פרדוקס בוחן הפתע

בסוף השיעור של יום חמישי חייך פרופסור גונוסובסקי חיוך זדוני, ואמר בעונג לתלמידיו "ובשבוע הבא אערוך בוחן פתע!" ויצא מהכיתה כרוח סערה. מייד קמה התלחשות אדירים בכיתה. "בוחן פתע?", "מותר לו לעשות את זה בכלל?", "מה זה אומר, שהוא יערוך … להמשיך לקרוא

מבחן טיורינג

אלן טיורינג, שהשנה חגגנו את יום הולדתו ה-100, היה מחשובי המדענים של המאה ה-20. במאמר מ-1936 הוא הניח את היסודות לתיאוריה של מדעי המחשב, ובאותה ההזדמנות גם נתן השראה לחלוצים שמבין בוני המחשבים הפיזיים. בשנות מלחמת העולם השניה הוא היה … להמשיך לקרוא

הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק ג' ואחרון)

תקציר הפרקים הקודמים: הראיתי את פרדוקס האוסדורף, או כפי שהעדפתי לקרוא לו, "פרדוקס כמעט בנך-טרסקי". פרדוקס האוסדורף אמר כי ניתן לקחת את ספירת היחידה במרחב התלת ממדי $latex S^{2}$ (פניו של כדור שרדיוסו 1), להעיף מתוכה קבוצה בת-מניה של נקודות … להמשיך לקרוא

הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק ב')

הפוסט הקודם שלי על פרדוקס בנך-טרסקי עורר זעם רב בציבור הקוראים ואולי בעולם כולו – למרות שכבר בשורת הפתיחה של הפוסט הבהרתי בדיוק מהו פרדוקס בנך-טרסקי, הטענה הייתה שהפוסט בכלל לא התעסק בבנך-טרסקי אלא בכל מני שטויות לא קשורות. ובכן, … להמשיך לקרוא

הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק א')

פרדוקס בנך-טרסקי הוא אולי הדרך הטובה ביותר להמחיש להדיוטות כמה מוזרה המתמטיקה. בפשטות, הפרדוקס אומר את הדבר הבא: ניתן לקחת כדור, לחתוך אותו ל-5 חתיכות, להזיז אותן טיפה (ולסובב, ולשקף וכאלה) ולבנות מהן שני כדורים באותו הנפח של הכדור המקורי. … להמשיך לקרוא

אז מה זה עניין P=NP, בעצם?

כפי שחששתי, החדשות על ההוכחה ש-P שונה מ-NP היו נכונות אך מוקדמות מדי. הקונצנזוס שהולך ומסתמן בבלוגים שעוסקים בעניין – לאחר שכמה מטובי מדעני המחשב והמתמטיקאים בעולם שיתפו פעולה בבחינת ההוכחה – הוא שבהוכחה יש בעיות שלא ניתנות לתיקון, ושככל … להמשיך לקרוא

הוכחה ש-P שונה מ-NP?

למרות שאני לא אוהב לכתוב פוסטים "חדשותיים", נראה לי שאין מנוס מכך הפעם. בימים האחרונים נוצר באזז עצום סביב הוכחה לכך ש-P שונה מ-NP (מה הבעיה הזו בכלל? על כך דיברתי כאן), וגם אני לא יכול להתעלם ממנו. למי שמעוניין … להמשיך לקרוא

אז מהי השערת רימן?

בנובמבר 1859, לפני קצת יותר ממאה וחמישים שנים, פרסם המתמטיקאי ברנרד רימן מאמר קצרצר, עשרה עמודים אורכו (או שמונה, תלוי את מי שואלים), שפחות או יותר בישר את לידת תורת המספרים האנליטית והכיל בתוכו, כמעט בדרך אגב, את מה שהפכה … להמשיך לקרוא

הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל

כשאומרים "נוסחת אוילר", לרוב מתכוונים לנוסחה $latex e^{\pi i}+1=0$, או לניסוח הכללי שלה, $latex e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$. לעתים רחוקות יותר מדברים על הנוסחה $latex V-E+F=2$, וקצת חבל, כי זוהי נוסחה יפה כמעט באותה מידה – נוסחה שמצביעה על גישה שונה שנקט אוילר … להמשיך לקרוא

למה (בגדול, מאוד בגדול) לא ניתן לפתור משוואות ממעלה חמישית ומעלה, ומה זה בכלל אומר?

