בדיחה גסה ידועה (למתמטיקאים) מספרת על שני מתמטיקאים העומדים בקצה האחד של חדר כאשר בקצה השני נמצאת בחורה נאה, והם חפצים להגיע אליה. הראשון אומר "כדי לעבור את החדר צריך לעבור קודם את מחציתו; ואחרי שאגיע למחציתו, אצטרך עוד להגיע למחצית של המחצית הנותרת; ואחרי שאעבור אותה אצטרך להגיע למחצית של הרבע הנותר וכן הלאה – וכך עד אינסוף, ומכאן שלעולם לא אגיע אל הבחורה". המתמטיקאי השני עונה לו "כן; אבל תתקרב מספיק לכל צורך מעשי" (בגרסאות מסויימות ה"מעשי" הוא פיזיקאי, אך אני מוחה נגד כך בתוקף – ההתמודדות עם הסיטואציה שמתוארת בבדיחה היא המצאה של מתמטיקאים).

מה הלך כאן? נניח שאורך החדר הוא 1. המתמטיקאי הראשון תיאר את מעבר החדר כסדרה של "צעדים", שבה בכל צעד עוברים את חצי הדרך שעברנו בצעד הקודם. כלומר, אחרי צעד אחד עברנו \(\frac{1}{2}\), אחרי שניים עברנו \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\), אחרי שלושה עברנו \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\) וכן הלאה. הסכומים הללו הם מקרים פרטיים של טור הנדסי ולכן קיימת לנו נוסחה פשוטה שנותנת את ערכם: \(1-\frac{1}{2^{n}}\) הוא המרחק שנעבר עד וכולל הצעד ה-\(n\) (למי שאינו מאמין – שיציב \(n=1,2,3\) בנוסחה וישווה זאת לסכומים שכתבתי למעלה). לא קשה לראות שלא משנה איזה ערך של \(n\) אציב בנוסחה הזו לא אוכל לקבל 1, כך שהמתמטיקאי הראשון לא יגיע אף פעם אחרי מספר סופי של צעדים אל הקצה השני של החדר (באופן המאוד מוזר שבו אנחנו בוחרים למדוד "צעדים"). מה שהשני אומר הוא שאנחנו לא באמת חייבים להגיע ל-1 כדי לקטוף את הפירות של מעבר החדר; נניח שכל מה שאנחנו צריכים הוא שהמרחק בינינו ובין הבחורה יהיה \(0.0000001\); אז לא קשה למצוא \(n\) שהוא גדול כל כך עד שהמרחק שלנו מהבחורה קטן מה-\(0.0000001\) הזה (תרגיל למשועממים – מצאו \(n\) שכזה). על סיטואציה שכזו אומרים שהסדרה \(1-\frac{1}{2^{n}}\) שואפת ל-1; היא לא בהכרח מגיעה ל-1, אבל לכל רמת קרבה שרק נרצה שהיא תתקרב בה ל-1 מבלי שתגיע אליו ממש, מובטח לנו שמתישהו זה יקרה (התנאי המדוייק שמגדיר שאיפה למספר כלשהו הוא טיפה יותר מורכב וכבר פירטתי עליו בעבר).

הסיטואציה שמתוארת בבדיחה היא הלעגה של אחד מהפרדוקסים של זנון, ש"מוכיח" שאכילס לא מסוגל לחצות חדר. על הפרדוקסים כתבתי כבר בפוסט נפרד ולא אחזור על כך כאן – הבאתי את הבדיחה בתור חימום לנושא האמיתי של הפוסט, שהוא סכום תמים למראה באופן דומה, אך מטעה וחמקמק למדי.

נניח שכעת אנחנו מנסים למדוד את צעדינו באופן הבא: בצעד הראשון נפסע מרחק של 1. בשני מרחק של \(\frac{1}{2}\). בשלישי מרחק של \(\frac{1}{3}\); ברביעי מרחק של \(\frac{1}{4}\) ובאופן כללי, בצעד ה-\(n\) נפסע מרחק של \(\frac{1}{n}\). די ברור שאחרי צעד אחד כבר נעבור מרחק של 1; גם ברור שאחרי ארבעה צעדים נעבור מרחק של 2, אבל מכאן ואילך המאמץ שנדרש מאיתנו כדי לעבור את 3 הוא גדול למדי, והמאמץ לעבור את 4 גדול עוד יותר, וכן הלאה וכן הלאה. אם כן, מה המספר המקסימלי שעוד נצליח לעבור? איזה חדר הוא גדול מספיק כדי שלא נוכל להגיע לקצה השני שלו? זו השאלה שלפנינו. בניסוח פורמלי, מדברים על הסכום \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}+\dots\), שמכונה "הטור ההרמוני" ונכתב בקיצור כ-\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) ושואלים מהו סכום הטור הזה – למה הוא שואף באותו מובן של קודם.

כאן אפשר לחלק את בני האדם לשלושה סוגים: יש את אלו שאומרים שמובן מאליו שסכום הטור יהיה אינסוף כי יש בו אינסוף איברים. אלא שכבר ראינו דוגמה לטור שבו הטענה הזו שגויה בתכלית – \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}\) שעליו דיברנו קודם מתכנס ל-1 ולא לאינסוף. לכן מי שטוען שהטור אינסופי מסיבה זו פשוט אינו "משתתף במשחק" שלנו ואינו דובר את אותה שפה כמונו; כבר עסקתי פעם בבלוג באדם מסוג זה.

הסוג השני, המתמטיקאי, יגיד שסכום הטור הזה הוא אינסוף, אבל שהדבר אינו מובן מאליו כלל וכלל, ויש להוכיח זאת. והוא גם יציג הוכחה או שתיים. אני מתעתד לעשות זאת בפוסט הזה. כדי להבהיר עד כמה הטענה הזו בלתי מובנת מאליה רק אעיר שעבור הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}\) כאשר \(\alpha\) הוא מספר ממשי כלשהו הגדול ממש מ-1 (\(\alpha>1\)), הטור כן מתכנס ("מתכנס" פירושו שסכומו קטן מאינסוף). כלומר, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) הוא "כמעט" מתכנס וזה לא מובן כלל מאליו שהוא מתקלקל כך.

ויש את הסוג השלישי של אנשים, שיטענו שהטור מתכנס, ואולי אף יציגו מספר שהוא סכום הטור. בפורום של הבלוג התפתח דיון שכזה עם אדם הטוען שסכום הטור ההרמוני הוא 137 – דיון שאין דרך לסווג אותו מלבד "דיון קלאסי עם טרחן מתמטי כפייתי". אנסה להציג משהו מהטיעונים שלו אחרי שיסתיים החלק המתמטי של הפוסט הזה.

