כשהייתי קטן תהיתי (יש מישהו שלא תהה על זה?) מה הדרך האופטימלית לזרוק כדור כך שהוא יפול במרחק הגדול ביותר האפשרי ממני. ברור שצריך לזרוק בשיא הכוח שלך, אבל באיזו זווית ביחס לאדמה? אם זורקים יותר מדי לגובה, הכדור אמנם יתעופף לגובה אבל לא יתרחק ממני כמעט; ואם זורקים יותר מדי לאורך הכדור אמנם יבלה את חלק הארי של התנועה שלו בהתרחקות ממני אבל ייפול לאדמה חיש קל. הניחוש היה שהפשרה הטבעית בין קדימה ולמעלה, כלומר זווית של 45 מעלות, היא האופטימלית – אבל איך אפשר להשתכנע בכך שזה נכון? כאן נכנסת המתמטיקה לעזרתנו, ובפרט החשבון הדיפרנציאלי.

השלב הראשון הוא לבנות מודל מתמטי שמתאר את התנועה. כלומר, פונקציה שאומרת לי איפה נמצא הכדור בכל שניה החל מרגע הזריקה. פונקציה כזו תהיה תלויה בפרמטרים: גודל הכוח שהשקעתי בזריקה, והזווית שבה זרקתי. בנוסף לכך, הפונקציה קצת מחוכמת – גם הגובה וגם המרחק של הכדור משתנים בכל עת, כך שבפועל אני צריך שתי פונקציות שונות; ואני צריך "לעצור" את המודל ברגע שבו הפונקציה שמתארת את הגובה מקבלת את הערך 0, ולמדוד כמה מרחק הכדור עבר עד אז. בנייה של מודלים כאלו, לטעמי, היא ממש כיף. אין חוקים – אף אחד לא אומר לך מה לעשות, או באיזה אלגוריתם להשתמש; אתה פשוט מגשש ומנסה להמציא דברים בעצמך כדי לתאר את הסיטואציה באופן הטוב ביותר האפשרי. לכן אני ממליץ לכם לנסות ולפתור את הבעיה בעצמכם ואז לחזור ושנשווה תשובות.

טוב, אז מה אני עושה? ראשית, צריך להבין אילו כוחות משפיעים על הכדור במהלך התנועה שלו. יש את הכוח שלי שבא לידי ביטוי בזריקה עצמה, אבל זה לא כוח שפועל לאורך זמן – בשנייה 0, שבה המודל יתחיל, הזריקה כבר בוצעה ואין צורך להכניס אותה באופן ישיר למודל. היא תיכנס באופן עקיף באמצעות המהירות ההתחלתית של הכדור. הכוח היחיד שפועל על הכדור במהלך התנועה שלו, והוא מה שגורם לו ליפול בסופו של דבר, הוא כוח המשיכה. גם לכוח המשיכה אין צורך להתייחס באופן ישיר במודל – כל שצריך להניח הוא שכוח המשיכה גורם לכדור לתאוצה (שינוי במהירות) קבועה כלפי מטה. פיזיקלית, ההנחה הזו אינה נכונה – ככל שהכדור גבוה יותר, כך תאוצת הכובד שלו קטנה יותר – אבל בפועל היא מתארת את הסיטואציה מספיק טוב לצרכים שלי כי הכדור לא צפוי להגיע לגובה כזה שבו ההבדלים יהיו מורגשים (אבל, ישאלו המתמטיקאים שבחבורה, האין זה אומר ש-45 מעלות הן לא הדבר הנכון בהינתן התכונה הזו של כוח הכובד? ובכן, כן, אתם צודקים, הנה לכם תרגיל בונוס לבית).

הבה ונסמן ב-\(v_{0}\) את המהירות ההתחלתית של הכדור. מכיוון שהכדור נזרק בזווית כלשהי, שנסמן אותה ב-\(\theta\), המהירות הזו מתפרקת לשני רכיבים – אחד בציר \(x\) (אופקי) ואחד בציר \(y\) (אנכי). אופן הפירוק הזה ניתן לתיאור כמשולש ישר זווית שהיתר שלו הוא וקטור המהירות \(v_{0}\), והניצבים הם הרכיבים של \(v_{0}\) בצירי \(x,y\): נסמן אותם \(v_{0}^{x},v_{0}^{y}\) בהתאמה. הגודל שלהם נקבע על פי הגודל של \(v_{0}\) ו-\(\theta\) – זהו אחד מהשימושים הבסיסיים של הפונקציות הטריגונומטריות. מקבלים ש-\(v_{0}^{x}=v_{0}\cos\theta\) ו-\(v_{0}^{y}=v_{0}\sin\theta\).

בציר \(x\) אין תאוצה כלל במשך כל תנועת הכדור, ולכן המהירות של הכדור בציר \(x\) היא פונקציה קבועה שאינה תלויה בזמן \(t\): \(v^{x}\left(t\right)=v_{0}^{x}\). מהפונקציה הזו ניתן לקבל חיש קל את פונקצית המיקום בציר \(x\) ביחס לזמן: אנחנו יודעים שהמהירות היא נגזרת המיקום (זוכרים? מהירות הייתה הדוגמה ה"קלאסית" שלנו לנגזרת), ולכן אם נמצא פונקציה קדומה של \(v^{x}\left(t\right)\), מצאנו את פונקצית המיקום. פונקציה קדומה של קבוע קל למצוא: \(x\left(t\right)=t\cdot v_{0}^{x}\) היא דוגמה לפונקציה שכזו. אל תתנו לסימונים שלי לבלבל אתכם – המשתנה של הפונקציה הוא \(t\), ולפונקציה עצמה קוראים \(x\), כי היא מתארת את המיקום בציר \(x\). אלו סימונים שמאוד מבלבלים למי שרגיל כל היום לגזור פונקציות שנראות כמו \(f\left(x\right)\) אבל בדיוק בגלל זה חשוב לראות דרכי סימון אחרות – כך אפשר לראות שבאמת מבינים מה הולך בתרגיל ואת מה גוזרים ואיך ומה, ולא רק שפועלים אלגוריתמית ובכל פעם שרואים \(x\) איפה שהוא רצים לגזור אותו.

