לקרוא לו, "פרדוקס כמעט בנך-טרסקי". פרדוקס האוסדורף אמר כי ניתן לקחת את ספירת היחידה במרחב התלת ממדי \(S^{2}\) (פניו של כדור שרדיוסו 1), להעיף מתוכה קבוצה בת-מניה של נקודות \(D\), והתוצאה \(S^{2}\backslash D\) תהיה קבוצה פרדוקסלית, כלומר ניתן יהיה לפרק אותה לשתי משפחות של תת קבוצות שכל אחת בנפרד מרכיבה את \(S^{2}\backslash D\), אחרי שמפעילים על איבריה אי-אלו איזומטריות.

פרדוקס בנך-טרסקי עצמו הוא אותו הדבר, רק שבמקום \(S^{2}\backslash D\) הקבוצה שאותה תוקפים היא כדור היחידה עצמו. בפוסט הזה נסתום את החורים שבפרדוקס האוסדורף, תרתי משמעי, ונקבל את בנך-טרסקי.

הרעיון הבסיסי הוא שאין צורך להוכיח את בנך-טרסקי במפורש עבור \(S^{2}\); מספיק שנראה שאפשר לפרק את \(S^{2}\), להפעיל על הפירוק איזומטריות ולקבל את \(S^{2}\backslash D\). בואו נטפל ברעיון הזה בצורה קצת יותר כללית. נאמר ששתי קבוצות \(A,B\) הן חופפות בחלקים אם אפשר לפרק אותן לשתי סדרות של קבוצות זרות \(A=A_{1}\cup A_{2}\cup\dots\cup A_{n},B=B_{1}\cup B_{2}\cup\dots\cup B_{n}\) כך שלכל \(i\) מתקיים \(g_{i}\left(A_{i}\right)=B_{i}\) עבור איזומטריה \(g_{i}\) כלשהי. די פשוט לראות שחפיפה בחלקים היא יחס שקילות – \(A\) בוודאי חופפת בחלקים לעצמה (קחו כל פירוק שתרצו ואת איזומטריות הזהות). אם \(A\) חופפת ל-\(B\) אז \(B\) חופפת ל-\(A\) (כי אם \(g_{i}\left(A_{i}\right)=B_{i}\) אז \(g_{i}^{-1}\left(B_{i}\right)=A_{i}\)). רק תכונת הטרנזיטיביות – שאם \(A\) חופפת ל-\(B\) ו-\(B\) חופפת ל-\(C\) – מהווה קצת אתגר. הרעיון הוא לקחת את שני הפירוקים של \(B\) – זה שמותאם לחפיפה ל-\(A\) וזה שמותאם לחפיפה ל-\(C\), ו"לחתוך" אותם (כל חתיכה בפירוק לפי \(A\) לחתוך לפלחים כשכל פלח שייך לחיתוך של החתיכה עם חתיכה בפירוק לפי \(C\)). מי שסקרן לא יתקשה להשלים את הפרטים בעצמו. שימו לב שאם בפירוק של \(A,B\) יש \(n\) חתיכות ובפירוק של \(B,C\) יש \(m\) חתיכות, אז בפירוק של \(A,C\) יש \(mn\) חתיכות, כלומר מספר החתיכות עשוי לגדול (ולמקרה שזה מסקרן אתכם, נסו למצוא דוגמה נגדית שמוכיחה כי "חופף ב-\(n\) חלקים" איננו יחס שקילות בדיוק בגלל בעיה זו).

נסמן \(A\sim B\) אם \(A,B\) חופפות בחלקים. אז ראשית, שימו לב שקל לתאר כעת מהי קבוצה פרדוקסלית: זוהי קבוצה \(E\) כך ש-\(E=A\uplus B\) ו-\(A\sim B\sim E\). שנית, את מה שאני רוצה להוכיח אפשר לתאר כעת בתור – אני רוצה להוכיח שאם \(A\sim B\) ו-\(B\) פרדוקסלית, כך גם \(A\), ואני רוצה להוכיח ש-\(S^{2}\sim S^{2}\backslash D\).

נתחיל מהטענה הראשונה. נניח ש-\(B\) פרדוקסלית עם פירוק ל-\(B_{1},B_{2}\). ניקח את הפירוקים של \(A,B\) שמראים את החפיפה שלהם, וכמו שעושים בהוכחה של הטרנזיטיביות – נפרק אותם עוד – כל חתיכה נפרק לשני חלקים, החלק האחד כולל את מה ששייך ל-\(B_{1}\), והשני את מה ששייך ל-\(B_{2}\). נקבל מזה פירוק של \(A\) לשתי קבוצות זרות \(A_{1},A_{2}\) כך ש-\(A_{1}\sim B_{1}\sim B\sim A\) ואותו הדבר עבור \(A_{2}\). זה מראה את הפרדוקסליות של \(A\).