הבה ונעבור להסבר מדוע הטור אינו מתכנס. ראשית, אינם חייבים לסמוך עלי – במהלך הדיון בפורום ניתן קישור למאמר שמציג 20 הוכחות שונות לתוצאה הזו. שנית, צריך להסביר מה בעצם אני מנסה להוכיח. לומר שהטור מתכנס לאינסוף פירושו (במקרה הספציפי הזה; ההגדרה הכללית היא מעט יותר מסובכת) שלכל מספר טבעי \(k\) שרק תגידו לי, אוכל לתת לכם מספר איברים כלשהו \(n\) כך שאחרי שסוכמים \(n\) איברים מקבלים סכום שגדול מ-\(k\). למשל, עבור \(k=137\), שהוא הסכום המשוער שהזכרתי קודם, אפשר לראות שאם נסכום \(2^{300}\) איברים נקבל תוצאה שגדולה מ-137. איך? למה? מאיפה המספר הזה הגיע? זה מה שנראה עכשיו. ראשית כל, הנה המחשה ציורית של ההוכחה, שמציגה בבירור את הרעיון המרכזי בה – קיבוץ איברים:

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots>\)

\(1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\dots=\)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots\)

כעת נעבור לתיאור יותר מדויק של מה שקורה כאן. לצורך נוחות, הבה ונסמן ב-\(H_{n}\) את מה שמקבלים אחרי שסוכמים את \(n\) האיברים הראשונים של הטור. המספר הזה נקרא "המספר ההרמוני ה-\(n\)-י". לא קל לחשב במדוייק את הערכים של ה-\(H_{n}\)-ים ולכן במקום זה נותנים להם חסם תחתון – משהו שמובטח ש-\(H_{n}\) יהיה גדול ממנו. ההוכחה הפשוטה ביותר לכך שהטור ההרמוני אינו מתכנס, שנמצאה כבר במאה ה-14, מתבססת על שיטה פשוטה ויפה לתת חסם תחתון ל-\(H_{n}\)-ים: נסתכל רק על ה-\(n\)-ים שהם חזקות של 2, כלומר \(H_{2^{n}}\), לכל \(n\ge0\) . כדי לקבל תחושה, הבה ונתבונן באיברים הראשונים:

\(H_{2^{0}}=1\)

\(H_{2^{1}}=1+1\cdot\frac{1}{2}\)

\(H_{2^{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=1+2\cdot\frac{1}{2}\)

רגע, רגע, רגע – מה עשינו עבור \(H_{2^{2}}\)? ויתרנו על חישוב מדוייק שלו ובמקום זה הלכנו על חסם תחתון. אמרנו שאפשר לקחת את \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\) ולהשתמש בשיקול הבא: \(\frac{1}{3}\) הוא גדול מ-\(\frac{1}{4}\) ולכן \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\). הצמצום הזה עוזר לנו לחשב את החסם. כדי לראות זאת יותר בבירור הבה ונסתכל על המספר ההרמוני הבא בתור:

\(H_{2^{3}}=H_{2^{2}}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>H_{2^{2}}+4\left(\frac{1}{8}\right)>1+2\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+3\cdot\frac{1}{2}\)

מה עשינו כאן? אמרנו ש-\(H_{2^{3}}\) שווה בדיוק ל-\(H_{2^{2}}\) ובנוסף כל האיברים ה"חדשים" שלא הופיעו ב-\(H_{2^{2}}\) – שהם כל האיברים מהצורה \(\frac{1}{k}\) עבור \(2^{2}<k\le2^{3}\). זה כבר מכתיב לנו את הדרך למקרה הכללי: נניח שהוכחנו ש-\(H_{2^{k}}\ge1+\frac{k}{2}\) ואנחנו רוצים למצוא חסם על \(H_{2^{k+1}}\), מה עושים? ראשית, כותבים \(H_{2^{k+1}}=H_{2^{k}}+\frac{1}{2^{k}+1}+\frac{1}{2^{k}+2}+\dots+\frac{1}{2^{k+1}}\). כעת, הסכום \(\frac{1}{2^{k}+1}+\frac{1}{2^{k}+2}+\dots+\frac{1}{2^{k+1}}\) כולל בדיוק \(2^{k+1}-2^{k}=2^{k}\) איברים, והאיבר הקטן ביותר מביניהם הוא \(\frac{1}{2^{k+1}}\), כך שאנו מקבלים את החסם \(H_{2^{k+1}}\ge H_{2^{k}}+\frac{2^{k}}{2^{k+1}}\ge1+\frac{k}{2}+\frac{1}{2}=1+\frac{\left(k+1\right)}{2}\). בעצם הוכחנו כאן באינדוקציה שלכל \(k\) טבעי מתקיים \(H_{2^{k}}\ge1+\frac{k}{2}\), וזהו זה – עבור \(k\) גדול מספיק אפשר לעבור כל מספר טבעי שמפריע לנו.

נחזור לדוגמת ה-137: עבור \(k=300\) מקבלים \(H_{2^{300}}\ge1+\frac{300}{2}=151\). כך שלמעשה, \(2^{300}\) הוא מספר גדול מדי של איברים; אפשר היה להסתפק בהרבה פחות. כמה פחות? בדיוק פתרון המשוואה \(1+\frac{k}{2}>137\), ובמילים אחרות – \(k=273\). אם כן, הוכחנו שהטור ההרמוני עובר את 137 ב-\(H_{2^{273}}\), ובאותה דרך בדיוק נוכל לרמוס כל טענה שהטור ההרמוני מתכנס לסכום סופי אחר.

לאלו מכם שאינם מפחדים מלוגריתמים ואסימפטוטיקה, זוהי הזדמנות לראות שההוכחה הזו גם אומרת לנו משהו על קצב הגידול של \(H_{n}\): אם \(n=2^{k}\) אז \(k=\lg n\) ולכן \(H_{n}\ge1+\frac{\lg n}{2}=\lg\left(2\sqrt{n}\right)\). למעשה, זה חסם תחתון די גרוע – המספרים ההרמוניים מתנהגים בערך כמו \(\ln\left(n\right)\) (ועוד תיקון כלשהו).