זוכרים שאמרנו שלכל פונקציה יש אינסוף פונקציות קדומות, שנבדלות זו מזו בקבוע? אז איך אנחנו יודעים ש-\(x\left(t\right)\) שהצעתי היא ה"נכונה" למודל שלי? התשובה היא שלא יודעים מייד, אלא צריכים להשתמש בתנאי התחלה. אני יודע שבזמן \(t=0\) אני עומד בראשית הצירים – למה? כי ככה נוח לי לסמן את ראשית הצירים, בתור המקום שבו אני עומד. לכן צריך להתקיים \(x\left(0\right)=0\), וזה אכן מה שקורה עבור הפונקציה שלי (אבל עבור כל פונקציה מהצורה \(t\cdot v_{0}^{x}+C\) עם \(C\ne0\) זה לא היה קורה, ולכן הבחירה ב-\(C=0\) הייתה בחירת הקבוע הנכונה). אם כן, \(x\left(t\right)=t\cdot v_{0}^{x}\) היא פונקציה שמתארת נכונה את מסלול הכדור שלי בציר \(x\) כל עוד הכדור לא פגע באדמה. עכשיו כבר מותר לגלות שמה שעשינו כשחיפשנו את \(x\left(t\right)\) היה לפתור משוואה דיפרנציאלית: הייתה נתונה לנו משוואה שמערבת נגזרת של פונקציה כלשהי, וממנה מצאנו את הפונקציה עצמה. כמובן שהמשוואה שלנו הייתה פשוטה מאוד, אבל זו התחלה.

השלב הבא הוא למצוא את \(y\left(t\right)\) – הפונקציה שמתארת את הגובה כפונקציה של הזמן. כאן הסיטואציה יותר מורכבת בגלל שהמהירות של הכדור משתנה עם הזמן, בגלל שפועל עליה כוח הכובד. גם כאן אנו עומדים לפתור משוואה דיפרנציאלית אבל מעט יותר מסובכת, ובהתאם נציג בצורה קצת יותר מדויקת את מה שאנחנו עושים. מה כבר ידוע לנו על הפונקציה \(y\left(t\right)\)? ידוע לנו תנאי ההתחלה \(y\left(0\right)=0\) (בחרתי לסמן את הגובה שלי בזמן 0 בתור 0; אם אני אשאל את אותה שאלה על זריקת כדור מבניין, למשל, אצטרך לבחור כאן תנאי התחלה שונה שיוביל לפתרון שונה). ידוע לנו גם כי \(y^{\prime}\left(0\right)=v_{0}^{y}\) – המהירות בזמן 0 היא בדיוק זו שנתתי לכדור בעצמי. בנוסף, ידוע לנו ש-\(y^{\prime\prime}\left(t\right)=-g\) כאשר \(g\) הוא קבוע תאוצת הכובד, והוא שלילי בגלל שהתאוצה מגדילה את מהירות הכדור בכיוון השלילי – "למטה". מכל פיסות המידע הללו צריך להרכיב את \(y\left(t\right)\) איכשהו.

השלב הראשון הוא זה: אם \(y^{\prime\prime}\left(t\right)=-g\) אז אחרי אינטגרציה מקבלים ש-\(y^{\prime}\left(t\right)=-gt+C\) עבור \(C\) כלשהו. כדי למצוא את \(C\), יש להשוות לאפס: \(v_{0}^{y}=y^{\prime}\left(0\right)=-g\cdot0+C=C\). כלומר, קיבלנו ש-\(C=v_{0}^{y}\) ולכן \(y^{\prime}\left(t\right)=-gt+v_{0}^{y}\). כעת צריך לבצע עוד אינטגרציה; איך עושים אינטגרציה לפונקציה שאינה קבוע? מכיוון שהפונקציה היא פולינום גם זה לא קשה במיוחד לביצוע ומקבלים \(y\left(t\right)=-g\frac{t^{2}}{2}+v_{0}^{y}t+C\) וכל שנותר הוא למצוא את ה-\(C\). השוואה ל-\(y\left(0\right)=0\) מראה לנו ש-\(C=0\) ולכן \(y\left(t\right)=-\frac{g}{2}t^{2}+v_{0}^{y}t\).

הגורם הריבועי בפונקציה \(y\left(t\right)\) הוא שגורם לכך שאם נצייר את מסלול התנועה של הכדור, הוא לא יהיה קו ישר אלא צורה שנקראת פרבולה. מכיוון שהסימן של המקדם של \(t^{2}\) הוא שלילי, זוהי פרבולה "בוכה", מה שמתאים לאופן האינטואיטיבי שבו אנו חושבים על מסלול תנועתו של כדור שנזרק. אני משער שלרובכם הרעיון הזה כבר טבעי עד שאתם לא שמים אליו לב בכלל, אבל לדעתי זה פשוט נפלא מה שהלך פה – על ידי חישוב מתמטי בלבד, במודל מופשט למדי, קיבלנו תיאור גרפי של האופן שבו הכדור צריך להתעופף. לא לקחנו את צורת התעופפות הכדור כאקסיומה או כגורם הבסיסי במודל; בתור גורמים בסיסיים לקחנו הנחות בסיסיות יותר (המרכזית – פעולת כוח הכובד) ומהן הסקנו את צורתו של מסלול הכדור. הכוח הנבואי הזה שנותנת לנו המתמטיקה הוא לדעתי דבר מרשים ביותר.

טוב, הבה ונמשיך. כעת אנו יודעים בדיוק איך מסלול תנועתו של הכדור נראה, והדבר הבא שאנו רוצים לדעת הוא מתי הכדור יפגע באדמה – עבור איזה \(t\) זה מתקיים. במילים אחרות, לפתור את המשוואה \(-\frac{g}{2}t^{2}+v_{0}^{y}t=0\). פתרון אחד הוא \(t=0\) אבל הוא מנוון ולא מעניין – אנחנו רוצים לדעת מתי הכדור נופל שוב לאדמה, לא מתי הוא היה בהתחלה בגובה אפס. אז אם אנחנו מניחים ש-\(t\ne0\) אפשר לחלק בו, להעביר אגפים ולקבל \(\frac{g}{2}t=v_{0}^{y}\), כלומר \(t=\frac{2v_{0}^{y}}{g}\). באופן לחלוטין בלתי מפתיע אנו רואים שככל שהמהירות ההתחלתית גבוהה יותר, כך הזמן גדול יותר, וככל שתאוצת הכובד גדולה יותר, כך הזמן קטן יותר. זה אולי נראה אידיוטי לציין זאת, אבל בחינה "איכותית" כזו של המשואוות שמקבלים היא דרך טובה לוודא שלא עשינו טעויות חישוב בדרך (כמובן, לפעמים צצות תוצאות מפתיעות ואז אנחנו שוברים את הראש בחיפוש אחר טעות שלא קיימת).

