בשעה טובה הגענו לשלב בסדרת הפוסטים על חדו"א שבו אפשר להתחיל לדבר על מושג הגבול – מושג שלא מתואר באופן מדויק בתיכון, ואני רוצה כן לתאר אותו כאן באופן מדויק עד הסוף. מכיוון שזהו מושג קשה יחסית לעיכול, אתחיל מתיאור מקרה פרטי (חשוב מאוד לכשעצמו) – גבול של סדרה. אם כן, נתחיל מלדבר על מהי סדרה בכלל. בהקשר שלנו, סדרה היא אוסף סדור של מספרים – אפשר לדבר על "המספר הראשון בסדרה", "המספר השני בסדרה" וכן הלאה. למשל, \(a_{1},a_{2},a_{3},\dots\) היא סדרה שהאיבר הראשון שלה הוא המספר \(a_{1}\), האיבר השני הוא המספר \(a_{2}\) וכן הלאה. משתמשים ב-\(a_{n}\) כדי לסמן את "האיבר הכללי" של הסדרה – לרוב נותנים תיאור של \(a_{n}\) כפונקציה כלשהי של המספר הטבעי \(n\) (למעשה, אפשר לחשוב על סדרות באופן כללי בתור פונקציות שהתחום שלהן הוא הטבעיים). שימו לב שיש לסדרה אינסוף איברים – לכל מספר טבעי (ויש אינסוף כאלו) יש איבר בסדרה. החדו"א מטבעה עוסקת ביצורים אינסופיים כאלו – עבור סדרות סופיות אין משמעות למושג הגבול.

סדרה פשוטה אחת היא \(a_{n}=n\), כלומר הסדרה \(1,2,3,\dots\) של כל הטבעיים. סדרה פשוטה אחרת היא \(1,0,1,0,\dots\), כלומר הסדרה ש"מזפזפת" בין 0 ו-1. אפשר לתאר אותה באמצעות נוסחה עם \(a_{n}=\frac{1+\left(-1\right)^{n+1}}{2}\) – נכון שהתיאור של \(1,0,1,0,\dots\) פשוט יותר? וסדרה שלישית היא \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots\) שניתן לתאר על ידי \(a_{n}=\frac{1}{n}\). מושג הגבול של סדרה בא לתאר את ההתנהגות "לטווח ארוך" של הסדרות הללו. בואו נגיד זאת במפורש: גבול של סדרה הוא מספר שאברי הסדרה מתקרבים אליו עוד ועוד, עד אין קץ. ההגדרה המילולית הזו מיועדת לתת אינטואיציה ותו לא; כהגדרה פורמלית היא מלאה חורים וחסרת טעם. מה זה "מתקרבים"? מה זה "עוד ועוד"? מה פשר "עד אין קץ"? למה בכלל קיים מספר כזה? האם יכולים להיות כמה מספרים כאלו? אלו שאלות מצויינות שהגדרה פורמלית ומדוייקת של הגבול אמורה לאפשר לנו לענות עליהן.

בואו נתמקד לעת עתה בסדרה \(a_{n}=\frac{1}{n}\). אנחנו רואים שככל ש-\(n\) גדול יותר, כך \(a_{n}\) קטן יותר. מצד שני, כל אברי הסדרה חיוביים – גדולים ממש מ-0. אם כן, יש לנו סדרה שאבריה הולכים וקטנים עוד ועוד, אבל כולם חיוביים. התחושה האינטואיטיבית שלנו היא שאיברי הסדרה הזו "הולכים לאפס", או, אם להשתמש במילה יותר גסה, "שואפים לאפס". מצד שני, איך אפשר לבטא תכונה כזו בצורה פורמלית? והאם האינטואיציה הזו בכלל נכונה? הרי הסדרה לא מגיעה לאפס. אף פעם! אף איבר בסדרה הוא לא אפס. אם כן, מאחר ואפס לא מופיע בכלל בסדרה, האם נכון לטעון בכל זאת שגבול הסדרה הוא אפס?