ההוכחה הבאה שאציג היא לטעמי לא פחות מיפהפיה, ומספקת הדגמה נוספת לאופן שבו שימוש באקספוננט יכול לפשט בעיות חיבוריות על ידי הפיכתן לכפליות (מוטיב נפוץ למדי בתורת המספרים…). הרעיון הוא לא לחשב את \(H_{n}\) ישירות, אלא את \(e^{H_{n}}\) (כאשר \(e^{x}\) היא פונקצית האקספוננט שכתבתי עליה לא מזמן). גם כאן נצטרך לבצע קירוב כלשהו כדי לקבל נוסחה יפה, ונשתמש בכך ש-\(e^{x}>1+x\) לכל \(x>0\) (אי השוויון מובן מאליו אם זוכרים ש-\(e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\dots\) – פשוט לקחנו את שני האיברים הראשונים).

ובכן: \(e^{H_{n}}=e^{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}=\prod_{k=1}^{n}e^{\frac{1}{k}}>\left(1+1\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{k}\right)=2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{4}{3}\right)\cdots\left(\frac{k+1}{k}\right)=k+1\).

השורה האחת הזו מסיימת את הסיפור. למי שלא הבין את המעבר שבו נעלמים הפלוסים -\(1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}\) באופן כללי, ולכן כאן מתקבל \(1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\) וכן הלאה. המעבר האחרון נובע מכך שהמכפלה שקיבלנו היא "מכפלה טלסקופית" שבה כל איבר מצמצם את האיבר הבא: \(2\cdot\frac{3}{2}=3\), ו-\(3\cdot\frac{4}{3}=4\) וכן הלאה.

הוכחה אלגנטית ומקסימה נוספת מתבצעת בשלילה: מניחים שהטור ההרמוני אכן מתכנס למספר ממשי \(S\) כלשהו, ומשתמשים במניפולציות שמותר לבצע על טורים מתכנסים כדי להגיע לסתירה. הרעיון פשוט: אם \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots=S\) אז אפשר לכפול את שני האגפים בחצי ולקבל \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\dots=\frac{S}{2}\). שימו לב שבאגף שמאל יש לנו בדיוק את האיברים ה"זוגיים" של הטור ההרמוני והם מתכנסים בדיוק למחצית מסכום הטור ההרמוני. מסקנה? גם האיברים הנותרים, האי זוגיים, מתכנסים למחצית הטור ההרמוני, כלומר \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots=\frac{S}{2}\). אלא מה? כל איבר בטור האי זוגיים גדול ממש מהאיבר המתאים לו בטור הזוגיים: \(1>\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}>\frac{1}{4}\) וכן הלאה. על כן לא ייתכן שסכום שני הטורים זהה – ההפרש חייב להיות לפחות \(\frac{1}{2}\)! (כי ההפרש בין שני האיברים הראשונים הוא \(\frac{1}{2}\) והאיברים הבאים רק מגדילים אותו).

הערה או שתיים לסיום החלק המתמטי. ראשית, חבל להזכיר את התבדרות הטור ההרמוני בלי להזכיר הקשר רחב יותר שבו הטור ההרמוני מופיע – פונקצית הזטה של רימן, שמוגדרת כ-\(\zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\) עבור \(s>1\) (ובאופן יותר מחוכם עבור ערכים אחרים של \(s\), כולל מרוכבים). התבדרות הטור ההרמוני מראה כי \(\zeta\left(1\right)=\infty\), ואפשר לנצל את התופעה הזו, למשל, כדי להוכיח (בצורה מסובכת יחסית, אמנם) את קיומם של אינסוף ראשוניים; ווריאציה מחוכמת על ההוכחה הזו מובילה למשפט דיריכילה על ראשוניים בסדרות חשבוניות. בקיצור, מדובר בנושא מעניין.

עוד דבר הוא שיש דברים "חלשים יותר" מהטור ההרמוני שעדיין מתבדרים. הדוגמה הקלאסית היא הטור \(\sum\frac{1}{p}\) שבו משתתפים רק אותם איברים של הטור ההרמוני שמתאימים למספרים ראשוניים. במובן מסויים זה מראה כי יש כמות "אינסופית גדולה יחסית" של ראשוניים (ומצד שני, כדאי לזכור שכמות הראשוניים איננה מאותו סדר גודל של כמות הטבעיים אלא בערך לוגריתמית).

אוקיי, בואו נעבור לטרחנות. כאמור. מה אפשר לומר על מי שטוען שהטור מתכנס? ראשית, צריך לברר איתו האם הוא מדבר על אותו מושג התכנסות כמונו. יש תורה עשירה ויפה שעוסקת בטורים שמתבדרים על פי ההגדרה הקלאסית, אבל קיימות הגדרות מוכללות להתכנסות שעל פיהן הם אכן מתכנסים. כך למשל הטור \(1-1+1-1+1-\dots\) הידוע לשמצה אינו מתכנס בהגדרה הקלאסית, אך כן יש משמעות מסויימת לאמירה שסכומו הוא \(\frac{1}{2}\) (לא אכנס לכך כעת, אבל אינטואיציה כפולה: ראשית, הסכומים החלקיים של הטור הם \(1,0,1,0,\dots\) והממוצע שלהם הוא \(\frac{1}{2}\); שנית, אם מפתחים את \(\frac{1}{1-x}\) לטור פורמלי מקבלים \(1+x+x^{2}+\dots\) וכשמציבים \(x=-1\) מקבלים את הטור המדובר, וכשמציבים ב-\(\frac{1}{1-x}\) את הערך \(x=-1\) מקבלים \(\frac{1}{2}\)).

בדיון עם טרחנים לרוב כאן יקיץ הקץ על המתמטיקה – הם לא יספקו אף פעם הגדרה כלשהי ל"התכנסות", ולו בגלל שהגדרה כזו תקבע כללי משחק שעל פיהם הם מפסידים. בדרך כלל הם יעברו לשימוש בטרמינולוגיה הפרטית שלהם. הבה ונעבור לתיאור קצר של הדיון בפורום, עם אחד המכנה את עצמו א. עצבר (שם שודאי יהיה מוכר לכל מי שעוקב קצת אחרי דיוני מתמטיקה באינטרנט הישראלי), על הטור ההרמוני (דיון שהתפתח מדיון על נושאים אחרים, כמו זה שפאי אינו קבוע אלא משתנה ושאין מספרים אי רציונליים). הטיעון מתחיל ב:

ויש עוד אגדה, והיא טוענת שאין מספר גבול, לסכום מספרי תג שאין להם סוף.

