המחט של בופון

היום חל "יום פאי", כלומר תאריך היום הוא ה-14/3, שבארצות פחות מתוקנות נכתב כ-3.14, כלומר כמו התחלת הפיתוח העשרוני של הקבוע \(\pi\), פאי (היחס בין היקף מעגל לקוטרו בגאומטריה האוקלידית) – ומכאן, תירוץ לחגוג ולאכול פאי עם פאי. מבחינתי זה … להמשיך לקרוא

הפנטגרמה והפיתגוראים

על מה אתם חושבים כשאתם רואים את הסמל הבא? באופן מצער למדי, הסמל הזה – פנטגרמה – הפך בימינו למזוהה עם כת השטן והפך למעט מוקצה מחמת מיאוס (כמובן, הרבה פחות מאשר סמל אחר, ההוא שההודים משתמשים בו זה אלפי … להמשיך לקרוא

למה לא רציונלי לדבר על לא רציונליים (באינסוף)

עיתון "הארץ" עשה מעשה נאה ופרסם מאמר על מושג האינסוף. על כך יבורך; כל מאמר על נושא מדעי/מתמטי הוא דבר רצוי וראוי. המאמר הוא תרגום של מאמר מהניו-יורק טיימס של אחת, נטלי אנג'ייר, שכבר כתבתי בעבר פוסט נזעם על ספר … להמשיך לקרוא

ראשוני מחוץ לחוק

האם מספר ראשוני (או סתם מספר) יכול להיות לא חוקי? בהחלט, וזה הסיפור שאני רוצה לספר היום, שהוא גם משעשע, גם מערב מתמטיקה לא טריוויאלית וגם מערב קצת להטוטי מדעי המחשב. תחילת הסיפור היא עם דיסקי ה-DVD. דיסקים מסחריים מגיעים … להמשיך לקרוא

2=1+1

בואו נדבר על הקלישאה הגדולה ביותר שמשוייכת למתמטיקה: "\(1+1=2\)". אתם תראו את זה בכל מקום, בתור האמת הנצחית הבסיסית ביותר של המתמטיקה. הדבר הזה שאם מתכחשים לו, מתכחשים לאמת האובייקטיבית שאולי קיימת ואולי לא. העקרון הבסיסי ביותר הזה שאין עוררין … להמשיך לקרוא

מהם המספרים הממשיים?

בהמשך לפוסט הקודם, אני מתחיל כעת בסדרת הפוסטים שתנסה לתאר בצורה פשוטה את יסודות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ברמה שתתאים גם לתלמידי תיכון, ואנחנו חייבים להתחיל מלתאר את ה"עולם" שבו פועל החשבון הזה – עולם שכוכביו הראשיים הם מה שנקרא "המספרים … להמשיך לקרוא

נעים להכיר – אקספוננט

בפוסט הזה אני רוצה לדבר על אחת הפונקציות החשובות והמרכזיות במתמטיקה – פונקצית האקספוננט, או כפי שבדרך כלל מכירים אותה בימינו, \(e^{x}\). בראש ובראשונה זו תהיה גם היכרות עם הקבוע \(e\) שב"בסיס" הפונקציה, וגם הסבר מדוע היא מצורה זו בכלל. … להמשיך לקרוא

יום פאי שמח!

ה-14 במרץ זכה לשם המגוחך "יום פאי" בגלל ש-\(\pi\) מתחיל בספרות \(3.14\). לרוב נהוג לחגוג את היום הזה בזלילות של פאי (שעליו ציור של \(\pi\)), אך אני אנצל אותו כדי להעלות פוסט העוסק, איך לא, בפאי. ספציפית, באופן שבו פאי … להמשיך לקרוא

עוד כמה דברים על מספרים p-אדיים

בפוסטים הקודמים הצגתי שתי דרכים, כל אחת טבעית בדרכה שלה, להגיע אל אובייקט מוזר בשם "שדה המספרים ה-p-אדיים" (לכל ראשוני \(p\) יש שדה משלו). כעת אני רוצה לתאר כמה תכונות של היצור הזה כדי להיווכח שהוא אכן מוזר, וגם מעניין … להמשיך לקרוא

מספרים p-אדיים – בניה "אנליטית"

בפוסט הקודם הצגתי דרך "אלגברית" לבניית שדה המספרים ה-p-אדיים. הפעם אני רוצה להציג דרך שונה לחלוטין שמביאה בדיוק לאותה תוצאה, ונתחיל במוטיבציה – בניית המספרים הממשיים מתוך המספרים הרציונליים. יש שתי בניות מפורסמות לממשיים: האחת, של דדקינד, מסתמכת על כך … להמשיך לקרוא

אז מהו שדה המספרים ה-p-אדיים?