כעת, המרחק שהכדור עבר בציר \(x\) עד פגיעתו באדמה הוא בדיוק \(x\left(\frac{2v_{0}^{y}}{g}\right)=\frac{2v_{0}^{y}v_{0}^{x}}{g}\). משוואה סימטרית ויפה, ועכשיו סיימנו ואפשר… אה, רגע. מה בכלל רצינו לעשות, שוב?

המטרה שלנו, כזכור, הייתה למצוא את \(\theta\) האופטימלי עבור הזריקה, כלומר זה שעבורו המרחק בציר \(x\) שנעבור יהיה הגדול ביותר. עשינו המון חישובים וקיבלנו ביטוי שבו \(\theta\) בכלל לא מופיעה – איך כל זה עזר לנו בכלל?

טוב, אני משקר פה – ברור ש-\(\theta\) מופיע בתוצאה שלנו, פשוט באופן סמוי – הרי \(v_{0}^{y}=v_{0}\sin\theta\) ו-\(v_{0}^{x}=v_{0}\cos\theta\). אם נציב את זה לתוצאה, נקבל \(\frac{2v_{0}^{2}\sin\theta\cos\theta}{g}\). ייתכן שלחלקכם קופצת כרגע לעיניים זהות טריגונומטרית – \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\). זו אחת מהזהויות הללו שכדאי לזכור בעל פה, עד כמה שזה מבאס לגלות שבכלל יש במתמטיקה משהו שצריך לזכור בעל פה (וטענה כמו "זה בדף נוסחאות אז לא צריך" היא קצת בעייתית בהתחשב בכך שצריך לזהות את הדברים הללו כשהם קופצים לנו לעיניים מהדף, ואת זה אפשר לעשות רק אם זוכרים את הנוסחה). אם כן, את מה שקיבלנו אפשר לתאר בתור \(\frac{v_{0}^{2}}{g}\sin2\theta\). וכעת נשאלת השאלה – עבור איזה ערך של \(\theta\) התוצאה שנקבל תהיה מקסימלית?

בואו נתאר עוד בעיה שבה אנחנו מחפשים ערך קיצוני כלשהו, הפעם מינימום – בעיית החתונה. חתונות הן עסק יקר, אך יש כאלו שסבורים שניהול נכון של כמות האורחים יכול לצמצם את הנזקים, עד כדי מאמרים שלמים העוסקים בכך. השורה התחתונה: לכל חתונה יש שורה של הוצאות קבועות שלא תלויות בכלל באורחים (החל בדי-ג'יי ותמיכה כספית ברב, וכלה בדגיגי פיראנה כמו "עיצוב השולחנות" ו"סידורי הפרחים"). בואו נסמן את המחיר הזה ב-\(A\). כמו כן, כל אורח עולה סכום כסף מסויים (מחיר המנה שלו וכדומה) – הבה ונסמן סכום זה ב-\(b\). לסיום, כל אורח גם מביא איתו צ'ק נחמד – הבה ונסמן ב-\(c\) את הסכום הממוצע שכל אורח מביא, וב-\(x\) נסמן את מספר האורחים. אז יש לנו את הנוסחה הבאה שמתארת את מחיר החתונה עבורנו: \(f\left(x\right)=A+\left(b-c\right)x\). אם \(c\) גדול מ-\(b\) (וזו הנחת יסוד של המאמר) אז די בבירור ככל שיהיו יותר אורחים כך הנזק יקטן, ובשלב מסויים ההפסד שלנו יהפוך להיות שלילי – נרוויח! זה יקרה כאשר \(A+\left(b-c\right)x<0\), כלומר כאשר \(x>\frac{A}{c-b}\) – אתם מוזמנים לחשב בעצמכם כמה זה יוצא.

בעולם האמיתי זה לא עובד משתי סיבות. ראשית, יש גבול לכמות האורחים שאולמות מוכנים לסבול, וקרוב לודאי שאולמות גדולים יותר ידרשו יותר כסף. אבל בואו נעזוב את זה ונתמקד במשהו מעניין שנאמר במאמר עצמו – יותר אורחים פירושו הזמנה של אנשים פחות קרובים, ולכן כאלו שמשלמים פחות. כלומר, אפשר לחשוב על \(c\) לא כעל קבוע, אלא כעל משהו שהוא בעצמו פונקציה של \(x\), ופונקציה שיורדת עם הזמן (ה"רווח" הממוצע שלנו מהאורחים יורד ככל שאנו מזמינים אורחים יותר מרוחקים. כלומר, \(f\left(x\right)=A+\left(b-c\left(x\right)\right)x\). מה שאנחנו רוצים לעשות הוא למצוא את \(x\) האופטימלי עבורנו – כזה שמבטיח שההפסד שלנו הוא הקטן ביותר האפשרי (כפי שראינו, לא תמיד קיים כזה – אם \(c\left(x\right)\) קבוע הגדול מ-\(b\) זה לא קורה). איך עושים את זה?

בפוסט הבא נתאר איך מטפלים בשתי הבעיות הללו, ואיך באופן כללי מוצאים נקודות מינימום ומקסימום של פונקציה (ועוד דברים). הפתרון, כמובן, עובר דרך הנגזרת.