נותר להוכיח כי \(S^{2}\sim S^{2}\backslash D\). התעלול שבו משתמשים פה הוא פשוט אך מחוכם ויפה; כדי להבין אותו בואו ניזכר קודם כל במקום אחר שבו משתמשים בתעלולים שכאלו ודיברתי עליו לא מזמן – המלון של הילברט. במלון של הילברט היה חדר לכל מספר טבעי וכל החדרים היו תפוסים, ואז הגיע אורח חדש. כדי לפנות לו מקום, את האורח בחדר 0 (בואו נניח שהטבעיים מתחילים מ-0; זה ישתלם בהמשך) העברנו לחדר 1 ואז התפנה לאורח החדש מקום בחדר 0. לרוע המזל, עכשיו נוצרה התנגשות בחדר 1 בין הדייר החדש והדייר הישן, אז העברנו את הדייר הישן של חדר 1 לחדר 2, וכן הלאה עד אינסוף. בואו נכתוב פורמלית את מה שעשינו פה – גם זה ישתלם לנו בקרוב. כדי לעשות את הסיטואציה עוד יותר דומה לזו שלנו, נניח שהמלון של הילברט גדול עוד יותר משמספרים לכם, ויש בו חדר לכל מספר רציונלי, כך שכל הטירוף של שיכון האורח החדש מתרחש בסך הכל באחד המסדרונות שלו ורוב האורחים במלון לא שמים אליו לב. אסמן את כל החדרים במלון ב-\(H\) (מלשון הילברט, או Hotel, איך שתרצו), ב-\(D\) את הקבוצה \(D=\left\{ 0\right\} \), וב-\(g\) את הפונקציה \(g\left(n\right)=n+1\), שמזיזה את האורחים במסדרון של הטבעיים חדר. לסיום אסמן ב-\(\overline{D}\) את ה"סגור" של \(D\) ביחס לפונקציה \(g\), כלומר את הקבוצה \(\overline{D}=\left\{ g^{n}\left(D\right)|n\in\mathbb{N}\right\} \).

מכיוון ש-\(g\) היא פונקציה חד חד ערכית, אז \(\overline{D}\) שווה בגודלו ל-\(g\left(\overline{D}\right)\). אבל מהו \(g\left(\overline{D}\right)\)? זה בסך הכל \(\overline{D}\) כשהוצאנו ממנו את \(D\) המקורי, כלומר את חדר מספר 0. עכשיו ניתן לתאר מתמטית את התעלול שעשינו בתור \(H=\left(H\backslash\overline{D}\right)\cup\overline{D}\cong\left(H\backslash\overline{D}\right)\cup g\left(\overline{D}\right)=H\backslash D\). במילים: המלון \(H\) "חופף" למלון \(H\) כאשר החדר \(D\) בו פנוי. אולי אתם תוהים למה הייתי צריך להסתרבל כל כך כדי לכתוב את הטריק הפשוט הזה של הילברט – ובכן, מכיוון שמה שנעשה עכשיו עם בנך-טרסקי הוא אותו הדבר בדיוק. עד לרמת הסימונים.

נחזור לבנך-טרסקי. הקבוצה \(H\) אצלנו היא \(S^{2}\). הקבוצה \(D\) אצלנו היא תת-קבוצה בת מניה כלשהי של \(S^{2}\) (פרט לכך שהיא בת מניה שום דבר לא מעניין אותנו בה). בואו נניח שהצלחנו רגע למצוא איזומטריה של המרחב \(g\) כך שהקבוצות \(D,g\left(D\right),g^{2}\left(D\right),\dots\) יהיו זרות זו לזו (חשבו על \(D\) בתור האורחים החדשים במלון, על \(g\left(D\right)\) בתור האורחים שפונו כדי לפנות להם חדר, על \(g^{2}\left(D\right)\) בתור האורחים שפונו כדי לפנות לאורחים שפונו חדר וכו'). נגדיר \(\overline{D}=\left\{ g^{n}\left(D\right)|n\in\mathbb{N}\right\} \) כמו קודם, ונקבל ש-\(g\left(\overline{D}\right)\) זהה ל-\(\overline{D}\) ללא \(D\) (בשביל זה הכרחי ש-\(g\) לא תגרום ל"התנגשות" – לכך שאם מפעילים אותה על איבר כלשהו ב-\(\overline{D}\) מקבלים מישהו מתוך \(D\)). לכן נקבל ש-\(S^{2}=\left(S^{2}\backslash\overline{D}\right)\cup\overline{D}\sim\left(S^{2}\backslash\overline{D}\right)\cup g\left(\overline{D}\right)=S^{2}\backslash D\) – כאן החפיפה היא בדיוק עם שני חלקים, \(S^{2}\backslash\overline{D}\) ו-\(\overline{D}\).

הסבר מילולי קצר של מה שהלך כאן – השתמשנו בתעלול תורת-קבוצותניקי פשוט כדי להראות ש-\(S^{2}\) חופפת ל-\(S^{2}\backslash D\) – "החבאנו" את האיברים של \(D\) אי שם בתוך \(S^{2}\). לצורך כך היינו חייבים "לפנות" חלק מהאיברים של \(S^{2}\), אז העברנו אותם למקום אחר ב-\(S^{2}\), ואת התושבים שלו פינינו, וכן הלאה עד אינסוף. כמו במלון של הילברט כך גם כאן, התוצר הכולל של התהליך האינסופי הזה הוא שלכולם יש חדר וכולם מרוצים. ההבדל המהותי היחיד בין המלון של הילברט לסיטואציה הנוכחית הוא שהסיטואציה הנוכחית היא גאומטרית וה"הזזה" של איברים הייתה חייבת להיות באמצעות פונקציה שמכבדת את הגאומטריה הזו – איזומטריה \(g\). כל שנותר להסביר הוא איך מוצאים כזו בכלל. כאן העובדה ש-\(D\) בת מניה חוזרת להיות חשובה.

