מהו גבול? (של סדרה)

בשעה טובה הגענו לשלב בסדרת הפוסטים על חדו"א שבו אפשר להתחיל לדבר על מושג הגבול – מושג שלא מתואר באופן מדויק בתיכון, ואני רוצה כן לתאר אותו כאן באופן מדויק עד הסוף. מכיוון שזהו מושג קשה יחסית לעיכול, אתחיל מתיאור … להמשיך לקרוא

מהן פונקציות? (גרסה מכוונת-חדו"א)

הפוסט הזה הוא חלק מסדרת הפוסטים שמטרתה להציג חדו"א באופן פשוט, ומכיוון שהחדו"א עוסק בפונקציות הכרחי להציג כאן פונקציות – אבל ההצגה הזו רלוונטית לעוד דברים פרט לחדו"א, מהסיבה הפשוטה שפונקציה היא אחד מהמושגים המרכזיים ביותר במתמטיקה כולה, אם לא … להמשיך לקרוא

מהם המספרים הממשיים?

בהמשך לפוסט הקודם, אני מתחיל כעת בסדרת הפוסטים שתנסה לתאר בצורה פשוטה את יסודות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ברמה שתתאים גם לתלמידי תיכון, ואנחנו חייבים להתחיל מלתאר את ה"עולם" שבו פועל החשבון הזה – עולם שכוכביו הראשיים הם מה שנקרא "המספרים … להמשיך לקרוא

אז מה זה חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי?

אני ממשיך את הפוסטים שלי שבהם אני מנסה להציג נושאים בסיסיים במתמטיקה ברמה שתתאים גם לתלמידי תיכון, והפעם אני רוצה לעסוק באחד מעמודי התווך המרכזיים של המתמטיקה – החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, או בקיצור החדו"א (ובשם אחר – החשבון האינפיניטסימלי, האינפי). … להמשיך לקרוא

אז אולי רק הראשוניים בטור ההרמוני מתכנסים ל-137?

בפרשיית הטרחן הכפייתי והטור ההרמוני שדיווחתי עליה אתמול חלו התפתחויות מרעישות – הטרחן שינה את עמדתו (דבר נדיר למדי), וטענתו החדשה היא שהטור ההרמוני אכן אינו מתכנס ל-137, כי אם מה שנותר מהטור ההרמוני כאשר משאירים בו רק את האיברים … להמשיך לקרוא

האם הטור ההרמוני מתכנס ל-137?

בדיחה גסה ידועה (למתמטיקאים) מספרת על שני מתמטיקאים העומדים בקצה האחד של חדר כאשר בקצה השני נמצאת בחורה נאה, והם חפצים להגיע אליה. הראשון אומר "כדי לעבור את החדר צריך לעבור קודם את מחציתו; ואחרי שאגיע למחציתו, אצטרך עוד להגיע … להמשיך לקרוא

קבוצת קנטור, ואיך לכל הרוחות המימד שלה הוא בערך 0.63?

מהו מימד? זו שאלה שכבר התייחסתי אליה בעבר, ואז אמרתי כי "יש הגדרות שונות לאותו מושג אינטואיטיבי, שמנסות להשיג מטרות שונות". אז עסקתי בהגדרה הנאיבית והפשוטה ביותר של מימד, ואילו הפעם אני רוצה לדבר על הגדרה מסובכת יותר, שנוטה לגרום … להמשיך לקרוא

מי הזיז את הטור שלי?

יותר מכל, המתמטיקה של זמננו זוכה לתדמית "מדוייקת", "פורמלית", אפילו צרת מוחין. טענה נפוצה בדיונים היא ש"החיים זה לא מתמטיקה" ואין טעם לבקש להכל הגדרות מדוייקות והסברים ברורים. אלא שהמתמטיקה הזו היא צעירה יחסית; אפילו המתמטיקה של המאה ה-19 לא … להמשיך לקרוא

נוסחת אוילר, ואיך היא קשורה למתנד הרמוני

הנוסחה \(e^{i\pi}+1=0\) זכתה לפופולריות רבה בתור "הנוסחה היפה ביותר במתמטיקה", ואני נוטה להסכים – יש משהו מאוד אלגנטי ונאה בנוסחה הזו (אמנם, אני חושב שבמתמטיקה מגיעים מתישהו לשלב שבו היופי האמיתי לא נמצא בנוסחאות, אלא ברעיונות מורכבים יותר – וכשמגיעים … להמשיך לקרוא

נעים להכיר – סינוס וקוסינוס (גרסת המשוואה הדיפרנציאלית)

שרשרת הפוסטים הקודמים שלי, שהחלה ביום פאי, יועדה למטרה אחת – הגדרה של סינוס וקוסינוס באופן שהוא לחלוטין בלתי קשור לגאומטריה בשום צורה שהיא – ומכאן גם הכנסה של פאי למשחק המתמטי בדרך שהיא לחלוטין בלתי קשורה לגאומטריה בשום צורה … להמשיך לקרוא