הנוסחה \(e^{i\pi}+1=0\) זכתה לפופולריות רבה בתור "הנוסחה היפה ביותר במתמטיקה", ואני נוטה להסכים – יש משהו מאוד אלגנטי ונאה בנוסחה הזו (אמנם, אני חושב שבמתמטיקה מגיעים מתישהו לשלב שבו היופי האמיתי לא נמצא בנוסחאות, אלא ברעיונות מורכבים יותר – וכשמגיעים לשם, נוסחת אוילר מחווירה לעומת חלק מהדברים שאפשר לגלות). מה שמרשים בה הוא האופן שבו היא קושרת את חמשת הקבועים ה"בסיסיים" במתמטיקה – \(0,1,e,\pi,i\). בפוסט הזה אני מקווה להסביר מעט על האופן שבו הנוסחה הזו צצה ומדוע היא אינה עד כדי כך בלתי צפויה – במילים אחרות, מדוע סביר שיהיה קשר בין ערכים אלו דווקא. אני מקווה שאחרי היכרות קצרה עם מאחורי הקלעים של הנוסחה הזו, היא תהיה רק יפה יותר.

נתחיל מתיאור קצר של מרכיבי הנוסחה, שיושפע מהפוסטים שכתבתי לא מזמן על פונקצית האקספוננט ופונקציות הסינוס והקוסינוס. את \(1\) אין צורך להכיר לאף אחד – הוא היה קיים משחר ההיסטוריה, ומהווה את הצעד הראשון בדרך לבניית המספרים הטבעיים. לעומתו, \(0\) היה שנוי במחלוקת אלפי שנים והפך לחלק מהסטנדרט רק בסוף המאה ה-19. שניהם חשובים בהיותם מספרים "נייטרלים" ביחס לאחת מפעולות האריתמטיקה: \(0+x=x\) ו-\(1\cdot x=x\). במבנים אלגבריים שמנסים להכליל את השלמים תמיד יהיה מצוי איבר שמתפקד כ-\(0\) ואיבר שמתפקד כ-\(1\). בפרט, בהגדרה של שדה תמיד נדרש קיומם של \(0,1\) ושיהיו שונים אלו מאלו – לא נדרשים שום איברים אחרים, ובפרט גם הקבוצה \(\left\{ 0,1\right\} \) מהווה בעצמה שדה. מכאן ש-\(0,1\) הם אכן "טבעיים" ולא סתם מספרים שנבחרו שרירותית לנוסחה הזו.

המספר \(e\) הוצג בפוסט שעסק באקספוננט: כזכור, אקספוננט (\(\exp\left(x\right)\)) היא הפונקציה היחידה שנגזרתה שווה לעצמה וערכה ב-\(0\) (אחד מהמספרים ה"טבעיים" שדיברנו עליהם) הוא \(1\) (המספר ה"מעניין" השני). הראיתי בפוסט ההוא שניתן לחשוב על הפונקציה הזו כעל העלאה בחזקה של מספר מסויים: \(e\). כלומר, \(\exp\left(x\right)=e^{x}\) (ולכן \(e=\exp\left(1\right)\)).

המספר \(\pi\) כמעט ולא זקוק להצגה – הוא מוכר ביותר בתור היחס שבין היקף מעגל לקוטרו (בגאומטריה אוקלידית). בפוסטים שבהם הצגתי את הפונקציות הטריגונומטריות – סינוסים וקוסינוסים – הוא צץ באופן חצי-טבעי, תרתי משמע: הראיתי שהפונקציות הללו הן מחזוריות, עם מחזור של \(2\pi\). אם כן, מדוע הסימן המיוחד הוענק דווקא ל-\(\pi\) ולא ל-\(2\pi\) (למשל, היה אפשר לתת סימון מיוחד ליחס בין היקף מעגל לרדיוסו)? נימוק מעניין אחד הוא ששטח עיגול היחידה הוא \(\pi\) (ואכן, לפעמים נהוג להגדיר קבוע זה באמצעות שטח עיגול היחידה). נימוק מטופש אחר – אם נותנים את הסימון ל-\(\pi\), נוסחת אוילר יוצאת יפה יותר.

\(i\) הוא בכלל יצור מוזר בתכלית… אה, רגע, לא. \(i\) הוא מספר מרוכב המקיים \(i^{2}=-1\). כבר עסקתי באופן שבו המרוכבים נבנים באופן "טבעי" מהממשיים, כך שאיני הולך לחזור על הדיון הזה כעת. שאלה קצת יותר מעניינת היא מדוע הנציג ה"טבעי" ביותר של המספרים המרוכבים הוא דווקא שורש \(-1\); למה לא לקחת, למשל, שורש יחידה מסדר 3? יש שני מספרים מרוכבים לא ממשיים שכשמעלים אותם בחזקת 3 מקבלים 1: \(\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\) ו-\(\omega^{2}=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\). המספרים הללו מעט יותר מסורבלים מאשר \(i\), שכן העלאה שלהם בריבוע לא נותנת מספר ממשי, ובכלל – הם דורשים הוצאת שורש למספר ממשי שאין לו שורש שלם (\(\sqrt{3}\)) וגועל נפש. לכן ככל הנראה יותר טבעי לבנות את המרוכבים בעזרת \(i\), שהוא שורש יחידה מסדר 4.

אם כן, אלו כל מרכיבי הנוסחה. איך מתרחש הפלא שכולם מתחברים יחד? שורש העניין נעוץ בשאלה מה בכלל המשמעות של העלאת \(e\) בחזקת מספר דמיוני – \(i\) כפול משהו. על העלאה בחזקה ממשית דיברתי די הרבה, אבל איך המרוכבים יכולים בכלל להיכנס לסיפור? זו נשמעת כמו רמאות. אני מכיר רק דרך אחת להסביר את העניין ולכן אשתמש בה, למרות שהיא מעט טכנית ועלולה להבהיל אנשים – הגרסה המלאה של נוסחת אוילר, \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\). זו נוסחה שחושפת את הקשר העמוק שבין אקספוננט ובין הפונקציות הטריגונומטריות, וגם תסגור לנו פינה שנותרה פתוחה עד כה: הפתרון הכללי של משוואה דיפרנציאלית מסדר שני במקדמים קבועים (כשאין שורש מרובה – זה מקרה מסובך לכשעצמו שאין טעם לדבר עליו כעת).

