על כדורים שטוחים וחצאי הרים

יש אנשים שאם מביאים להם כדור, נאמר כדור הארץ, מייד מתחילים להגיד שלא! זה שטוח! זה מישור! כי הנה, תראו, אני עומד על הכדור, ואני מסתכל לכל הכיוונים, ולכל אשר אני מסתכל, הכל שטוח! אז זה מישור! לא כדור! לאנשים … להמשיך לקרוא

החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ("שיטת ההצבה")

היעד הנוכחי של סדרת הפוסטים שלי על אנליזה וקטורית הוא משפט כבד למדי – משפט החלפת המשתנים. אבל לפני שנצלול למעמקים הטכניים שלו, בואו נחזור לרגע לחדו"א של משתנה יחיד ונדבר על איך משפט החלפת המשתנים נראה שם, גם כי … להמשיך לקרוא

אינטגרלים כפולים, משולשים ו-d-ממדיים

בסדרת הפוסטים שלי על אנליזה וקטורית סיימנו לעת עתה לדבר על נגזרות, ואנחנו עוברים אל עמוד התווך השני של האנליזה – אינטגרלים. הדיון באינטגרלים מתחלק לשלושה שלבים: בשלב הראשון, שהוא מה שנעשה הפעם, אנחנו לוקחים את אינטגרל רימן התמים והנחמד … להמשיך לקרוא

רקורסיה

הבדיחה הידועה אומרת שבמילון ההגדרה של רקורסיה היא "עיין ערך רקורסיה". אבל כנראה שזה לא מספיק טוב, כי ביקשו ממני פוסט על רקורסיות, וספציפית על רקורסיות במדעי המחשב. כך שהפוסט הזה הולך להיות עם מבוא כללי לא טכני, ואחר כך … להמשיך לקרוא

משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות

פרק ראשון, ובו בקושי התחלנו וכבר אנחנו מעגלים פינות בואו נדבר על מעגל. מעגל הוא הצורה החביבה עלינו. אנחנו אוהבים את המעגל. מהו המעגל? עבורנו זה אוסף כל הנקודות ב-\(\mathbb{R}^{2}\) שמרחקן מנקודה נתונה ("המרכז") הוא זהה (ונקרא "הרדיוס" של המעגל). … להמשיך לקרוא

אנליזה וקטורית – מציאת ערכי קיצון

חלק ראשון, שבו אנו מוצאים ערכי קיצון מקומיים אחד מהשימושים הראשונים של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, שאפשר להציג כבר בשלב מוקדם יחסית, כבר אחרי שראינו מהי נגזרת, הוא פתרון בעיות אופטימיזציה. למשל, מה הזווית הטובה ביותר שבה כדאי לזרוק כדור אם … להמשיך לקרוא

אז בנוגע למתמטיקה ובית הספר…

עד היום נמנעתי כמעט לגמרי מהתייחסויות בבלוג אל מה שהוא אולי הדבר החשוב ביותר למרבית הציבור בכל הנוגע למתמטיקה – האופן שבו נלמדת מתמטיקה בבתי הספר. האדם הממוצע הולך לפגוש את המתמטיקה כמעט אך ורק במסגרת הזו, והמסגרת היא זו … להמשיך לקרוא

האם גוגולפלקס הוא הסמל של סוף המספרים? (לא)

לפני מספר ימים נתקלתי בספר בשם "מתמטיקסם" של יעל רוטנברג. למי שרוצים להתרשם ממנו, הנה לינק לצילומי מסך ממנו בעמוד הפייסבוק של הספריה הלאומית. כפי שניתן לראות שם, וכפי שגם אני התרשמתי בעלעול שלי, מדובר על ספר נחמד מאוד שמציג … להמשיך לקרוא

אנליזה וקטורית – תכונות בסיסיות של הנגזרת

אז הכרנו את הנגזרת של פונקציה \(f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}\) וראינו איך אפשר לחשב אותה באמצעות נגזרות חלקיות. בואו נעבור עכשיו לכמה תוצאות תיאורטיות כלליות וקלות יחסית, כדי שנתרגל; עד סוף הפוסט נגיע להצגת תוצאה לא טריוויאלית ושימושית – משפט הפונקציה ההפוכה. אבל … להמשיך לקרוא

משפט קוק-לוין

חור מטריד שקיים בבלוג ואני מתכוון להשלים כעת הוא תיאור והוכחה של אחד מהמשפטים הבסיסיים והחשובים ביותר בתורת הסיבוכיות – משפט קוק-לוין. אף שכבר תיארתי את הבסיס לתורת הסיבוכיות בעבר, וגם הראיתי תוצאות מסובכות יותר מקוק-לוין, איכשהו המשפט הזה חמק … להמשיך לקרוא