הדרך מהאקספוננט לטריגונומטריה רצופה משוואות דיפרנציאליות מסדר שני

בפוסט הקודם עסקתי באופן שבו פונקציית האקספוננט, \(e^{x}\), "צצה באופן טבעי" בתור פתרון המשוואה הדיפרנציאלית \(f^{\prime}=f\) עם תנאי ההתחלה \(f\left(0\right)=1\). כעת אני רוצה להרחיב קצת יותר על פתרון משוואות דיפרנציאליות, כשהיעד הסופי הוא הגעה למשוואות שפתרונן דורש סינוסים וקוסינוסים (כפי … להמשיך לקרוא

נעים להכיר – אקספוננט

בפוסט הזה אני רוצה לדבר על אחת הפונקציות החשובות והמרכזיות במתמטיקה – פונקצית האקספוננט, או כפי שבדרך כלל מכירים אותה בימינו, \(e^{x}\). בראש ובראשונה זו תהיה גם היכרות עם הקבוע \(e\) שב"בסיס" הפונקציה, וגם הסבר מדוע היא מצורה זו בכלל. … להמשיך לקרוא

תיארוך פחמן-14 ואיך זה קשור למתמטיקה

בעקבות הפוסט הקודם על פאי אני רוצה להציג הגדרה "מעניינת" של סינוס וקוסינוס, בתור הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית "טבעית" כלשהי, אך לפני כן צריך לומר משהו בכלליות על משוואות דיפרנציאליות, ולפני שמתחילים לדבר על משוואות דיפרנציאליות מאוד כדאי להציג מוטיבציה … להמשיך לקרוא

יום פאי שמח!

ה-14 במרץ זכה לשם המגוחך "יום פאי" בגלל ש-\(\pi\) מתחיל בספרות \(3.14\). לרוב נהוג לחגוג את היום הזה בזלילות של פאי (שעליו ציור של \(\pi\)), אך אני אנצל אותו כדי להעלות פוסט העוסק, איך לא, בפאי. ספציפית, באופן שבו פאי … להמשיך לקרוא

למה אין מידה על כל הישר הממשי

בפוסט הקודם דיברתי על מושג המידה. מידה היא הכללה של מושג האורך-שטח-נפח לקבוצות "מסובכות" ככל הניתן; בפוסט הזה אני רוצה להראות שיש להכללה הזו גבולות. כמו בפוסט הקודם כך גם כאן לא אציג הגדרה מדוייקת של מידה, אלא אתאר כמה … להמשיך לקרוא

למה הרציונליים הם ממידה אפס (או: הטרחן צועק ולבג צודק)

תודות לבעליו של הבלוג המתמטי העברי החדש "מהומה רבה על לא דבר" גיליתי מכרה זהב טרחני לא מבוטל. הטרחן שבקישור מתהדר בכמה ממוצגי הטרחנות הקלאסיים – "הוכחות" קצרות לבעיות מתמטיות קשות ומפורסמות כמו השערת פואנקרה והשערת רימן, כמו גם הוכחה … להמשיך לקרוא

אז מהי השערת רימן?

בנובמבר 1859, לפני קצת יותר ממאה וחמישים שנים, פרסם המתמטיקאי ברנרד רימן מאמר קצרצר, עשרה עמודים אורכו (או שמונה, תלוי את מי שואלים), שפחות או יותר בישר את לידת תורת המספרים האנליטית והכיל בתוכו, כמעט בדרך אגב, את מה שהפכה … להמשיך לקרוא

עוד כמה דברים על מספרים p-אדיים

בפוסטים הקודמים הצגתי שתי דרכים, כל אחת טבעית בדרכה שלה, להגיע אל אובייקט מוזר בשם "שדה המספרים ה-p-אדיים" (לכל ראשוני \(p\) יש שדה משלו). כעת אני רוצה לתאר כמה תכונות של היצור הזה כדי להיווכח שהוא אכן מוזר, וגם מעניין … להמשיך לקרוא

מספרים p-אדיים – בניה "אנליטית"

בפוסט הקודם הצגתי דרך "אלגברית" לבניית שדה המספרים ה-p-אדיים. הפעם אני רוצה להציג דרך שונה לחלוטין שמביאה בדיוק לאותה תוצאה, ונתחיל במוטיבציה – בניית המספרים הממשיים מתוך המספרים הרציונליים. יש שתי בניות מפורסמות לממשיים: האחת, של דדקינד, מסתמכת על כך … להמשיך לקרוא

פונקציות יוצרות

אחת מהבעיות הבסיסיות בקומבינטוריקה היא בעיית הספירה של אובייקטים. יש קבוצה של אובייקטים מסוג מסויים – נניח, מספרים שמקיימים תכונה מסויימת, גרפים שנראים כך וכך, דרכים לחלק גלידה לילדים, קלטים האפשריים לאלגוריתם וכו', ואנחנו רוצים לדעת כמה בדיוק יש. לרוב … להמשיך לקרוא