נתחיל בהוכחה "יבשה" (שהיא לדעתי יפהפיה) לנוסחה הזו, ואז ננסה לתת אינטואיציה. כזכור, אנחנו עדיין תקועים עמוק בשלב שבו אנו מחפשים הגדרה בעלת משמעות ל-\(e^{i\theta}\). כזכור, ראינו כי ניתן לתאר את \(e^{x}\) באמצעות טור חזקות אינסופי: \(e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\dots\). מכיוון שקל מאוד לדבר על טורי חזקות גם בהקשר של מספרים מרוכבים, והתיאוריה עובדת גם שם פחות או יותר בשלמותה (למעשה, במובן מסויים התיאוריה יותר שלמה עבור מרוכבים, אך לא אכנס לכך כעת ברצינות – דוגמה היא התכנסות הטור של \(\frac{1}{1+x^{2}}\), שרדיוס התכנסותו הוא 1 אך בלי לדעת על קיומם של מרוכבים לא ברור מדוע), מתבקש להגדיר את \(e^{i\theta}\) גם כן באמצעות טורי חזקות – פשוט נציב \(i\theta\) במקום \(x\) ונראה מה נקבל. התוצאה היא טור שעדיין מתכנס, אבל כעת נראה שונה למדי מהטור ה"רגיל" – פתאום מתחילים לצוץ בו מינוסים, ומופעים של \(i\). אנחנו מקבלים: \(e^{i\theta}=1+i\theta-\frac{\theta^{2}}{2!}-i\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{4}}{4!}+\dots\). כעת אפשר לבצע מניפולציות לטור ולפרק אותו לשני טורים. צריך לומר כאן אזהרה כלשהי – לא ניתן לעשות זאת לכל טור מתכנס. משפט מפורסם של רימן מראה שאם יש טור שמתכנס אך אינו מתכנס בהחלט (כלומר, \(\sum a_{n}\) מתכנס אך \(\sum\left|a_{n}\right|\) אינו מתכנס) אז אפשר, על ידי שינוי של סדר הסכימה של הטור, לקבל איזה סכום שרק נרצה, וגם להראות שסכום הטור שואף לאינסוף או "מזפזפ". המשפט המטורלל הזה ראוי לפוסט משל עצמו ואני מקווה לכתוב כזה בקרוב, אך עבור הטור "שלנו" זה לא תקף. וכך נוכל לקבל את הנוסחה הבאה: \(e^{i\theta}=\left(1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\dots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\dots\right)\). מי שזוכר את הפוסט על הפונקציות הטריגונומטריות ודאי זוכר שהראיתי כי הטור שבסוגריים השמאליים הוא הטור של \(\cos\theta\), והטור בסוגריים הימנים הוא הטור של \(\sin\theta\), וזהו סוף הסיפור.

מכאן שההגדרה ה"טבעית" ל-\(e^{i\theta}\) מניבה את נוסחת אוילר. בנוסחה הזו יש לנו לעת עתה רק שני קבועים "חשובים" – \(e\) ו-\(i\). אם כן, הכל מתחיל מכך שאנו בוחרים להשתמש ב-\(e\) בתור הבסיס שלנו – אפשר היה אמנם לבחור בסיס אחר, אך כבר הסברתי מדוע הגיוני לבחור דווקא ב-\(e\). כעת, אלמלא \(i\) היה השורש של \(-1\), הנוסחה הייתה הולכת לאבדון – הפירוק המקסים של הטור של \(e^{i\theta}\) לשני טורים היה משתבש לגמרי. שימו לב מה היה הכרחי לעשות כדי לקבל מהטור של \(e^{x}\) את הטורים של \(\cos\) ו-\(\sin\): היינו צריכים להשאיר איבר אחד כמות שהוא, את הבא אחריו לכפול במספר מרוכב כלשהו \(z\), את הבא אחריו לכפול ב-\(-1\) אבל לא בשום דבר אחר, ואת הבא אחריו לכפול ב-\(-z\), ואז חוזר חלילה להתחלה. יש רק שני מספרים מרוכבים שמקיימים את התכונה הזו, שבעצם שקולה ל-\(z^{2}=-1\), והם \(i\) ו-\(-i\) (ואכן, אפשר היה באותו אופן להוכיח "נוסחת אוילר" עבור \(-i\); היינו מקבלים \(e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\), אבל זה לא שונה מהותית מהנוסחה שכבר יש לנו, ומכל אחת ניתן לגזור את השניה).

כעת נעבור לקצת אינטואיציה גאומטרית. על המספרים המרוכבים אפשר לחשוב באופן גאומטרי כמישור – המספר \(a+bi\) מייצג את הנקודה \(\left(a,b\right)\) במישור. המרחק של נקודה מראשית הצירים, אם מודדים מרחק באופן האוקלידי הרגיל, הוא \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\), ועל כן אפשר להגדיר את מעגל היחידה במישור המרוכב בתור כל המספרים \(a+bi\) כך ש-\(a^{2}+b^{2}=1\). כעת, הפלא ופלא: נתבונן במספר המרוכב שמוגדר על ידי \(a=\cos\theta\), \(b=\sin\theta\) עבור \(\theta\) כלשהו – כלומר, על \(e^{i\theta}\). המספר הזה מקיים \(a^{2}+b^{2}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1\) (זוהי אחת מהנוסחאות הבסיסיות ביותר הנוגעות לסינוס וקוסינוס, והוכחתי אותה באופן לא-גאומטרי "טהור" בפוסט שעסק בהם). מכאן ש-\(e^{i\theta}\) נמצא על מעגל היחידה, לכל \(\theta\). יותר מכך – לא קשה להשתמש ברציפות של \(\sin,\cos\) כדי להראות שכל נקודה על מעגל היחידה ניתנת להצגה בתור \(e^{i\theta}\) שכזה. יותר מכך – אם אנחנו כבר מוכנים לקבל גם את המשמעות ה"גאומטרית" של \(\sin,\cos\), אפשר להראות ש-\(e^{i\theta}\) הוא הנקודה שנמצאת על מעגל היחידה והזווית שיוצרים הישר שמחבר אותה עם הראשית והישר שמהווה ציר \(x\) היא בדיוק \(\theta\) (יש שתי זוויות כאלו, בעצם; אני מדבר על הזווית שמהווה את "כמות הסיבוב" שנדרש כדי להביא את ציר \(x\) לנוח על הקטע שמחבר את הראשית עם \(e^{i\theta}\)).