"מספרי תג" בהקשר זה הם פשוט הופכיים של מספרים טבעיים. כלומר, \(n^{\prime}=\frac{1}{n}\). דומני שהסימון הזה איננו המצאה של עצבר, אך בכל מקרה הוא איננו סטנדרטי ואין שום טעם להשתמש בו בהקשר הנוכחי. זו המחשה להבדלי הטרמינולוגיות בין המתמטיקאי והטרחן – בין מי שרוצה שיבינו אותו, ובין מי שלא ברור מה הוא רוצה. כמובן שגם הדיבורים על "אגדה" אינם מבשרים טובות.

הטיעון נמשך ב:

אני מחזיק בדעה כי הטור ההרמוני מתכנס, והשערתי היא שהוא מתכנס ל 137.

זה כמובן לגיטימי לכשעצמו, רק תלוי מהם הנימוקים. אלא שהם כלל לא מגיעים בשום שלב שהוא. אם כן, מתבקש להציג את אחת מההוכחות שלעיל. אז מה שעושים הוא לנסות להציג לעצבר את הגרסה בת השורה האחת של שיטת קיבוץ האיברים (הדבר הראשון שהראיתי). התגובה לכך היא מרתקת:

ההוכחה הזו הופכת דעכן לטור מונוטני, אבל הפיכה זו אינה אפשריתזו אינה הוכחה.

א.עצבר.

שימו לב להכנסת המושג החדש "דעכן" (מושג שאינו קיים בשום מקום, למיטב ידיעתי) ולאופן שבו הפסילה נעשית – הפיכה זו אינה אפשרית, וחסל. כמו תמיד, הקו המפריד בין טרחן ומתמטיקאי אינו כה מובהק – גם מתמטיקאי יכול לפסול הוכחות שמבוססות על מניפולציות של טורים; אלא שהמתמטיקאי ככל הנראה יספק הפניה או אזכור כלשהו של הסיבה לכך שהמניפולציות אינן חוקיות, למשל משפט רימן. מניפולציית כינוס האיברים של הטור ההרמוני היא חוקית לחלוטין, וכבר הראיתי דרך פשוטה לחשוב עליה שאינה כוללת התעסקות עם טורים אינסופיים כלל, כך שהפסילה של עצבר לא קשורה למציאות – אבל היא נחרצת לחלוטין, ופשוט מתעלמת מתוכן ההוכחה.

השלב הבא בדיון עם הטרחן הוא לבקש ממנו, אם כן, להתייחס לתוכן ההוכחה. התגובה שלו פשוטה – חזרה על ההוכחה בטרמינולוגיה שלו, וסיום עם משפט המחץ:

זו בערך ההוכחה שאתה מציג, ואני משאיר לך למצוא לבד את נקודת התורפה שלה.

זו הנקודה שבה אי אפשר שלא להתחיל לתהות האם הטרחן אינו סתם טועה, אלא ממש מנסה ללעוג למתדיינים עמו (אפשרות סבירה בהחלט).

אבל אז הדיון (אחרי עוד כמה וכמה הודעות מבוזבזות) מגיע לתפנית מפתיעה – עצבר כותב פירוט של הנימוק שלו לכך שהטור מתכנס, והנימוק הזה הוא מרתק. אצטט קטע מדיאלוג ארוך שעצבר כותב כדי להמחיש את הרעיון:

לוי: הדעכן ההרמוני הזה 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8'מתחיל עם מספרי הדעיכה הבאים 66.0 75.0 8.0 0.833 0.86 0.87

ראובן: אני רואה שמספר הדעיכה מתחיל ב 0.66 והוא נוסק לעבר 1

לוי: אם מספר הדעיכה ישאר 0.66 יש נוסחה לחישוב הסכום

ואם מספר הדעיכה יגיע ל 0.75 וישאר קבוע, יש נוסחה לחישוב הסכום

ואם מספר הדעיכה יגייע ל 0.8 וישאר קבוע, יש נוסחה לחישוב הסכום

לכן, שינוי מספר הדעיכה לא משנה את העובדה שיש לדעכן מספר סכום, אבל כאשר מספר הדעיכה משתנה, אין לנו נוסחה לחישוב הסכום.

מה שמכונה "מספרי דעיכה" הם היחסים בין איברים עוקבים בסכום. אכן, \(\frac{1}{3}/\frac{1}{2}=0.66\dots\), ו-\(\frac{1}{4}/\frac{1}{3}=0.75\dots\) וכן הלאה. עוד אומר עצבר נכון שאם "מספר הדעיכה" של טור הוא קבוע, אז הטור מתכנס – זו דרך מסובכת להציג את המושג המוכר של טור הנדסי מתכנס. למעשה, צריך להיות מדוייקים – "מספר הדעיכה" של הטור צריך להיות קבוע וקטן מ-1 (הטור \(1+2+4+8+\dots\) הוא טור הנדסי בעל "מספר דעיכה" 2 והוא אינו מתכנס). אלא שעצבר מבצע כעת קפיצה מחשבתית איומה: המחשבה שאם עבור מספר דעיכה קבוע הטור מתכנס תמיד, זה אומר שגם עבור מספר דעיכה משתנה הטור מתכנס תמיד – טענה שגויה לחלוטין. והוא עוד מגדיל לעשות ואומר:

כל דעכן דועך אל האפס,יש דעכן הדועך אל האפס במספר דעיכה קבוע

ויש דעכן הדועך אל האפס במספר דעיכה משתנה

ואיזה הבדל עקרוני יכול להיות בינהם ?

איזה הבדל? כל ההבדל שבעולם! ההבדל בין טור מתכנס וטור מתבדר! וזו מהות השגיאה של עצבר – חוסר היכולת לבצע את ההבדלה הזו. הקפיצה הגסה הזו מעל דברים "מובנים מאליהם" שבעצם אינם מובנים כלל מאליהם ודורשים הצדקה קפדנית. זה לב הבעיה – לא השימוש בטרמינולוגיה פרטית וגם לא היוהרה והדיבורים על "אגדות" וכדומה – אלא עצימת העיניים כאשר העובדות לא מסתדרות עם התיאוריה.

לסיום רק אעיר שבאופן כללי הטעות שעצבר מבצע היא טעות נפוצה למדי בקרב מי שעדיין לא פיתח אינטואיציה מתמטית סבירה. עצבר מבצע קפיצה מחשבתית מהצורה "אם משהו מתקיים לכל מספר טבעי, הוא מתקיים גם באינסוף". במקרה שלו – אם "נקפיא" את מספר הדעיכה של הטור אחרי מספר סופי של צעדים, הטור יתכנס; אז אם זה קורה כשמקפיאים בכל שלב, למה שזה לא יתכנס גם כשהולכים לאינסוף?