האופן שבו מוצאים את \(g\) הוא לא קונסטרוקטיבי. פשוט יש המון איזומטריות שאפשר לבחור ורק מספר קטן (בן מניה) שלהן הן לא מוצלחות. בוחרים ישר כלשהו שעובר דרך הראשית ולא פוגע ב-\(D\) (יש כזה כי יש מספר לא בן מניה של ישרים שעוברים דרך הראשית, ורק מספר בן מניה של נקודות ב-\(D\)). עכשיו מסתכלים על אוסף כל הסיבובים שאותו ישר הם ציר הסיבוב שלהם – שוב, יש מספר לא בן מניה של סיבובים שכאלו, כי יש מספר לא בן מניה של זוויות \(\theta\) שבהן אפשר לסובב. נסמן סיבוב בזווית \(\theta\) בתור \(g_{\theta}\).

בגלל שציר הסיבוב לא פוגע ב-\(D\), כל שני סיבובים בזווית בין 0 ל-360 מעלות פועלים בצורה שונה על כל אברי \(D\) (במילים אחרות, אם \(g_{\theta_{1}}\left(p\right)=g_{\theta_{2}}\left(p\right)\) עבור \(p\in D\) כלשהו, אז \(\theta_{1}=\theta_{2}\); אם ציר הסיבוב היה דרך נקודה ב-\(D\) אז היא הייתה עוברת לעצמה עבור כל סיבוב בכל זווית ולכן זה לא היה עובד). זה מאפשר לנו לתחום בצורה פשוטה את כל הסיבובים ה"רעים": \(\theta\) היא זווית רעה לסיבוב אם קיים \(n>0\) טבעי וקיימות נקודות \(p,q\in D\) כך ש-\(g_{\theta}^{n}\left(p\right)=q\) – כי, כאמור, אנחנו רוצים לוודא ש-\(g\) שאנו בונים לא יכולה לשלוח נקודה מ-\(D\) חזרה אל \(D\) ולא משנה כמה פעמים מפעילים אותה.

נשים לב שהשלשה \(\left(n,p,q\right)\) קובעת באופן יחיד את \(\theta\), בגלל התכונה שתיארתי לפני רגע. מספר השלשות הללו הוא בן מניה שכן \(n\) הוא מספר טבעי ואילו \(p,q\) שניהם איברים של קבוצה בת מניה. מכאן שיש רק מספר בן מניה של זוויות \(\theta\) "רעות", ומכיוון שיש מספר לא בן מניה של זוויות \(\theta\) שאפשר לבחור, קיימת אחת שאיננה רעה. \(g_{\theta}\) עבורה תהיה האיזומטריה \(g\) המבוקשת. זה מסיים את הוכחת פרדוקס בנך-טרסקי.

רגע, רגע, איך זה מסיים את זה? בנך-טרסקי, כזכור, מתואר בדרך כלל עבור כדור, לא עבור ספירה, שהיא רק המעטפת של הכדור. אז כאן יש עוד שני טריקים קטנים שצריך לבצע. בתור התחלה, שימו לב לכך שההוכחה של בנך-טרסקי עבור ספירה לא השתמשה בשום מקום בכך שהספירה היא מרדיוס 1; ההוכחה עובדת עבור ספירה מכל רדיוס, והאיזומטריות שבהן משתמשים בפירוקים הפרדוקסליים של הספירות הן בדיוק אותן איזומטריות. כעת, שימו לב שאפשר לחשוב על כדור כעל אוסף של אינסוף ספירות – כדור היחידה, למשל, הוא איחוד כל הספירות מרדיוס קטן או שווה מ-1, ועוד הנקודה שבראשית הצירים. נסמן את הכדור ב-\(B\), אז פורמלית ניתן לומר כי \(B\backslash\left\{ 0\right\} =\bigcup_{r\le1}S^{2}\left(r\right)\), כאשר \(S^{2}\left(r\right)\) היא הספירה מרדיוס \(r\).

אם כן, \(B\backslash\left\{ 0\right\} \) היא קבוצה פרדוקסלית – כדי לקבל את הפירוק הפרדוקסלי שלה, פשוט ניקח את איחוד הפירוקים הפרדוקסליים של כל הספירות שמרכיבות אותה. זה כמעט מסיים את ההוכחה, רק שעדיין יש לנו את נקודת האמצע החסרה הזו. האם אתם יכולים לנחש באיזה טריק נשתמש כדי להיפטר ממנה? בדיוק באותו טריק שבו השתמשנו קודם כדי להיפטר מה-\(D\) שהציקה לנו. כאן ראשית הצירים היא האורח החדש במלון של הילברט, ו-\(B\) הוא המלון עצמו. פורמלית, ניקח איזומטריה \(g\) שהיא סיבוב בזווית אי רציונלית ביחס לאיזה שהוא ישר המפספס את ראשית הצירים. העובדה שהזווית היא אי רציונלית גורמת לכך ש-\(g\) תהיה מסדר אינסופי, כלומר \(g^{n}\left(x\right)\ne g^{m}\left(x\right)\) לכל \(n\ne m\). נגדיר \(D=\left\{ 0\right\} \) ו-\(\overline{D}=\left\{ g^{n}\left(0\right)|n\ge0\right\} \) וההוכחה שהראינו למעלה תעבוד שוב ותראה ש-\(B\backslash\left\{ 0\right\} \sim B\). סיימנו את בנך-טרסקי.