זה פותח פתח לתיאור של מספר מרוכב באופן כללי באמצעות אקספוננט: המספר \(re^{i\theta}\), כאשר \(r\ge0\) ממשי, מייצג את המספר המרוכב שמרחקו מהראשית הוא \(r\) (דהיינו, \(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)) והזווית שלו ביחס לציר \(x\) היא \(\theta\). דרך הצגה זו מכונה "ההצגה הקוטבית" (או ההצגה הטריגונומטרית) של מספרים מרוכבים, ולעתים קרובות היא נוחה יותר מן ההצגה ה"רגילה" של \(a+bi\) (למשל, לצורך העלאה בחזקה). באופן כללי במתמטיקה נוח לעתים לעבור למערכת קוארדינטות קוטבית שכזו, שבה נקודה נמדדת על ידי מרחק מהראשית וזווית ולא על ידי מרחק בשני צירים מאונכים זה לזה, כך שזוהי אינה הצגה בלעדית למספרים מרוכבים. אגב, בבית הספר לעתים קרובות משתמשים בקיצור \(cis\theta\) כדי לתאר את \(\cos\theta+i\sin\theta\) במקום \(e^{i\theta}\); החסרון של דרך הצגה זו היא שבהצגת האקספוננט אפשר להמשיך ולבצע את כל פעולות חשבון החזקות הרגילות; כך למשל \(e^{i\theta}\cdot e^{i\tau}=e^{i\left(\theta+\tau\right)}\) (כמובן, יש להוכיח זאת; אך אם תעיפו מבט בהוכחה לכך שנתתי בפוסט העוסק באקספוננט תראו שהיא עובדת ככתבה וכלשונה גם כאן – ולמעשה, היא יותר כללית אפילו מאשר עבור "רק" מספרים מרוכבים; מה קורה אם ה-\(x\) של האקספוננט הוא מטריצה?).

שימו לב שההגדרה שלי של \(e^{i\theta}\) "עובדת" גם אם אני לא יודע מהם סינוסים וקוסינוסים – נוסחת אוילר היא משפט, ולא סתם הגדרה (אף כי בספרים רבים מעדיפים דווקא כן להגדיר את \(e^{i\theta}\) באמצעות הנוסחה). מכאן עולה דרך נוספת ומעניינת להגדיר את סינוס וקוסינוס: אלו הפונקציות שמתארות את ההיטל של \(e^{i\theta}\) על הציר הממשי והציר המדומה. כלומר, אפשר לחשוב על סינוס וקוסינוס (שהן פונקציות ממשיות) כנובעות לא מגאומטריה ולא ממשוואות דיפרנציאליות, אלא מאנליזה מרוכבת! למעשה, זוהי אפילו הגדרה לא רעה בכלל – בעזרת נוסחת אוילר מיידית מקבלים את טורי הטיילור של סינוס וקוסינוס, ומכאן נוסחאות הגזירה שלהם נובעות מיידית, ומכאן שאר התכונות מתקבלות במהירות. יותר מכך – ניתן להשתמש בתכונות של \(e^{i\theta}\) כדי לגזור תכונות של סינוס וקוסינוס. הנה דרך חדשה להוכיח את נוסחת הסכום: מכיוון ש-\(e^{i\left(\theta+\tau\right)}=e^{i\theta}\cdot e^{i\tau}\), אפשר לכתוב את הנוסחה הזו גם בעזרת סינוסים וקוסינוסים, ומקבלים:

\(\cos\left(\theta+\tau\right)+i\sin\left(\theta+\tau\right)=\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\left(\cos\tau+i\sin\tau\right)=\left(\cos\theta\cos\tau-\sin\theta\sin\tau\right)+i\left(\sin\theta\cos\tau+\cos\theta\sin\tau\right)\)

והשוואת המקדמים הממשי והמדומה של שני האגפים נותנת את נוסחאות הסכום ה"רגילות". זו הוכחה נחמדה למדי כי בה קל מאוד לזכור איך קורה שהסכום עבור קוסינוס מורכב ממכפלות "הומוגניות" ויש בו מינוס, ואילו עבור סינוס הסכום הוא "מעורבב" (כמובן, בתנאי שזוכרים איך מתנהג כפל מרוכבים).

ובכן, נוסחת אוילר הכללית, \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) היא מרתקת ומעניינת ויפה – אעז לומר שאפילו יותר יפה מהנוסחה ה"פרטית" של \(e^{i\pi}+1=0\), בדיוק בגלל שיש יותר דברים מעניינים שמתקשרים אליה, אבל כעת הגיע הזמן לחזור לנוסחה ה"פרטית" ולהבין איך הקבוע שנותר בחוץ עד כה – \(\pi\) – נכנס לעסק.

ובכן, כפי שכבר אמרתי, \(\pi\) קשור בקשר הדוק לסינוס וקוסינוס, שכפי שראינו, צצים באופן טבעי כשעוסקים באקספוננט מרוכב, וכפי שראינו – הם קשורים בקשר עמוק למעגלים, כך שאין פה הפתעה של ממש. \(e^{i\pi}\) היא הנקודה שמתקבלת כשהולכים בדיוק חצי מעגל (כי מחזור שלם של סינוס וקוסינוס, שמציין חזרה לנקודת ההתחלה, הוא \(2\pi\)) ומכיוון שהטיול מתחיל ב-\(\left(1,0\right)\), אחרי הליכה של \(\pi\) "צעדים" נגיע לקצה השני של המעגל, \(\left(-1,0\right)\). על כן \(e^{i\pi}=-1\). לעתים מסתפקים בהצגת הנוסחה הזו בתור "נוסחת אוילר היפה", אבל שיפור קוסמטי מתקבל על ידי חיבור 1 לשני האגפים וקבלת \(e^{i\pi}+1=0\), ובכך השגנו שתי ציפורים במכה אחת – עברנו מ-\(-1\) ה"לא טבעי" ל-\(0,1\) ה"טבעיים"שקשקשתי כל כך הרבה על למה הם טבעיים בתחילת הפוסט. כלומר, יש משהו מלאכותי בהעברת הנוסחה לצורה ה"יפה" שלה. שימו לב ש-\(e^{i2\pi}=1\), כך שאם היינו משתמשים בסימון מיוחד לא עבור \(\pi\) אלא עבור \(2\pi\) היינו מקבלים נוסחה דומה ובמובנים מסויימים יפה יותר, כי אין בה את העברת האגפים ה"מלאכותית".