שגיאה דומה (אבל בלבוש ערמומי יותר) צצה במקומות רבים במתמטיקה שבהם משתמשים באינסוף. אתן דוגמה או שתיים. ראשית, נניח שיש לנו סדרה \(a_{n}\), ומתקיימת התכונה שלכל \(n\) טבעי, מתקיים \(\inf\left\{ a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right\} >0\), כלומר האינפימום של \(n\) האיברים הראשונים בקבוצה הוא גדול מאפס. האם ניתן להסיק מכך שהאינפימום של הקבוצה כולה גדול מאפס? בפירוש לא, והסדרה \(a_{n}=\frac{1}{n}\) מראה זאת בבירור (מה שכן ניתן לעשות הוא לומר שהאינפימום של הקבוצה כולה הוא גדו או שווה לאפס).

דוגמה מתחום שונה לגמרי – בתורת החישוביות מראים כי כל שפה שיש בה רק מספר סופי של מילים היא כריעה (שפה היא קבוצת מילים; להכריע שפה פירושו להריץ אלגוריתם שבהינתן מילה תמיד מסיים את ריצתו עליה ואומר אם היא שייכת לשפה או לא). עכשיו בואו ניקח שפה \(L\) כלשהי ונסתכל על \(L_{n}\) – כל המילים ב-\(L\) שאורכן לכל היותר \(n\). אז כל \(L_{n}\) שכזו היא כריעה, אבל זה ממש לא אומר ש-\(L_{\infty}\) (שהיא בעצם \(L\)) תהיה גם כן כריעה, כי ייתכן מאוד ש-\(L\) המקורית לא הייתה כריעה. כאן שוב הזינוק מ-\(n\) עד לאינסוף הורס לנו את הכל. האינסוף הוא יצור חמקמק.

זה כמובן לא אומר שאף פעם לא ניתן לבצע את הזינוק הזה. דוגמה ידועה היא משפט הקומפקטיות מלוגיקה – אם יש לנו אוסף אינסופי של פסוקים, וכל תת קבוצה סופית שלהם היא ספיקה, אז גם האוסף כולו ספיק. כאן אכן מספיק להבין מה קורה במקרה הסופי כדי לזנק למקרה האינסופי. קיימות עוד תכונות קומפקטיות שכאלו, אך קיומן הוא אף פעם לא מובן מאליו ותמיד צריך להיות זהירים – וזהירות היא בדיוק מה שחסר לטרחנים המתמטיים, לדעתי. זה, ואולי גם בורג.

הבלוג המתמטי Good Math, Bad Math עושה עבודה מצויינת בכתיבה הן על מתמטיקה אמיתית ומעניינת, והן על טרחנים מתמטיים ושימושים שגויים של המתמטיקה. אלא שלעתים נכתב בו פוסט אנטי-טרחני שנראה לי טרחני בפני עצמו, כמו הפוסט שעליו אני רוצה לדבר הפעם. העניין שלי הוא גם בטרחן שנגדו הבלוג יוצא, שתוקף את האלכסון של קנטור בדרך שלדעתי היא מעניינת – בכך שהיא מעוררת מעט מחשבה על שיטת האלכסון והדרכים שבהן ניתן לנסות ולתקוף אותה (ומדוע הן נכשלות כשלון צורב).

ובכן, הפוסט ב-GMBM עוסק במאמר שזמין לכל כאן. אין לי מושג מיהו הכותב – לכאורה הוא פרופסור למתמטיקה במכללה כלשהי, אך לא הצלחתי למצוא עליו פרטים נוספים פרט לקישור שהוא מספק במאמר עצמו למה שנראה כמו אתר בית טרחני סטנדרטי. המאמר תוקף את שיטת האלכסון של קנטור, ולכן זו הזדמנות טובה להזכיר מהי, בעצם, מעבר לקישור לפוסט שלי בנושא.

קנטור הוכיח שלא ניתן למנות את כל המספרים הממשיים. "מספר ממשי" לצורך העניין הוא ביטוי מהצורה \(0.a_{1}a_{2}a_{3}\dots\) כשה-\(a_{i}\)-ים הם ספרות בין 0 ל-9, וסדרת הספרות נמשכת עוד ועוד עד אין קץ (למשל \(0.3\) ניתן לכתיבה כ-\(0.3000\dots\)). כמובן שיש עוד מספרים ממשיים פרט למספרים הללו (כאלו שבהם משמאל לנקודה העשרונית יש משהו שאיננו אפס) אך אם נראה כי כבר את המספרים שהצגתי לא ניתן למנות, בוודאי שלא ניתן למנות את כולם. "למנות" פירושו להתאים מספר טבעי ייחודי לכל אחד מהמספרים בתחום (כלומר, לשני מספרים שונים בתחום יותאמו שני מספרים טבעיים שונים).

הדרך שבה קנטור מוכיח זאת היא גאונית בפשטותה. קנטור מניח בשלילה שקיימת מניה לכל המספרים הממשיים מהצורה הזו ואז בונה מספר ממשי "חדש" שניתן להוכיח שהמניה לא מצליחה לתפוס. כדי לראות איך בונים את המספר הזה, נסמן את המספר הראשון במניה של קנטור בתור \(0.a_{1}^{1}a_{2}^{1}a_{3}^{1}\dots\), את המספר השני בתור \(0.a_{1}^{2}a_{2}^{2}a_{3}^{2}\dots\) וכן הלאה – כלומר, \(a_{i}^{k}\) פירושו "הספרה ה-\(i\)-ית במספר ה-\(k\)-י במניה". קצת מבלבל, אך הכרחי לתעלול של קנטור. כעת נגדיר ספרה \(b_{i}\) באופן הבא: אם \(a_{i}^{i}=1\), אז \(b_{i}=0\); ואם \(a_{i}^{i}\ne1\) אז \(b_{i}=1\). במילים אחרות, בנינו את \(b_{i}\) כדי להיות שונה מהספרה ה-\(i\) של המספר ה-\(i\) במניה של הממשיים. כעת המספר של קנטור הוא \(0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots\). במילים אחרות, קנטור בנה את המספר כך שהספרה ה-\(i\) שלו תהיה שונה מהספרה ה-\(i\) של המספר ה-\(i\) במניה, ולכן הוא אינו יכול להיות המספר ה-\(i\) במניה – לאף \(i\)! מכאן שהמספר החדש אינו במניה, וסוף הסיפור (אני מרמה כאן באופן קל למדי – יכולה להיווצר בעיה מכך שמספר שנגמר בסדרה אינסופית של \(9\) שקול למספר שנגמר ב-1 ואחריו אינסוף אפסים – אבל אפשר לעקוף את הבעיה הזו בקלות וזה לא פרט שאני רוצה להיכנס אליו כאן). הסיבה שלשיטה הזו קוראים "שיטת האלכסון" היא שאפשר לחשוב על המספרים כאילו הם מסודרים בטבלה, שבה האיבר בשורה ה-\(i\) והעמודה ה-\(j\) הוא \(a_{j}^{i}\), ואז המספר שנבנה, נבנה באופן כזה שהוא יהיה "הפוך" לאלכסון של הטבלה.