מה שלא הוכחתי הוא את הגרסה הפופולרית של בנך-טרסקי: "ניתן לפרק את כדור היחידה לחמישה חלקים, ו…". אם תעקבו אחרי ההוכחה שלי בפירוט, השימושים התכופים שלי בכך ששתי קבוצות הן חופפות מאלצות אותי להשתמש ביותר חלקים. ניתן לצמצם את המספר לחמש באמצעות תעלולים טכניים, אבל אני מעדיף בהרבה את ההוכחה ה"נקייה" שנתתי, גם אם מספר החלקים בפירוק (שהוא עדיין סופי) איננו עגול ויפה כמו 5. לכן אעצור כאן.

לסיום, אני רוצה לסכם את ההוכחה, כדי שנבין בדיוק את כל השלבים שמובילים לפרדוקס.

1. הראינו שהחבורה החופשית עם שני יוצרים היא פרדוקסלית. הפרדוקסליות של החבורה הזו היא הבסיס לפירוקים פרדוקסליים רבים, לא רק זה של בנך-טרסקי.
2. הראינו (או יותר נכון, נפנפתי בידיים בנקודה הזו) שחבורת האיזומטריות של המרחב מכילה תת-חבורה חופשית עם שני יוצרים.
3. הראינו שיש קבוצה \(D\) כך ש-\(S^{2}\backslash D\) היא בעלת התכונה שאותה תת-חבורה חופשית של איזומטריות אינה כוללת נקודות שבת ב-\(S^{2}\backslash D\) (פשוט העפנו אותן – זה היה \(D\)).
4. הראינו משפט כללי יותר, שאם חבורה פרדוקסלית פועלת על קבוצה ואין לפעולה נקודות שבת, אז גם הקבוצה פרדוקסלית. מכאן הסקנו ש-\(S^{2}\backslash D\) פרדוקסלית.
5. הראינו ש-\(S^{2}\backslash D\sim S^{2}\) ולכן גם \(S^{2}\) פרדוקסלית.
6. הראינו ש-\(B\backslash\left\{ 0\right\} \) פרדוקסלית כי ניתן להציג אותה כאיחוד של \(S^{2}\)-ים מרדיוסים שונים.
7. הראינו ש-\(B\backslash\left\{ 0\right\} \sim B\) ולכן גם \(B\) פרדוקסלית.

בשלב 4, בהוכחת המשפט הכללי השתמשנו השתמש באקסיומת הבחירה (זה השלב היחיד בהוכחה שבו אנו נזקקים לו), וזאת כדי לבחור נציגים למסלולים של הפעולה של החבורה על הקבוצה. אותם נציגים הם ה"גרעין" שממנו נבנות החתיכות בפירוק הפרדוקסלי; כלומר, אקסיומת הבחירה נדרשה בדיוק בשביל השלב שבו אנחנו מפרקים את הספירה לחתיכות – אפשר, אינטואיטיבית, לחשוב על זה כאילו החתיכות הללו כל כך מוזרות ומעוותות, שהבניה שלהן היא בהכרח לא קונסטרוקטיבית. אפשר לחשוב כך, אבל כאמור – זו דרך חשיבה מסוכנת, כי הראיתי פרדוקס דמוי בנך-טרסקי שבו כן יש לנו בניה קונסטרוקטיבית.

אם כן, לסיום, איך אני מסביר את המוזרות של בנך-טרסקי? איך ייתכן שאנחנו מכפילים כך את המסה של כדור? התשובה המיידית היא שהחתיכות בפירוק הן לא בעלות מסה מוגדרת (הן חסרות מידה, במובן המתמטי של המילה "מידה"), ולכן לא מפתיע שאחרי שמרכיבים אותן מחדש קורים דברים מוזרים; עם זאת, אני חייב להודות שלי הפרדוקס כבר לא נראה לא כל כך פרדוקסלי, וגם לא כל כך מוזר. ככה זה כשמתגוררים יותר מדי זמן במלון של הילברט.

פרדוקס בנך-טרסקי הוא אולי הדרך הטובה ביותר להמחיש להדיוטות כמה מוזרה המתמטיקה. בפשטות, הפרדוקס אומר את הדבר הבא: ניתן לקחת כדור, לחתוך אותו ל-5 חתיכות, להזיז אותן טיפה (ולסובב, ולשקף וכאלה) ולבנות מהן שני כדורים באותו הנפח של הכדור המקורי.

רגע, מה?