כעת לסגירת החוב שלי בנוגע למשוואות דיפרנציאליות. כזכור, עסקתי במשוואות מהצורה \(af^{\prime\prime}+bf^{\prime}+f=0\) (כש-\(a,b,c\) מקדמים ממשיים קבועים), וטענתי שהפונקציה \(e^{\lambda x}\) מהווה פתרון למשוואה זו, כאשר \(\lambda\) הוא שורש של המשוואה הריבועית \(ax^{2}+bx+c=0\), וכל עוד יש למשוואה זו שני פתרונות שונים זה מזה, הכל אחלה כי אנחנו מקבלים שני פתרונות שונים מהותית למשוואה הדיפרנציאלית, שבאמצעותם ניתן לבנות כל פתרון אחר. הבעיה צצה כשלמשוואה \(ax^{2}+bx+c=0\) לא היה פתרון ממשי כלל – למשל, המשוואה \(x^{2}+1=0\). במקרה זה, כמו שאמרתי קודם, יהיו למשוואה בהכרח שני פתרונות מרוכבים שונים זה מזה, כך שהאחד הוא הצמוד של השני. כאן "נתקעתי" כי לא היה לי מושג מהו \(e^{\lambda x}\) במקרה זה, ובכל מקרה לא הייתה לי סיבה להניח שהפונקציה הזו עדיין תקיים את המשוואה.

למרבה המזל, עכשיו אנחנו חכמים יותר. חקרנו את המשוואה \(f^{\prime\prime}+f=0\) (שמתאימה ל-\(x^{2}+1=0\)) באופן עצמאי וגילינו באופן זה את קיום הפונקציות \(\cos,\sin\) שפותרות אותה. נוסחת אוילר השלימה את החקירה הזו, כשקשרה את הפונקציות הללו שמצאנו לפונקציית האקספוננט שפתרה לנו את המשוואה במקרה הממשי. לכן משתלם לנו להגדיר את \(e^{\lambda x}\) באמצעות נוסחת אוילר: דהיינו, אם \(\lambda=r+i\theta\), אז \(e^{\lambda x}=e^{rx}\cdot e^{i\theta x}=e^{rx}\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\). אם תנסו לגזור את היצור הזה על פי כללי הגזירה הרגילים של פונקציות ממשיות תגלו כי אכן \(\left(e^{\lambda x}\right)^{\prime}=\lambda e^{\lambda x}\), כפי שאנו מצפים מאקספוננט (קודם כל גזרו את \(e^{ix}\) ותראו שאכן מקבלים \(ie^{ix}\); מכאן זה עניין של חוקי האריתמטיקה הרגילים של נגזרות). לכן כשמציבים את \(e^{\lambda x}\) בנוסחה מקבלים \(\left(a\lambda^{2}+b\lambda+c\right)e^{\lambda x}\) שאכן שווה ל-\(0\), כנדרש.

הבעיה עם \(e^{\lambda x}\) בתור פתרון הוא שאין מדובר על פתרון ממשי – הרי זוהי פונקציה מרוכבת. זה אמנם לגיטימי לכשעצמו ואפילו מעניין – הנה צצים פתרונות מרוכבים במקומות שבהם לא ציפינו להם – אבל אנחנו מעדיפים פתרונות ממשיים. הפאנץ' הוא שאפשר "לשלוף" את סינוס וקוסינוס מתוך הפתרונות \(e^{\lambda x}\) שמצאנו – גם הם מהווים צירוף לינארי כלשהו שלהם (כשמרשים מקדמים מרוכבים). לשם כך, ראשית כל שימו לב לכך ש-\(e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\) (לא קשה לראות זאת) ועל כן \(e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta\), כלומר \(\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\), ובדומה \(\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\). אם תרצו, אלו הנוסחאות ה"הפוכות" לנוסחת אוילר, והן יפות בפני עצמן; כשאני מדבר על הגדרה של סינוס וקוסינוס באמצעות האקספוננט המרוכב, זו השורה התחתונה שאני מדבר עליה – להגדיר את הפונקציות הללו באמצעות המשוואות הללו (וזו אכן דרך נפוצה למדי להגדיר אותן). הנוסחאות כמובן תקפות גם אם נכפול את שני האגפים שלהם במספר ממשי כלשהו, ומכאן נובעת הנוסחה הכללית: אם \(\lambda=r+i\theta\) אז \(e^{rx}\cos\left(\theta x\right)=\frac{e^{\lambda x}+e^{\overline{\lambda}x}}{2}\), ובדומה עבור סינוס, \(e^{rx}\sin\left(\theta x\right)=\frac{e^{\lambda x}-e^{\overline{\lambda}x}}{2}\). מכיוון ששתי הפונקציות הללו התקבלו כצירוף לינארי של שני פתרונות למשוואה הדיפרנציאלית המקורית, גם הם מהווים פתרון – אבל פתרון ממשי, ולא קשה להראות שהם "בלתי תלויים" במובן זה שכל פתרון אחר ניתן לכתיבה באמצעות צירוף לינארי שלהם (כמובן שפתרון מרוכב ידרוש צירוף לינארי עם מקדמים מרוכבים).

כאן הבה וניישם את מה שלמדנו למקרה שהבאתי כמוטיבציה לכל זה – תנועה הרמונית פשוטה.

כזכור, עבור תנועה הרמונית פשוטה הגענו למשוואה \(f^{\prime\prime}=-\frac{k}{m}f\), כאשר \(f\) הייתה פונקציה שמתארת את מיקום האובייקט שנע בתנועה הרמונית פשוטה, \(k\) תיאר את "קבוע הקפיץ" שמושך אותו – ככל שהוא יותר גדול, על הגוף מופעל יותר כוח – ו-\(m\) תיאר את מסת הגוף, כלומר את התנגדותו להאצה, אבל אפשר לחשוב על המערכת גם במובנים יותר מופשטים, לכל \(f\) (לא רק של מרחק) שמקיימת משוואה כזו. לכן נוח לכרוך את \(k,m\) לפרמטר אחד שמאפיין את המערכת, ועם קצת ראיית הנולד הכי טוב להגדיר \(\omega^{2}=\frac{k}{m}\) ולקבל את המשוואה \(f^{\prime\prime}=-\omega^{2}f\). מדוע ריבוע? שכן המשוואה האופיינית שמתקבלת מהמשוואה הדיפרנציאלית הזו היא \(x^{2}=-\omega^{2}\), ופתרונותיה הם \(\lambda=\pm i\omega\), וכך חמקנו מלהכניס שורשים לתמונה. מכיוון שפתרונות המשוואה האופיינית הם מדומים טהורים, אקספוננט ממשי הוא לא חלק מהפתרון; קיבלנו פתרונות פרטיים של \(\cos\left(\omega x\right)\) ו-\(\sin\left(\omega x\right)\). לכן הפתרון הכללי למשוואה הוא \(a\sin\left(\omega x\right)+b\cos\left(\omega x\right)\), וסיימנו.

