מספרי ברנולי – ההוכחות

בפוסט הקודם הצגתי כמה תוצאות יפות שקשורות למספרי ברנולי, אבל לא הוכחתי כלום. הפעם אני רוצה לדבר על החלק המעניין – איך מוכיחים את מקצת הדברים הללו. המטרה שלי כאן היא כפולה – לא רק להראות לכם איך מוכיחים תוצאות … להמשיך לקרוא

מספרי ברנולי

זה לא מכבר הזכרתי את חוק המספרים הגדולים של יעקב ברנולי. הפעם אני רוצה לדבר על מושג נוסף שברנולי אחראי לגילויו – מספרי ברנולי. אנסה ללכת בפוסט מהקל אל הכבד – אתחיל בלהסביר מה זה ולתת תוצאות לא מנומקות, ואחר … להמשיך לקרוא

ההסתברות של מספרים זרים ואיך פאי נכנס לתמונה

באחת מהתגובות בבלוג שאלו אותי שאלה פשוטה – נניח שאנחנו מגרילים באקראי שני מספרים טבעיים, מה ההסתברות שהם יהיו זרים, כלומר שלא יהיה מספר טבעי גדול מ-1 שמחלק את שניהם גם יחד? התשובה היא $latex \frac{6}{\pi^{2}}$, מה שנראה מוזר מאוד … להמשיך לקרוא

אז מהי השערת רימן?

בנובמבר 1859, לפני קצת יותר ממאה וחמישים שנים, פרסם המתמטיקאי ברנרד רימן מאמר קצרצר, עשרה עמודים אורכו (או שמונה, תלוי את מי שואלים), שפחות או יותר בישר את לידת תורת המספרים האנליטית והכיל בתוכו, כמעט בדרך אגב, את מה שהפכה … להמשיך לקרוא

משפט דיריכילה על סדרות חשבוניות

פרט להיותו מעניין (ואפילו שימושי) לכשעצמו, משפט דיריכלה יכול להיחשב לתוצאה המשמעותית הראשונה של תורת המספרים האנליטית – אולי אפילו לתוצאה שפתחה את התחום והראתה שאפשר להוכיח דברים לא טריוויאליים, שהניסוח שלהם הוא אלגברי למהדרין, בעזרת שיטות אנליטיות, וזאת כשלא … להמשיך לקרוא

הוכחת אוילר לקיום אינסוף ראשוניים

אני עוזב לבינתיים את העיסוק במשפטי גדל על מנת לקרוא עוד כמה ספרים בנושא, ולכן כתחליף החלטתי להציג נושא שונה לגמרי – תורת המספרים האנליטית. הרעיון הבסיסי של תורת המספרים הוא חקר תכונותיהם של המספרים הטבעיים; ה"אנליטית" עוסק בשיטות שמשתמשים … להמשיך לקרוא