ברוכים הבאים למתמטיקה, העולם שבו קורים דברים מוזרים. מן הסתם אחרי תיאור הפרדוקס צריכה לבוא הסתייגות כלשהי שבאה להסביר למה זה לא יכול לקרות "בעולם האמיתי", ולרוב נשלפת בשלב הזה החשודה המיידית – אקסיומת הבחירה הידועה לשמצה. מהי אקסיומת הבחירה? אסביר זאת בהמשך (וגם הסברתי זאת בעבר), אבל לדעתי האישית התפקיד שהיא ממלאת בכל העניין הזה הוא שולי יחסית והיא אינה הגורם המרכזי לפרדוקסליות. ה"פרדוקסליות" של הפרדוקס איננה כה מפתיעה כפי שהיא נדמית ממבט ראשון, וכפי שאמרתי – היא צצה ועולה במתמטיקה כל הזמן. מה שמוזר בבנך-טרסקי הוא לא הקונספט של "לקחת אובייקט ולשכפל אותו", אלא העובדה שאותו אובייקט הוא כדור ושהשכפול מתבצע על ידי חיתוך למספר סופי של פלחים וביצוע הזזות וסיבובים וכדומה. כלומר, השכפול נדמה "פשוט" מדי – וכמובן שיש לזה מחיר, והמחיר הוא שאותם חמישה פלחים הם די מסובכים (וכאן אקסיומת הבחירה נכנסת לעניין).

בואו נתחיל בקטן. איפה במתמטיקה אפשר למצוא שכפול דומה לבנך-טרסקי שלא יהיה לנו כה מוזר? המספרים הטבעיים, \(\mathbb{N}\), הם דוגמה יפה. הבה נפצל את \(\mathbb{N}\) לשתי קבוצות – קבוצת הזוגיים, שאסמן ב-\(\left\{ 2,4,6,\dots\right\} \), וקבוצת האי זוגיים, שאותה אסמן ב-\(\left\{ 1,3,5,\dots\right\} \). עכשיו בואו נתעלל בהן באופן הבא: כל איבר בקבוצת הזוגיים נחלק ב-2, ולכל איבר בקבוצת האי זוגיים נחבר 1 ואז נחלק ב-2. בשני המקרים נקבל את הקבוצה \(\left\{ 1,2,3,4,\dots\right\} \), שהיא פשוט \(\mathbb{N}\) עצמה. אז מה קרה פה? לקחנו את \(\mathbb{N}\), פירקנו אותה לשתי קבוצות זרות, הפעלנו על כל קבוצה מניפולציות כלשהן שלא מוסיפות איברים חדשים לקבוצה, וקיבלנו שני עותקים של \(\mathbb{N}\). בצורה ציורית אפשר לתאר את העסק כך: \(\mathbb{N}=A\uplus B\) (הסימון הזה בא לציין איחוד זר – זה אומר ש-\(\mathbb{N}\) מורכב בדיוק משתי הקבוצות \(A,B\) ושאין להן איברים משותפים), וכמו כן \(\mathbb{N}=\frac{A}{2}\) ו-\(\mathbb{N}=\frac{B-1}{2}\) (זה לא סימון סטנדרטי אבל אתם מבינים את הכוונה).

למי מכם שזה מוזר להם – ברכותי, ברוכים הבאים למתמטיקה, לכו וקראו את הפוסט על המלון של הילברט ואז באמת יהיה לכם מוזר. אבל לכל היתר, שכבר רגילים לעסק הזה, יש לי שאלה קטנה – מה ההבדל המהותי בין זה ובין בנך-טרסקי? אני מודה שהבדל מהותי אני לא רואה. בכל זאת, הבדל משמעותי אחד הוא שבנך-טרסקי הוא פרדוקס גאומטרי – הוא מתעסק ביצור גאומטרי פשוט, כדור, ובפעולות שלכאורה משמרות את הנפח של הכדור ולכן לא יכולות לגרום להכפלה שלו. אבל מה המשותף לבנך-טרסקי ולמה שהראיתי כרגע? מה בעצם ההגדרה הכללית?

ובכן, נאמר שקבוצה \(X\) היא פרדוקסלית (ביחס לסט פעולות מסויים) אם אפשר לפרק את \(X\) לחלקים – \(A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\) ו-\(B_{1},B_{2},\dots,B_{m}\), כך שכל החלקים זרים – אין לאף חלק איברים משותפים עם איברים אחרים – ואפשר להפעיל פעולות מסויימות (מתוך הסט המדובר) על כל אחת מסדרות החלקים בנפרד, כך שה-\(A_{i}\)-ים, לאחר שביצענו עליהם את הפעולות, יתנו לנו את \(X\) המקורית, וכך גם ה-\(B_{i}\)-ים. הדרישה שכל החלקים יהיו זרים היא קריטית, כמובן, אחרת היינו בוחרים \(A=B=X\), ואז מה עשינו? אין שום דבר מפתיע בשכפול שכל מה שעושים בו הוא לספור את אותו הדבר פעמיים.

למי שהדוגמה של הטבעיים לא עשתה עליו רושם, בואו נעבור לדבר על משהו הרבה יותר מהותי שגם בו צצה פרדוקסליות דומה: חבורות. בניגוד לדוגמת הצעצוע הקודמת, הדוגמה הנוכחית היא חשובה ביותר, כי על בסיס מה שקורה בה נבנה גם פרדוקס בנך-טרסקי עצמו.