אז מה מנסה הטרחן לעשות? ברשותכם, לא אכנס לציטוטים מדוייקים אלא אתאר את הטיעון שלו כפי שאני מבין אותו – ואם אני טועה, אתם מוזמנים לתקן אותי. מה שהטרחן מנסה לעשות הוא ללכת עד הסוף עם השאלה הבסיסית שאני משער שרבים מאיתנו שואלים את עצמם מייד אחרי שהם רואים את ההוכחה של קנטור – "למה זה לא עובד גם עבור רציונליים?"

כי גם רציונליים אפשר לכתוב כפיתוח עשרוני, כמו הממשיים; אבל לעומת הממשיים, קיימת הוכחה (של קנטור עצמו) שהרציונליים כן בני מניה. אם כן, איך ההוכחה של קנטור מתפרקת? ובכן, המספר של קנטור, אותו \(0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots\), לא בהכרח יהיה רציונלי בעצמו, כך שלא נגיע לשום סתירה (הסתירה נובעת מכך שבנינו מספר חדש שהיה אמור להשתתף במניה אך בשל אופן בנייתו ברור כי אינו משתתף בה). זה מעלה את השאלה – מה מבדיל מספר רציונלי מאי-רציונלי, בכל הנוגע לפיתוח העשרוני? והתשובה פשוטה – מספר הוא רציונלי אם ורק אם הפיתוח שלו הופך למחזורי החל משלב מסויים – כלומר, צצה איזו סדרת ספרות סופית כך שאת כל המספר מכאן ואילך ניתן לתאר כחזרה אינסוף פעמים על אותו רצף ספרות (למשל, \(0.43223325000\dots\) הוא רציונלי כי הוא מסתיים בסדרת אפסים אינסופית. וגם \(0.12345678901234567890\dots\) הוא רציונלי כי הוא מורכב מאינסוף חזרות על רצף הספרות \(1234567890\)). אין שום סיבה להניח שהמספר \(0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots\) שבנינו אכן יקיים את תכונת המחזוריות הזו.

יפה, אומר הטרחן – אם כן, הבה ונהנדס את הבניה של קנטור כך שמספר קנטור כן יקיים את תכונת המחזוריות. ליתר דיוק, נגרום לכך שבאלכסון יצוץ מספר רציונלי, ואז גם כשניקח את "ההפך" ממנו (שזה מה שעושים כשבונים את \(0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots\)) נקבל מספר רציונלי (קל למדי להוכיח זאת – נסו!)

בפרט, הטרחן רוצה ליצור באלכסון בדיוק את המספר שתיארתי לעיל – \(0.1234567890\dots\). הדרך שלו לעשות זאת היא על ידי סידור מחדש של השורות. כלומר, אם למשל השורה הראשונה לא מסתדרת עם יצירת המספר הזה, הוא פשוט יחליף אותה עם השורה השניה, וכן הלאה.

איך זה עובד פורמלית? הוא מגדיר "מספר \(n\)-מודולרי", לכל \(n\) טבעי, בתור מספר \(0.a_{1}a_{2}a_{3}\dots\) שהספרה במקום ה-\(n\)-י שלו (כלומר \(a_{n}\)) היא בדיוק \(n\mbox{ mod 10}\) (כלומר, הספרה הימנית ביותר של \(n\) – למשל, אם \(n=123\) אז הספרה היא \(3\)). מספר \(1\)-מודולרי לדוגמה הוא \(0.14345\dots\). מספר \(2\)-מודולרי לדוגמה הוא \(0.3241\dots\) וכן הלאה. העיקרון ברור. עכשיו, אם לכל \(n\), בשורה ה-\(n\)-ית יהיה מספר \(n\)-מודולרי, זה יסיים את ההוכחה של הטרחן: המספר שיווצר באלכסון אכן יהיה רציונלי, וזו תהיה הוכחה לכך שהרציונליים אינם בני מניה (כי אנו מניחים שכל הרציונליים מהצורה \(0.a_{1}a_{2}a_{3}\dots\) משתתפים במניה).

אז איך הטרחן מבטיח שבשורה ה-\(n\)-ית יהיה מספר \(n\)-מודולרי? פשוט מאוד – כאמור, הוא אומר שנסדר את הטבלה מחדש. כאן העניינים מסתבכים. בסעיף 2-9 במאמר שלו, הוא מציע את ה"פרמוטציה" הבאה של הטבלה, שמוגדרת באופן אלגוריתמי כך: מתחילים מטבלת קנטור כלשהי עבור הרציונליים. כעת, עבור השורה ה-\(i\) (החל מ-\(i=1\) וכן הלאה), אם המספר בשורה \(i\) הוא \(i\)-מודולרי עוזבים אותו בשקט. אחרת, מחליפים אותו עם אחת מהשורות שנמצאות אחרי \(i\), שהיא כן \(i\) מודולרית. בפסקה הבאה, 2-10, הטרחן טוען ש"זה מיידי להוכיח שכל שורה של הטבלה הופכת להיות מודולרית כתוצאה מהפרמוטציה", ואני מסכים איתו לחלוטין: התוצר של האלגוריתם הוא טבלה שבה לכל \(n\), השורה ה-\(n\) היא \(n\)-מודולרית. אם כן, איפה נפלה הטעות? זה תרגיל חביב (אם כי לא קשה במיוחד) ואני ממליץ לכם לחשוב עליו קצת בעצמכם לפני שניגש לעניין.