התעלומה המסתורית של הנער המבריק, יחס הזהב והנוסחה השגויה במוזיאון

העיתונים – גם אתר Nrg, אבל גם אתרים לא ישראליים – מספרים סיפור יפה. נער בן 15 (יהודי, טורחים לציין ב-Nrg, איך לא) מבקר במוזיאון המדע בבוסטון. מגיע לתערוכה על מתמטיקה, ומזהה שם משוואה שנראית לו – הצעיר המבריק – … להמשיך לקרוא

אנליזה וקטורית – נגזרת ונגזרת חלקית

אחרי פוסט המבוא שבו הבטחתי גדולות ונצורות, בואו נעבור לאקשן. כאמור, אני מניח ידע קודם אצל הקוראים, הן באינפי של פונקציות ממשיות והן באלגברה לינארית (עד וכולל מכפלות פנימיות) כך שלא אציג מחדש את המושגים הללו. אלא אם יש ערך … להמשיך לקרוא

אנליזה וקטורית – מבוא

בזמנו כתבתי בבלוג סדרת פוסטים על חשבון אינפיניטסימלי. הצגתי בסדרה הזו את שלושת המושגים הבסיסיים שעליהם החשבון האינפיניטסימלי נשען – הגבול, הנגזרת והאינטגרל – אבל לא הלכתי יותר מדי רחוק אחר כך (אפילו לנושא כמו טורים לא הגעתי). בעקבות בקשה … להמשיך לקרוא

על משחקים ומספרים (חלק ב': מספרים. וקצת משחקים)

בפוסט הקודם התחלתי לבנות קבוצה של מספרים שהמוטיבציה אליהם הגיעה איכשהו מתוך משחקים קומבינטוריים. כזכור, הבניה הייתה פשוטה להפליא: כל מספר מיוצג על ידי אובייקט מהצורה \(\left\{ L|R\right\} \) כאשר \(L,R\) הן קבוצות, וכלל הבניה שלנו הוא ש"מספר" הוא אובייקט … להמשיך לקרוא

על משחקים ומספרים (חלק א': משחקים. וקצת מספרים)

בראשית ימי הבלוג, חלק מהפוסטים הראשונים שפרסמתי עסקו או בתורת המשחקים, או בבנייה השיטתית של מערכות המספרים המרכזיות במתמטיקה (הטבעיים, השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים). אני רוצה עכשיו לחזור לנושאים הללו באופן שאיכשהו מצליח לחבר את שניהם, בהתבסס על שני ספרים … להמשיך לקרוא

משפט קלייני – הוכחה נוספת

אולי המשפט המרכזי בסדרת הפוסטים שלי על שפות רגולריות היה משפט קלייני. כזכור, שפה רגולרית היא שפה שקיים אוטומט סופי דטרמיניסטי שמקבל אותה, אבל משפט קלייני נתן אפיון שונה לגמרי עבורה, שאפשר לנו להבין מה המבנה הכללי של אוסף השפות … להמשיך לקרוא

למת הניפוח לשפות רגולריות – גרסה מלאה

הצגתי כאן בעבר את למת הניפוח לשפות רגולריות, ואני רוצה לחזור עכשיו לנושא ולהציג גרסה נוספת, מוכללת, של הלמה – גרסה שהיא חזקה מספיק כדי לתת לנו תוצאת "אם ורק אם". כזכור, למת הניפוח נתנה לנו תנאי הכרחי לכך ששפה … להמשיך לקרוא

משפט מייהיל-נרוד – נקודת מבט נוספת, ואלגוריתמי מינימיזציה

בכל הנושא של תורת השפות הפורמליות, המשפט החביב עלי הוא משפט מייהיל-נרוד. כל כך חביב עלי, שבפוסט הזה אני הולך להציג אותו שוב, ובצורה שונה מזו שבה הצגתי אותו בפוסט הקודם שלי בנושא. שתי נקודות המבט על המשפט הן דואליות … להמשיך לקרוא

בעיות הכרעה עבור שפות פורמליות

כל מה שעשיתי עד כה בפוסטים על שפות פורמליות היה, במובן מסויים, "בתוך" המודלים שהצגתי – זה של אוטומט סופי עבור שפות רגולריות, וזה של דקדוקים חסרי הקשר ואוטומטי מחסנית עבור שפות חסרות הקשר. כל הדברים שעשיתי נעשו בעזרת המודלים … להמשיך לקרוא

שפות חסרות הקשר – תכונות סגור

הפוסט הקודם שלי על שפות חסרות הקשר היה כבד יחסית, אז בואו נישאר הפעם במסגרת הדברים הקלילים. אני ממשיך עם ההקבלה שלנו לשפות רגולריות, והגענו לשלב שבו אנחנו מוכיחים כל מני תכונות סגור שונות ומשונות – פעולות שאפשר להפעיל על … להמשיך לקרוא