לא אחזור כאן על ההגדרה של חבורה, אלא אתאר מייד את החבורה שמעניינת אותנו – החבורה החופשית עם שני יוצרים \(a,b\). זו קבוצה שכל איבר בה הוא סדרה של תווים מבין ארבעת הבאים: \(\left\{ a,b,a^{-1},b^{-1}\right\} \). הכלל הוא ש-\(a\) ו-\(a^{-1}\) "מצמצמים" זה את זה – אם שניהם נכתבים בסמיכות הם נמחקים מהמילה. כנ"ל לגבי \(b,b^{-1}\). כלומר, \(aba^{-1}b^{-1}\) זו מילה חוקית בחבורה, אבל המילה \(abb^{-1}a\) היא בעצם דרך מסורבלת לכתוב את \(aa\). בנוסף, יש מילה בת 0 תווים – המילה הריקה – שאסמן ב-\(e\). אם יש לנו שתי מילים אפשר לשרשר אותן: למשל, השרשור של \(aa\) ושל \(bbb\) הוא \(aabbb\), והשרשור של \(ab\) ו-\(b^{-1}a\) הוא \(abb^{-1}a\), כלומר \(aa\).

יש הצגה גרפית יפה לחבורה הזו:

אפשר לחשוב על החבורה הזו כעל "פתית שלג" שמחולק לארבע ענפים עיקריים – הענף של המילים שמתחילות ב-\(a\), אלו שמתחילות ב-\(b\), אלו שמתחילות ב-\(a^{-1}\) ואלו שמתחילות ב-\(b^{-1}\). באמצע יש את האיבר הגלמוד \(e\). בואו נסמן את החבורה כולה ב-\(F\) (מלשון Free), ואת קבוצת "האיברים שמתחילים ב-\(a\)" ב-\(F\left(a\right)\) (ובדומה, \(F\left(b\right)\), \(F\left(a^{-1}\right)\) ו-\(F\left(b^{-1}\right)\)). עכשיו מגיע הקסם: מהי \(a\cdot F\left(a^{-1}\right)\), כלומר הקבוצה שמתקבלת כאשר לוקחים את \(F\left(a^{-1}\right)\) וכופלים את כל האיברים שבה מצד שמאל ב-\(a\) (דהיינו, משרשרים את \(a\) משמאל להם)? לא קשה להשתכנע שזו קבוצת כל האיברים ב-\(F\) שאינם מתחילים ב-\(a\), כי מה שקורה הוא שה-\(a\) שכפלנו בו משמאל מבטל את ה-\(a^{-1}\) שבו התחילה המילה; ואם המילה התחילה ב-\(a^{-1}\) אז האות הבאה יכולה להיות כל אות למעט \(a\) (אחרת שתי האותיות הראשונות היו מבטלות זו את זו). המסקנה היא ש-\(F=F\left(a\right)\cup aF\left(a^{-1}\right)\). באותו אופן, \(F=F\left(b\right)\cup bF\left(b^{-1}\right)\). מה קרה כאן? לקחנו את \(F\), ופירקנו אותה לחמישה חלקים: \(F=F\left(a\right)\cup F\left(b\right)\cup F\left(a^{-1}\right)\cup F\left(b^{-1}\right)\cup\left\{ e\right\} \). זו חלוקה לקבוצות זרות, כמובן. את החלק של \(\left\{ e\right\} \) הגלמוד זרקנו לפח. את היתר חילקנו לשני זוגות. עכשיו עשינו להטוט כלשהו עם כל אחד מהזוגות – לקחנו קבוצה אחת, הפעלנו עליה מניפולציה כלשהי (כפל ב-\(a\) או כפל ב-\(b\)), איחדנו עם הקבוצה השניה וקיבלנו מחדש את \(F\) המקורית.

למה בעצם זה כל כך חשוב? ובכן, חבורות הן לא סתם אובייקטים שלא קשורים לכלום. לעתים קרובות מאוד, ובפרט בדיון הנוכחי, חבורות צצות כאובייקט שפועל על אובייקטים מתמטיים אחרים. אנחנו מזהים אוסף של פעולות שמבצעים על אובייקט, ואז שמים לב לכך שלאותו אוסף יש מבנה של חבורה – אפשר "להכפיל" שני איברים ממנו בצורה בעלת משמעות (לרוב על ידי הרכבה של הפעולות – הפעלה של אחת מהן ולאחר מכן השניה). הרעיון המרכזי הוא שאם יש לנו חבורה שהיא עצמה פרדוקסלית ופועלת על אובייקט מסויים, אז ייתכן שניתן יהיה "להרים" את הפרדוקסליות של החבורה אל פרדוקסליות של האובייקט שעליו היא פועלת (אך צריך להניח עוד דבר או שניים – ארחיב על כך בהמשך).

במקרה של בנך טרסקי, החבורה הרלוונטית היא חבורת האיזומטריות של המרחב. איזומטריה היא העתקה ששומרת על מרחקים; איזומטריה שמופעלת על קבוצה משמרת את "המבנה הפנימי" של הקבוצה. איזומטריה היא בדיוק מה שדיברתי עליו קודם כשדיברתי על "הזזות, סיבובים, שיקופים". כדי להבהיר איך העסק רלוונטי אלינו אתחיל בתיאור של פרדוקס דומה לבנך-טרסקי: פרדוקס סירפינקי-מזורקביץ'. ההבדלים העיקריים בינו ובין בנך-טרסקי: הוא מתרחש במישור, לא במרחב; הוא לא מתבסס על החבורה החופשית עם שני יוצרים אלא על משהו פשוט טיפה יותר; הקבוצה שבה הוא מתעלל היא לא יפה כמו כדור; והוא לא דורש את אקסיומת הבחירה. למעשה, הפירוק הפרדוקסלי שהוא מציג הוא קונסטרוקטיבי למדי. בנוסף, הפרדוקס הזה קודם היסטורית לבנך-טרסקי.