ובכן, אינטואיציה אחת היא שאולי לא תמיד ניתן להחליף שורה שאינה \(i\) מודולרית בשורה שהיא כן \(i\) מודולרית מתוך המשך הטבלה. אלא שהטרחן טרח לדון במפורש בנקודה הזו ולהוכיח שזה אפשרי. בקצרה, הנימוק הוא פשוט: לכל \(i\), יש אינסוף שורות שהן \(i\) מודולריות (כי כל מה שחשוב הוא הספרה במקום ה-\(i\); כל שאר אינסוף הספרות יכולות להיות מה שבא לנו) אבל בכל שלב של סידור הטבלה, סידרנו רק מספר סופי של שורות – לכן יש אינסוף שורות \(i\) מודולריות שעוד לא הגענו אליהן ולכן ניתן לבחור אחת מהן. כמובן, הטרחן מציג זאת בצורה יותר ארוכה ומסובכת, ובפרט מנסה להעניק לה גוון פילוסופי היסטרי משהו: כשהוא מדבר על כך שעבור שורה בטבלה, יש אינסוף שורות שבאות אחריה אבל רק מספר סופי שבאות לפניה, הוא אומר ש-

We will see now a conflictive consequence of this immense and suspicious asymmetry.

קצת מוזר, בהתחשב בכך שאותה א-סימטריה חשודה קיימת גם במספרים הטבעיים (לכל מספר טבעי יש מספר סופי של מספרים טבעיים שבאים לפניו, אבל מספר אינסופי של טבעיים שבאים אחריו).

ובכן, מהי הבעיה עם הבניה? כבר רמזתי על כך קודם: הטרחן טוען שהוא הגדיר "פרמוטציה", אבל התוצר של הבניה שלו איננו פרמוטציה, אלא טבלה "מסוננת", שחסרות בה שורות. דרך פשוטה לראות זאת היא כך: מצד אחד, הטרחן טוען שאחרי שהבניה שלו מסתיימת, כל שורה בטבלה היא \(n\)-מודולרית. אלא שקל מאוד לבנות מספרים שאינם \(n\)-מודולריים, לאף \(n\)! למשל, \(0.0123\dots\) הוא כזה (הספרה במקום מס' 1 היא 0; הספרה במקום מס' 2 היא 1 וכן הלאה). אם כן, לאן המספרים הללו "הולכים" כשמסדרים מחדש את הטבלה? הם פשוט נעלמים ויוצאים ממנה.

זו דוגמה למוזרויות שמתרחשות כשמתעסקים עם האינסוף – דוגמה שלא שונה בהרבה מסיפור המלון של הילברט. לשם המחשה, הנה ה"פרמוטציה" הבאה של המספרים הטבעיים. נתחיל עם קבוצת המספרים הטבעיים כשהיא מעורבבת. כעת נעבור על המספרים בקבוצה לפי סדר הערבוב. אם המספר במקום ה-\(i\) איננו 1, נותיר אותו במקום; אם הוא כן 1, נחליף אותו עם המספר הקטן ביותר מבין כל המספרים שטרם סידרנו. זו בניה שאינה שונה מהותית ממה שהטרחן הציע, וברור שבסיומה 1 לא יהיה בשום מקום בסידור, כי בכל פעם שבה נתקלנו ב-1, העברנו אותו "עוד קצת קדימה". איפה הכשל? השימוש במונח "בסיומה של הבניה" מטעה, כי הבניה נמשכת עד אין קץ, ולכן אם מספר כל הזמן מוזז "קדימה" במהלך הבניה, הוא אף פעם לא יהיה חלק מהפלט של הבניה.

צריך להבהיר שהעובדה שהבניה היא אינסופית לא מונעת מאיתנו לדבר על האובייקט שהוא התוצר ה"סופי" של הבניה, אפילו מבחינה חישובית: בכל פעם שבה אנו רוצים לדעת מה קורה בשורה ה-\(i\) של התוצר הסופי, אנחנו פשוט "מריצים את הבניה" מספיק זמן עד שהיא מסיימת את העבודה על השורה ה-\(i\), ואז מובטח לנו שהשורה ה-\(i\) הזו לעולם לא תשתנה שוב – ומכאן שאנחנו יכולים לקרוא את השורה ה-\(i\) מתוך הטבלה החצי-מוגמרת, וזה יהיה זהה לחלוטין לסיטואציה שבה אנו קוראים את השורה ה-\(i\) מתוך התוצר המוגמר של הבניה. זו דוגמה אחת מני רבות לאובייקטים שנוצרים על ידי תהליך אינסופי, ומוגדרים בתור "גבול" של התהליך הזה – הדוגמאות המפורסמות ביותר הן של פרקטלים, דוגמת קבוצת קנטור, ועקומת פאנו, הראויים לפוסטים בפני עצמם. מה שחשוב לי להדגיש כאן הוא שמדובר בבניה מתמטית לגיטימית – "מותר" לטרחן להגדיר את התהליך שהוא הגדיר ולדבר על התוצרים שלו; הוא פשוט לא יכול להעמיד פנים שהתוצר הוא פרמוטציה. הוא לא, בלי קשר לקנטור או מספרים אי רציונליים או לכל דבר אחר – מספיקה ההבחנה שכל מספר שאיננו \(n\)-מודולרי לאף \(n\) לא מופיע בתוצר, למרות שהוא יכל להופיע במקור. לכן אין זה מפתיע שאחרי ה"סידור מחדש" הזה של הטבלה יהיו מספרים רציונליים שאינם מופיעים בה. למעשה, הטענה של הטרחן הופכת לטריוויאלית – ה-\(0.b_{1}b_{2}b_{3}\dots\) ("היפוך" האלכסון) שנבנה מהטבלה אחרי הסידור מחדש שלה הוא מספר שבבירור איננו \(n\) מודולרי לאף \(n\) (למה?) ולכן מן הסתם הוא לא יופיע בטבלה, שהרי "סיננו" מהטבלה את כל המספרים שאינם \(n\)-מודולריים לאף \(n\)!

ועכשיו אהיה טיפה חריף ואצהיר במפורש שלדעתי, מי שאיננו מסוגל להבין את הטיעון שכתבתי לעיל ואיננו מסוגל לחשוב עליו בעצמו, אסור שיעבוד בהוראת מתמטיקה או יעסוק בה בשום צורה שהיא. לכן אני לא מהסס לקרוא לטרחן "טרחן". ואתן ציטוט נוסף של הטרחן כדי להבהיר עד כמה המאמר הזה מחוצף בעיני, מפסקה 2-5 שלו – הציטוט הזה הוא "המסקנה" שהטרחן מנסה לגזור מהמאמר שלו:

Cantor's diagonal argument and all its formal consequences should be suspended until it is proved the impossibility of defining a rational antidiagonal in all possible reorderings of T's rows.