אלא שעוד לא סיימנו, כי הפתרון הזה לא "יפה" מספיק – הוא סכום של שתי פונקציות, וקשה לנו לצייר את האופן שבו התנועה הזו מתנהגת בראש אם היא שני גלים שנלחמים אחד נגד השני. לכן גם כאן הכי נוח לעבור להצגה קוטבית. חשבו שנייה על הנקודה במישור \(\left(a,b\right)\); אפשר לחשוב עליה כעל נקודה שנמצאת במרחק \(A\) מראשית הצירים ויוצרת זווית \(\phi\)עם ציר \(x\), ממש כמו שהיה עבור מספרים מרוכבים. במקרה זה מתקיים \(a=A\cos\phi\) ו-\(b=A\sin\phi\), ולכן אנחנו מקבלים דרך אחרת לכתוב את הפתרון הכללי למשוואה: \(A\cos\phi\sin\left(\omega x\right)+A\sin\phi\cos\left(\omega x\right)\). זה כבר נראה דומה באופן חשוד לנוסחת הסכום של סינוסים, ואכן – זה שווה ל-\(A\sin\left(\omega x+\phi\right)\), וזהו הפתרון הכללי שבדרך כלל אוהבים לתת. הסכום של סינוס וקוסינוס הפך לגל סינוס בודד, שמתאפיין על ידי שלושה פרמטרים: \(\omega\), שמגדיר את התדירות של התנודה, כלומר כמה מהר היא מתחילה לחזור על עצמה; \(A\), שמגדיר את המשרעת של התנודה, כלומר מה הגדלים המקסימלים שאליהם היא עשויה להגיע (כמה רחוק העצם עשוי להגיע מנקודת שיווי המשקל), ו-\(\phi\) שמתאר את הפאזה של המערכת – מדד כלשהו ל"כמה עמוק בתוך התנודה" המערכת הייתה כשהתחלנו למדוד את הזמן. שימו לב למשהו שעשוי לבלבל כאן – אני משתמש באות \(x\) לסימון המשתנה של הפונקציה, אך חשוב להבין שמשתנה זה מתאר את הזמן – מלכתחילה הפונקציה שרצינו היא פונקציה שמתארת את מיקום האובייקט כתלות בזמן. לכן יותר ברור לכתוב \(A\sin\left(\omega t+\phi\right)\) בתור הפונקציה שלנו.

מה שעשינו עד כה היה לכתוב פתרון כללי למשוואה. כדי למצוא פתרון פרטי צריך למצוא את הפרמטרים \(A,\phi\) שמתאימים למקרה שאנחנו ממדלים; שימו לב ש-\(\omega\) כבר ידוע מראש. לצורך כך אפשר למדוד את מצב המערכת בזמן \(t=0\). כזכור, אנחנו רוצים לדעת הן את ערך הפונקציה עצמה ב-\(t=0\), והן את ערך הנגזרת הראשונה שלה ב-\(t=0\), כלומר מצב המערכת נקבע על ידי מיקום ומהירות האובייקט בזמן \(t=0\). המיקום הוא \(A\sin\left(\phi\right)\), והמהירות היא \(\omega A\cos\left(\phi\right)\). שימו לב למשהו מעניין שנובע מהמשוואות הללו – \(\omega\) אינו תלוי לא במיקום ההתחלתי של המערכת, ולא במהירות ההתחלתית שלה; הוא מושפע רק מקבועים "פנימיים" שלה. זו למשל הסיבה מדוע שעון מטוטלת הוא מדוייק: מטוטלת מתנהגת כמו מתנד הרמוני (לא באופן מושלם כי העולם האמיתי לא מושלם, אבל מספיק טוב – כל עוד אפשר להזניח את החיכוך עם האוויר וכל עוד גודל הזווית שיוצרת המטוטלת קטן דיו), ולכן אין זה משנה כמה נרים אותה לפני שניתן לה להתנדנד, או מה המהירות שבה נדחוף אותה – קצב ההתנדנדות שלה יהיה תלוי רק בקבועים "פנימיים" (במקרה הזה, הוא תלוי באורך החוט של המטוטלת ובכוח המשיכה של כדור הארץ; דבר נאה נוסף שעולה ממשוואות המטוטלת הוא שלמסת המטוטלת אין השפעה על קצב התנודה). מהו קצב התנודה? ובכן, מכיוון שהמחזור של \(\sin\) הוא \(2\pi\), ומכיוון ש-\(t\) מוכפל ב-\(\omega\), הרי שנשלים מחזור בכל פעם שבה \(\omega t\) יהיה כפולה של \(2\pi\), כלומר המחזור הוא \(T=\frac{2\pi}{\omega}\). הנה צץ לו פאי שוב, במערכת שאין לה שום קשר לגאומטריה של המישור (הרי המתנד ההרמוני המקורי שהבאתי כדוגמה – הגוף המחובר לקפיץ – היה חד ממדי).

ובכן, הגענו לסיומה של סאגת פאי-אקספוננט-סינוס-קוסינוס. אני מקווה שהצלחתי לשכנע לפחות חלק מהקוראים שפאי איננו יצור גאומטרי בלבד – וחשוב מכך, שהצלחתי להראות לקוראים שוב עד כמה המתמטיקה עוסקת בקשרים בין דברים שנראים שונים ולא קשורים זה לזה, אך בפועל הקשר ביניהם חזק והדוק מאוד: "האמנות של קריאה באותו שם לדברים שונים, ובשמות שונים לאותו הדבר".