הפרדוקס מתעסק בקבוצה במישור, \(\mathbb{R}^{2}\), ולכן החבורה שמעורבת בסיפור, שאסמן ב-\(G\), היא חבורת האיזומטריות של המישור. עוד מעט אראה איך אפשר למצוא שני איברים \(\tau,\rho\in G\) שמקיימים את התכונה הבאה: קיים \(x\in\mathbb{R}^{2}\) (למעשה, הוא יהיה \(\left(0,0\right)\)) כך שכל שתי מילים ב-\(\tau,\rho\) (כלומר, מילים שמכילות רק את שני הסימנים הללו; לא את \(\tau^{-1}\) ו-\(\rho^{-1}\)) שהאחת מתחילה ב-\(\tau\) והשניה מתחילה ב-\(\rho\) מעבירות את \(x\) לאיברים שונים כשהן מופעלות עליו. במילים אחרות, אם יש סדרת פעולות של \(\tau\) ו-\(\rho\) שמפעילים על \(x\), אז סדרה שמסתיימת ב-\(\tau\) תניב פעולה שונה בהכרח מסדרה שמסתיימת ב-\(\rho\) (כשמפעילים מילה כלשהי על \(x\), קודם כל פועל על \(x\) מה שנמצא בסוף המילה; אלו עניינים טכניים-הגדרתיים לא קריטיים).

אם נמצא שני איברים שכאלו, כמעט מייד אפשר למצוא תת-קבוצה פרדוקסלית של \(\mathbb{R}^{2}\). בואו נסמן ב-\(E\) את אוסף כל האיברים ב-\(\mathbb{R}^{2}\) שמגיעים אליהם באמצעות כפל במילה שמורכבת מ-\(\tau\) ו-\(\rho\). עכשיו, ממה שאמרתי קודם נובע שלכל שתי מילים שכאלו \(w_{1},w_{2}\), מתקיים ש-\(\tau w_{1}\left(x\right)\ne\rho w_{2}\left(x\right)\). מכאן שהקבוצות \(\tau\left(E\right)\) ו-\(\rho\left(E\right)\) הן זרות. למה? ובכן, איך נראה איבר בקבוצה \(\tau\left(E\right)\)? הוא נראה כמו הפעלה של \(\tau\) על איבר מ-\(E\). ואיך נראה איבר ב-\(E\)? הוא נראה כמו הפעלה של מילה \(w\) כלשהי על \(x\), כלומר מה שסימנו ב-\(w\left(x\right)\). מכאן שהאיבר נראה בסך הכל כמו \(\tau\left(w\left(x\right)\right)\), אבל פעולת הכפל בחבורה שלנו היא בדיוק הרכבת האיזומטריות, כלומר \(\tau\left(w\left(x\right)\right)=\tau w\left(x\right)\).

אם כן, פירקנו את \(E\) לשתי קבוצות זרות, \(\rho\left(E\right)\) ו-\(\tau\left(E\right)\) (\(x\) המסכן נותר בחוץ). עכשיו כל מה שנותר לשים לב אליו הוא ש-\(\tau^{-1}\left(\tau\left(E\right)\right)=E\) וגם \(\rho^{-1}\left(\rho\left(E\right)\right)=E\). כלומר, אפשר לקחת את \(E\), לפרק אותו לשתי תת-קבוצות זרות, להפעיל על כל אחת מהן איזומטריה ולקבל את \(E\) המקורית. אז למה על בנך-טרסקי כולם מדברים ועל הפרדוקס הזה לא?

ובכן, \(E\) היא קבוצה "לא מעניינת" – לא ברור איך היא נראית והיא בוודאי לא משהו פשוט כמו כדור והיא מכילה רק מספר בן מניה של נקודות. התחמנות שלנו בפרדוקס הזה יותר מדי גלויה לעין, ו-\(E\) היא יותר מדי מלאכותית מכדי שיהיה לפרדוקס עוקץ של ממש במקרה הזה. אם לתת נימוק קצת יותר מתמטי, המידה של \(E\) היא אפס (מה זו מידה אפס? דיברתי על זה קצת כאן) כי היא בת מניה; אז זה שהצלחנו לשכפל את \(E\) לא נראה בעייתי כי בסך הכל הראינו ש-\(2\cdot0=0\). אם נעשה את אותו הדבר לקבוצה בעלת מידה גדולה מאפס, אז זה יתחיל להיות מוזר. אלא שלרוע המזל זה בלתי אפשרי במישור – ניתן להוכיח שכל קבוצה ב-\(\mathbb{R}^{2}\) בעלת פנים לא ריק (כלומר, שקיימת נקודה בקבוצה ש"מוכלת עמוק בתוכה" – יש לה סביבה שכולה בתוך הקבוצה) אינה יכולה להיות פרדוקסלית.

טוב, בואו נחזור אל הוכחת הפרדוקס. מה שנשאר לי לעשות הוא לתאר שתי איזומטריות של המישור \(\tau,\rho\) כך ש-\(\tau w_{1}\left(0\right)\ne\rho w_{2}\left(0\right)\) לכל \(w_{1},w_{2}\). כאן צריך לגלוש, מה לעשות, לגאומטריה ולדברים טכניים, ולכן שמרתי את זה לסוף. עם זאת, אל תוותרו כל כך מהר! ההוכחה גם נחמדה, גם מכילה רעיונות מעניינים, והיא גם קונסטרוקטיבית לגמרי.