אחת מהצורות הפופולריות שבהן נתפסת המתמטיקה בציבור הרחב היא בתור העיסוק ב"פתרון משוואות". כמובן שזה תיאור מקומם של המתמטיקה, ואני מקווה שכבר סיפקתי בעבר דוגמאות אין ספור לכך שהמתמטיקה היא הרבה יותר מסתם עיסוק ב"פתרון משוואות", אך הפעם אני רוצה … להמשיך לקרוא

בניות בסרגל ומחוגה

בפוסט הקודם שלי הזכרתי את בעיית ריבוע העיגול בהקשר של פאי; כעת אני רוצה לעסוק בה בהקשר הרחב יותר שלה, של בעיות בניה בסרגל ומחוגה. אעשה זאת מנקודת מבט שהיא בעיקר פורמלית ולא היסטורית; אני מניח שההיסטוריה של בניות בסרגל … להמשיך לקרוא

לא ניתן להגדיר את ערכו האמיתי של פאי! (או לרבע את המעגל)

אתר Ynet עושה מלאכה טובה בהבאת כתבות מעיתוני מדע פופולרי ישראליים, ביניהם "אודיסאה". אודיסאה, בתמורה, עושה עבודה טובה בכתיבת כתבות מדע פופולרי; וכך זכתה כתבת מדע פופולרי על הקבוע המספרי פאי, שמציין את היחס שבין היקף המעגל לקוטרו ("פיי" בכתבה; … להמשיך לקרוא

אכילס והצב יוצרים דיכוטומיה בין המודלים האפשריים לתנועה

כמו בפרדוקס החץ של זנון, כך גם בפרדוקס הדיכוטומיה, אני מעדיף, כשאני מציג את ה"פתרון" שלי לפרדוקס, להתבסס על ניסוח שאינו שלי אלא של מישהו שסבור שהפרדוקסים לא נפתרו – דהיינו, זאב בכלר: "לו היה הקו רציף, הוא היה ניתן … להמשיך לקרוא

הקרב נפתח ביריית חץ

בעבר נהגתי לתאר את הפרדוקסים של זנון לכל דורש בהתלהבות רבה. עם השנים (בפרט, ככל שלימודי המתמטיקה התקדמו) גיליתי שקשה לי יותר ויותר לתאר אותם, ואני נזהר יותר ויותר בניסוחים שלי. לבסוף הגעתי למצב שבו אני יכול אולי לומר איך … להמשיך לקרוא

טרטורי טורים

אכילס והצב (מי זה אכילס? גדול גיבורי יוון העתיקה; ומי זה הצב? נו, הצב!) החליטו להתחרות בריצה (נניח, 400 מטר). אכילס רץ במהירות 10 מטרים לשנייה (36 קמ"ש), הצב "רץ" במהירות של 1 מטר לשנייה (3.6 קמ"ש – הליכונים בדרך … להמשיך לקרוא

על משוואות דיופנטיות ושאר בעיות שהשוליים הללו צרים מלהכיל

בפוסטים קודמים התייחסתי קצת לנושאים שנוגעים לתורת החישוביות, אבל עדיין לא נכנסתי לעיקר – מה זה בעצם חישוב, מה המודלים המתמטיים עבורו, למה הם קבילים, מה אי אפשר לחשב וכדומה. אחרי שני דיונים בנושאים הללו שהתפתחו בתגובות, נראה לי שכדאי … להמשיך לקרוא

הקיים הנעלם – הדוגמה הרמאית

השערת גולדבך היא אחת מהבעיות הבלתי פתורות המפורסמות ביותר במתמטיקה, בפרט לאחר מותה המצער (בשיבה טובה) של בעית המשפט האחרון של פרמה. בדומה למשפט פרמה (ולהבדיל, נניח, מהשערת רימן), גם השערת גולדבך ניחנה בתכונה החשובה כל כך של ניסוח פשוט, … להמשיך לקרוא