תחשיב הפסוקים – משפט הקומפקטיות ואיך משפט השלמות דומה למשפט טיכונוף

בפוסט הקודם על לוגיקה סיימתי להוכיח את משפט השלמות לתחשיב הפסוקים. לפני שנעבור הלאה, אני רוצה להתעכב טיפה על המסקנות מכל זה ולדבר עוד קצת על ההוכחה. בואו נתחיל ממסקנה לא טריוויאלית ממשפט השלמות: משפט הקומפטיות. משפט הקומפטיות אומר בפשטות … להמשיך לקרוא

קבוצת קנטור, ואיך לכל הרוחות המימד שלה הוא בערך 0.63?

מהו מימד? זו שאלה שכבר התייחסתי אליה בעבר, ואז אמרתי כי "יש הגדרות שונות לאותו מושג אינטואיטיבי, שמנסות להשיג מטרות שונות". אז עסקתי בהגדרה הנאיבית והפשוטה ביותר של מימד, ואילו הפעם אני רוצה לדבר על הגדרה מסובכת יותר, שנוטה לגרום … להמשיך לקרוא

הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל

כשאומרים "נוסחת אוילר", לרוב מתכוונים לנוסחה $latex e^{\pi i}+1=0$, או לניסוח הכללי שלה, $latex e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$. לעתים רחוקות יותר מדברים על הנוסחה $latex V-E+F=2$, וקצת חבל, כי זוהי נוסחה יפה כמעט באותה מידה – נוסחה שמצביעה על גישה שונה שנקט אוילר … להמשיך לקרוא

ההוכחה הטופולוגית לקיום אינסוף ראשוניים

בפוסט הזה אני רוצה לתת דוגמה מקסימה ביותר לאופן שבו שני תחומים לכאורה שונים במתמטיקה מתנגשים חזיתית, כשאחד התחומים הוא תורת המספרים האלמנטרית, והתחום השני הוא הטופולוגיה הקבוצתית. הוכחות טופולוגיות לדברים שלכאורה אינם קשורים לטופולוגיה הן דבר מקסים – הן … להמשיך לקרוא

מה בין טופולוגיה, First-person shooters, נמלים שמטיילות על טבעות ובקבוקים בלתי אפשריים?

בפוסטים הקודמים עסקתי בטופולוגיה קבוצתית והצגתי בנייה מסובכת למדי – בנייה של מרחב באמצעות "מכפלה" של מרחבים קטנים יותר. למשל, אפשר ליצור מלבן על ידי "הכפלה" של שני קווים. כעת אני רוצה לעסוק בבנייה אחרת, חשובה לא פחות – "הדבקה". … להמשיך לקרוא

אז הנה הקשר בין קומפקטיות ומשפט הקומפקטיות

בפוסט הקודם דיברתי על מרחבי מכפלה ועל טופולוגיית המכפלה שמגדירים עליהם. אמרתי שבטופולוגיה הטבעית יותר ("טופולוגיית התיבה") יש תכונות שלא משתמרות – הדוגמה הייתה מרחבים קשירים שמכפלתם אינה קשירה יותר. כאשר משתמשים בטופולוגיית המכפלה, התכונה הזו אכן נשמרת, וההוכחה לכך … להמשיך לקרוא

על מכפלות קרטזיות ושערים לא לוגיים

אחד הרעיונות הבסיסיים בטופולוגיה, ובמתמטיקה בכלל, הוא הרעיון של בניית אובייקט חדש מאובייקטים קיימים, כך שהתכונות של האובייקטים הקיימים "משרות" באופן מסויים תכונות על האובייקט החדש. כבר הצגתי כאן את הבניה של המספרים הרציונליים מהשלמים, של הממשיים מהרציונליים ושל המרוכבים … להמשיך לקרוא

כדי לסגור את עניין הקומפקטיות צריך גם קבוצות סגורות

אחד מהמשפטים הראשונים הנוגעים לפונקציות רציפות שסטודנטים לחדו"א נתקלים בהם הוא משפט – או יותר נכון, משפטי – ויירשטראס. המשפטים אומרים שלפונקציה רציפה בקטע סגור של הישר הממשי בהכרח יש נקודות מקסימום ומינימום (שהיא מקבלת, לא רק מתקרבת אליהן עד … להמשיך לקרוא

זמן לפתוח את הדיון על הקבוצה הפתוחה

בפוסט הקודם ניסיתי לדבר על הצורה שבה מושג ה"מרחק" מאפשר לנו להגדיר מושגים כמו רציפות והתכנסות. לקראת הסוף גררתי מושג חדש לדיון – "סביבה". אני רוצה לנסח עכשיו את הגדרות ההתכנסות והרציפות תוך שימוש במושג הזה בלבד, בלי לדבר על … להמשיך לקרוא

מה המרחק מדיבורים על מרחק לדיבורים על טופולוגיה?

יש שתי גישות פדגוגיות שנתקלתי בהן כאשר מציגים את הטופולוגיה הקבוצתית; הראשונה, שבה נוקט למשל הספר המעולה של Munkres, היא פשוט לזרוק את ההגדרה לטופולוגיה על הקורא הנדהם, ולנסות להרגיע אותו לאט לאט באמצעות דוגמאות והסברים. אצל מונקרס זה עובד, … להמשיך לקרוא