דרך מאוד נוחה מבחינה טכנית לדבר על \(\mathbb{R}^{2}\) וטרנספורמציות עליו היא באמצעות המספרים המרוכבים, \(\mathbb{C}\). המספר המרוכב \(a+bi\) מתאים לקוארדינטה \(\left(a,b\right)\), והיתרון שבדיבור על מרוכבים הוא שקל לתאר איזומטריות באמצעות פעולות אריתמטיות במרוכבים. בואו נבחר מספר מרוכב \(u\) שנמצא על מעגל היחידה, ולכן התיאור שלו בהצגה הקוטבית של המרוכבים הוא \(u=e^{i\theta}\) עבור זווית \(\theta\) לבחירתנו. נבחר את \(\theta\) כך ש-\(u\) יהיה מספר טרנסנדנטלי, כלומר לא יהיה אף פולינום במקדמים רציונליים שמאפס אותו (אפשר להראות שקיים כזה משיקולי ספירה; יש מספר לא בר מניה של \(\theta\)-ות שאפשר לבחור אבל רק מספר בן מניה של מספרים אלגבריים). עכשיו בואו נגדיר \(\tau\left(z\right)=z+1\) – זוהי איזומטריה של הזזה – ו-\(\rho\left(z\right)=uz\) – זוהי איזומטריה של סיבוב.

בואו ניקח שתי מילים \(w_{1},w_{2}\) כך ש-\(w_{1}\) מתחילה ב-\(\tau\) ו-\(w_{2}\) מתחילה ב-\(\rho\). את \(w_{1}\) אפשר לכתוב באופן המבהיל הבא: \(w_{1}=\tau^{a_{1}}\rho^{a_{2}}\tau^{a_{3}}\rho^{a_{4}}\dots\tau^{a_{t}}\) – זוהי פשוט מילה ב-\(\tau,\rho\) וה-\(a_{1},a_{2},\dots\) מציינים כמה \(\tau\)-ים רצופים יש בהתחלה, ואז כמה \(\rho\) רצופים יש עד ה-\(\tau\) הבא וכן הלאה. שימו לב שאני מניח כאן באופן מובלע שהמילה גם נגמרת ב-\(\tau\). זאת מכיוון שסוף המילה הוא גם הפעולה הראשונה שמופעלת כשמפעילים את המילה על איבר כלשהו, והאיבר שעליו אנחנו הולכים לפעול כאן הוא \(0\), ו-\(\rho\left(0\right)=0\) ולכן מופעים של \(\rho\) בסוף המילה יהיו מיותרים.

אז איך נראה \(w_{1}\left(0\right)\)? ובכן, תעשו את החשבון… תקבלו ש-\(w_{1}\left(0\right)=a_{1}+a_{3}u^{a_{2}}+a_{5}u^{a_{2}+a_{4}}+\dots+a_{t}u^{a_{2}+a_{4}+\dots+a_{t-1}}\). לא יפה, אבל לא נורא (מי שבאמת בוער לו להוכיח את זה – קדימה, באינדוקציה).

מה שמעניין ביצור הזה הוא שבסופו של דבר, הוא פולינום ב-\(u\). באותו אופן מראים גם ש-\(w_{2}\left(0\right)\) הוא פולינום ב-\(u\), אבל כזה שהמקדם החופשי שלו הוא אפס, כי הפעולה האחרונה ש-\(w_{2}\) מבצע היא \(\rho\), שמתוארת על ידי כפל ב-\(u\). זה מבדיל את הפולינום הזה מ-\(w_{1}\left(0\right)\) שהמקדם החופשי שלו הוא בהכרח לא אפס (כי \(a_{1}\ne0\); אחרת \(w_{1}\) הייתה מתחילה ב-\(\rho\)). לכן \(w_{1}\left(0\right)-w_{2}\left(0\right)\) הוא פולינום במקדמים שלמים ב-\(u\) שאינו פולינום האפס, ולכן הוא אינו יכול להיות שווה אפס, כי בחרנו את \(u\) להיות טרנסנדנטי. לכן \(w_{1}\left(0\right)\ne w_{2}\left(0\right)\), כפי שרצינו.

איפה אקסיומת הבחירה פה? בשום מקום. האיזומטריות \(\tau,\rho\) הוצגו באופן מפורש, ולכן גם \(E\) נתונה באופן מפורש: היא אוסף הפולינומים ב-\(u\) עם מקדמים טבעיים (למה לא שליליים? נסו להבהיר זאת לעצמכם), והחלוקה של \(E\) גם היא מפורשת – מפרידים לפולינומים עם מקדם חופשי 0, ועם מקדם חופשי שונה מאפס. בנימה האופטימית הזו סיימנו עם סירפינקי-מזורקביץ'. בפוסט הבא אציג פרדוקס אחר, פרדוקס האוסדורף, או בשמו היותר מדויק – פרדוקס כמעט-בנך-טרסקי. הרעיונות המרכזיים של בנך-טרסקי נמצאים כבר בו ומה שהולך שם מעניין לטעמי יותר מהתיקון שיידרש אחר כך כדי להפוך את האוסדורף לבנך-טרסקי של ממש.