בפוסט הקודם דיברתי על משוואות דיופנטיות, והפעם אגש ישר לעניין. נניח שמבקשים מאיתנו לפתור את המשוואה \(x^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7\right)\). אפשר לשאול למה בכלל ידוע שיש למשוואה הזו פתרון, ואפשר לדבר על דרכים כלליות לפתור אותה, אבל לא אכנס לכך כרגע – … להמשיך לקרוא

אז מתי אפשר לבנות מצולע משוכלל עם סרגל ומחוגה, ומה הקשר למספרי פרמה?

כעת אני מגיע לפואנטה שחתרתי אליה בפוסטים האחרונים שבהם דיברתי על שורשי היחידה – קריטריון שלפיו ניתן לדעת מתי מצולע משוכלל ניתן לבניה באמצעות סרגל ומחוגה (מהי בדיוק בניה בסרגל ומחוגה תיארתי בפוסט עוד יותר מוקדם). בדומה לבעיות של ריבוע … להמשיך לקרוא

שורשנו באחדותנו

בפוסטים האחרונים הראיתי כיצד ניתן להשתמש במושג של הרחבת שדות כדי לחסל שלוש מהבעיות ה"קלאסיות" של בניה בסרגל ומחוגה ולהראות שהן פשוט בלתי אפשריות. נתבקשתי לדבר גם על בעיה רביעית – הבעיה של בניית מצולע משוכלל (מצולע שכל צלעותיו וכל … להמשיך לקרוא

רוצים לחלק באפס? אין בעיה! (אין כלום, בעצם)

אני עוקב פה ושם אחרי המטורפים שאיתם נאלץ מרק, הכותב המסכן של Good math, bad math להתמודד. הפעם  הוא נאבק בברנש שעוסק בחלוקה באפס – "First off, 1/0 is infinity". כפי שמרק אומר בבלוג, כבר כאן צריך לקטוע את הברנש … להמשיך לקרוא

1=…0.999

המוטיבציה הראשונית שלי לעיסוק בנושא הנוכחי מגיעה משאילתת חיפוש כושלת שהביאה נפש תועה לאתר – במקרה הזה, לגבי הפיתוח העשרוני של מספרים רציונליים. נראה לי שהדרך הטובה ביותר להציג את הנושא היא באמצעות אחת מהבעיות ה"לוהטות" ביותר שעולות ממנו – … להמשיך לקרוא

כמה מעלות טובות לרדיאן עלינו

אחד מהחיפושים שהוביל נפש תועה לשווא אל הבלוג הזה היה "כמה מעלות אלגברה פאי". הניחוש שלי הוא שפשר השאלה הוא איך פאי, ברדיאנים, מתרגם למעלות. זה תירוץ מצויין לדבר קצת על מהם רדיאנים ולמה פתאום, באמצע הלימודים הבית ספריים, מפסיקים … להמשיך לקרוא

(צ)חוק פאי

גם למתמטיקה האגדות האורבניות שלה. אגדה אחת (שאולי נתנה השראה ליוצרי הסרט "סיפורו של ויל האנטינג") מספרת על סטודנט למתמטיקה שהגיע באיחור להרצאה לאחר שהתרוקנה הכיתה, ראה על הלוח מספר שאלות שנראו לו כתרגיל הבית הראשון, בא למרצה למחרת ואמר … להמשיך לקרוא

אם תרצו, אין זה דמיון

מערכת המספרים הממשיים היא מערכת טובה. היא סגורה לארבע פעולות החשבון, היא שלמה במובן שלפיו כל סדרה שמצפים ממנה להתכנס, אכן מתכנסת. לכל קבוצה חסומה בה יש חסם עליון, וכתוצאה מכך יש לנו סגירות לפעולות מעניינות רבות ונוספות – למשל, … להמשיך לקרוא

ללא חסם

בפוסט הקודם תיארתי את אחת מהבעיות שבמספרים הרציונליים: קיימות בהן סדרות קושי (סדרות ש"מתנהגות כמו סדרות מתכנסות") שאין מספר רציונלי אליו הן מתכנסות (למשל, סדרות שמתכנסות לפאי). תיארתי גם את הפתרון: הגדרת המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי שכאלו של מספרים … להמשיך לקרוא

ללא גבולות

\(\pi\) (ובעברית פאי), הוא מספר קסום. לך תייצג אותו. אין משוואה פולינומית עם מקדמים שאנחנו יודעים לייצג שהוא פתרון שלה, והוא בטח ובטח לא מנה של שני מספרים שלמים או משהו דומה. אין קץ לספרות בפיתוח העשרוני שלו, ואין בהן … להמשיך לקרוא