משוואת פל

אני רוצה לדבר הפעם על משוואת פל ואיך פותרים אותה. ממבט ראשון, משוואת פל היא בסך הכל איזו משוואה מוזרה שלא ברור מה טוב בה ומה מעניין בה ומה יפה בה, אבל אחרי שמתעמקים בה קצת ורואים דוגמאות, היופי שבעניין … להמשיך לקרוא

האלגוריתם האוקלידי וחוגים אוקלידיים

האלגוריתם האוקלידי הוא אחד מאותם דברים שכל מי שמתעניין ולו קצת במתמטיקה צריך לדעת. הוא גם אחת מהדוגמאות העתיקות ביותר לאלגוריתם לא טריוויאלי, גם אחד מאבני היסוד של תורת המספרים האלגוריתמית, וגם רעיון בסיסי בעל הכללות חשובות בתורת החוגים. למרות … להמשיך לקרוא

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק ד' – השיבה אל חוג השלמים

בפוסט הקודם הוכחתי שבכל חוג דדקינד קיים פירוק יחיד ברמת האידאלים. זה התקשר למה שדיברתי עליו קודם לכן בכך שכל חוג שלמים $latex \mathcal{O}_{K}$ של שדה מספרים $latex K$ הוא חוג דדקינד – טענה שטרם הוכחתי. בפוסט הזה אני רוצה … להמשיך לקרוא

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק ג' – שובו של הפירוק היחיד

בפוסט הקודם הצגתי את הפתרון של דדקינד (שהלך בעקבות קומר) לבעיה של אי-פריקות יחידה בחוגי שלמים. הרעיון היה לעבור מדיבור על אברי החוג לדיבור על אידאלים של החוג – כשאידאל הייתה קבוצה של אברי החוג שסגורה לחיבור ו"בולעת" כפל באיבר … להמשיך לקרוא

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק ב' – מתקפת האידאלים

בפוסט הקודם על תורת המספרים האלגברית תיארתי את "שדה המשחק" שלנו – שדה מספרים $latex K$ (הרחבה אלגברית סופית של $latex \mathbb{Q}$) וחוג השלמים שלו $latex \mathcal{O}_{K}$ (אוסף השלמים האלגבריים ב-$latex K$ – מספרים שמאפסים פולינום מתוקן במקדמים שלמים). חוגי … להמשיך לקרוא

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק א' – מה זה חוג שלמים?

בפוסט הקודם על המשפט האחרון של פרמה הזכרתי קצת את התרומה של קומר; קומר הוכיח את המשפט עבור מחלקה גדולה למדי של מקרים (פורמלית, עבור ראשוניים שמקיימים תכונה מסויימת; לא ידוע אם יש אינסוף ראשוניים שמקיימים אותה אך מאמינים שיותר … להמשיך לקרוא

אז מה הקטע עם המשפט האחרון של פרמה?

אחד מהנושאים שעד היום לא נגעתי בהם כמעט כלל בבלוג הוא המשפט האחרון של פרמה – כנראה התוצאה המתמטית המפורסמת ביותר. הבעיה העיקרית שבכתיבה עליה היא כפולה – ראשית, סיימון סינג כבר כתב עליה ספר מפורט ("המשפט האחרון של פרמה"); … להמשיך לקרוא