לא פחות – יש "להשעות" את האלכסון של קנטור עד שיוכיחו לטרחן שאי אפשר לעשות את מה שהוא מנסה לעשות. בדומה יש להשעות את הטענה ש-\(0.999\dots=1\) ואת כל המסקנות ממנה עד שיוכח שאין דרך לחשב את הגבול שמגדיר את \(0.999\dots\) באופן שבו לא יצא 1, ויש להשעות את המשפט היסודי של האריתמטיקה עד שלא יוכח שאין דרך לכתוב מספר כשתי מכפלות שונות מהותית של ראשוניים, וכו' וכו'. יומרנות כזו היא סימן היכר מובהק של טרחנים, שמנסים לבטל בהבל פיהם את כל המתמטיקה כי משהו לא מסתדר להם בראש.

טוב, סיימנו עם הטרחן. אבל למה GMBM כל כך הרגיז אותי? בגלל הצורה שבה הוא עונה לטרחן. גם הוא טוען, כמובן, שהבעיה היא עם הסידור-מחדש של הטבלה. אבל אז הוא מפרט:

Why not? Because the construction of the re-ordering is invalid… The re-ordering is, itself, self-contradictory.

Here's the problem: you're constructing a chosen rational number. That is, you know what rational number you're re-ordering the rows to create. Since it's a rational, it's got to be in the table. And since you know what rational it is, you've got to know what row in the table it's going to be. So go look at that row.

By the definition of the diagonalization, the value of the diagonal must be different from the value of any of the rows by at least one digit. So the rational number that you're forming must be different from itself by at least one digit.

Bzzt. No good. The re-ordered rational diagonalization is self-contradictory. In fact, it's a classic self-referential foulup.

אין כאן שום התייחסות לכשל שהצבעתי עליו. שום דיבור על כך שהפרמוטציה אינה פרמוטציה. שום הסבר לגבי זה שהסידור מחדש זורק שורות לפח. מה שהוא טוען, בפשטות, הוא שהבניה לא עובדת, בגלל… שהיא סותרת את קנטור.

אבל זה בדיוק מה שהטרחן ניסה להוכיח!

מה ש-GMBM אומר הוא שבהינתן המספר הרציונלי של האלכסון (שוב – לא המספר שעל האלכסון בפועל אלא מה שמתקבל ממנו אחרי שמשנים את הספרות בהתאם) יופיע גם בטבלה איפה שהוא; ולכן אם נלך לשורה המתאימה לו בטבלה, נגלה שיש סתירה בשורה הזו (אם זו השורה ה-\(n\)-ית, הסתירה תהיה בספרה ה-\(n\), כרגיל). כל זה טוב ויפה ובדיוק מה שקנטור אומר, אבל זה לא מתייחס לטיעון של הטרחן. אם הבניה של הטרחן הייתה חוקית מכל מבחינה אחרת, אז בשלב הזה היינו מבינים שיש בעיה עמוקה, יסודית, פרדוקסלית בתורת הקבוצות ובטיעון של קנטור. מה ש-GMBM עושה שקול למישהו שמנפנף את הפרדוקס של ראסל בכך ש"הקבוצה שבנית לא הגיונית אז אתה טועה". אי אפשר לפסול כך טיעונים. אפשר להגיד שהם מאוד לא סבירים אם הם סותרים הוכחה פשוטה כמו של קנטור; ואפשר להגיד שאנחנו עצלנים מכדי לטרוח ולחפור במאמר ולחפש את הטעות שבו, כי אין לנו שום סיבה עקרונית להניח שהוא נכון; אבל אי אפשר להגיד שהמאמר לא נכון על בסיס הסתירה הזו – צריך להתייחס לתוכן הדברים.

אני רוצה להבהיר את הנקודה הזו – אף אחד לא חייב לקרוא את הטרחנים. לרוב זו מלאכה סיזיפית וחסרת טעם. בפרט, אם הטרחן כותב מאמר של מאות עמודים, או שהוא משתמש בטרמינולוגיה מקושקשת ולא ברורה, אין סיבה להתאמץ, ואפשר פשוט להתעלם – אבל אם כבר בוחרים לתקוף ולא להתעלם, צריך להתייחס לגוף הטענות של הטרחן (ובמקרה הנוכחי זה קל למדי – המאמר קצר, כתוב בצורה פחות או יותר בהירה, והשגיאה המרכזית בו זועקת לשמיים).

כל זה לא היה מרגיז כל כך, אלמלא עיקר ההתקפה של GMBM על טרחני-קנטור הייתה שהם לא טורחים להתייחס לגופה של ההוכחה של קנטור:

You see, 99 times out of 100, Cantor cranks claim to have some construction that generates a perfect one-to-one mapping between the natural numbers and the reals, and that therefore, Cantor must have been wrong. But they never address Cantors proof. Cantors proof shows how, given any purported mapping from the natural numbers to the real, you can construct at example of a real number which isn't in the map. By ignoring that, the cranks' arguments fail: Cantor's method still generates a counterexample to their mappings. You can't defeat Cantor's proof without actually addressing it.

ולכן השאלה היא – אם לא ניתן להביס את קנטור מבלי להתייחס אליו, האם ניתן להביס טרחנים מבלי להתייחס אליהם? זה מצביע אולי על הבעיה הגדולה ביותר עם טרחנים – הם שוברים את כללי המשחק. אם אני, בתור מישהו שמסכים שקנטור צודק, הייתי מוכיח משפט שסותר את קנטור, הדבר היה מרים אצלי גבה והייתי מחפש את השגיאה אצלי. לעומת זאת, טרחנים מנסים מראש להראות שהשגיאה היא אצל קנטור, ולכן לא ניתן לפטור אותם ב"אבל קנטור צודק". מכיוון שלרוב לפשפש בהוכחה שלהם ולמצוא את השגיאה/ההגדרה הלא נכונה זה עניין מייגע ומתיש, הדרך הנכונה לטפל בטרחנים היא פשוט להתעלם. כל זה תקף כמובן למתמטיקאים "רגילים" – מי שכותב בלוג מתמטי וכולל בו פוסט על טרחן, אבל לא טורח לקרוא את הטרחן, מתקרב בצורה מסוכנת לאיזור הטרחנות בעצמו.