לעומת זאת, בסדרה \(1,0,1,0,\dots\) אנחנו מקבלים את הרושם שהסדרה לא "מתקרבת" לשום מקום. היא לפעמים קרובה ל-1 ולפעמים קרובה ל-0, אבל היא כל הזמן מזפזפת בין שני הערכים הללו וקשה להגיד שהיא קרובה לאחד מהם באופן מיוחד. אינטואיטיבית אולי נרצה לומר שיש לסדרה שני גבולות. אמנם, אמירה זו אינה חסרת טעם ובחדו"א אכן מתייחסים אליה באופן מסויים, אבל לא נכון לקרוא ל-1 "גבול" במקרה הזה, פשוט כי מחצית מאברי הסדרה לא מגלים שום נטייה מיוחדת להתקרב אליו יותר מאשר הם מגלים נטייה להתקרב אל \(-1\), למשל. באותו אופן גם 0 לא ראוי לכינוי "גבול" ואכן, כשאציג את ההגדרה הפורמלית נראה שזוהי דוגמה לסדרה שאין לה גבול.

ומה עם הסדרה \(1,2,3,\dots\)? גם במקרה שלה, לא נראה שהיא מתקרבת למספר מסויים. אם ננסה לטעון שהיא מתקרבת, למשל, ל-137, הרי שנשים לב שמהאיבר ה-137 והלאה בסדרה, כל האיברים גדולים מ-137, והם ממשיכים לגדול עוד ועוד – הסדרה מתרחקת מ-137. לכן לא סביר ש-137 הוא גבול של הסדרה; ומכיוון ש-137 היה שרירותי לגמרי, אין לסדרה גבול. מצד שני, במובן מסויים אפשר לומר שהסדרה שואפת לאינסוף – אמירה שבאה לציין את ההתנהגות של "גדלים עוד ועוד מעבר לכל מספר ממשי".

מה שצריך להיות ברור בשלב הזה הוא שאנחנו רוצים לדבר בצורה פורמלית כלשהי על המושג של מרחק כדי שאפשר יהיה לדבר על גבולות. עבור מספרים ממשיים ההגדרה אינה מסובכת. מהו, למשל, המרחק שבין 1 ו-3? אינטואיטיבית אנחנו אומרים 2, ואפשר לתת לזה משמעות קצת יותר פורמלית – זהו אורך הקטע שמחבר את הנקודה 1 עם הנקודה 3 על גבי ציר המספרים. הדרך לתאר את זה באופן פורמלי היא זו: אם \(a,b\) הם שני מספרים ממשיים, אז המרחק ביניהם הוא \(\left|a-b\right|\), כלומר הערך המוחלט של ההפרש שלהם. הערך המוחלט בא להבטיח שהמרחק יהיה תמיד מספר חיובי (כי אורך של קטע הוא תמיד חיובי) ושנוכל לדבר על המרחק בין \(a\) ו-\(b\) בלי לטרוח לחשוב מי הגדול מבין שניהם.

שימו לב לשלוש תכונות שהמרחק מקיים: הראשונה היא שאם \(a=b\) אז המרחק ביניהם הוא \(0\), מה שהגיוני כמובן – המרחק שלי מעצמי הוא תמיד אפס. מצד שני, אם \(a\ne b\) המרחק ביניהם תמיד יהיה גדול מאפס. בנוסף, המרחק הוא סימטרי; המרחק מ-\(a\) אל \(b\) הוא כמו המרחק מ-\(b\) אל \(a\) (פורמלית: \(\left|a-b\right|=\left|b-a\right|\)). לבסוף, ואת זה לא קל לראות או להוכיח, מושג המרחק שלנו מקיים את מה שנקרא "אי שוויון המשולש", שמשמעותו הפורמלית היא שאורך הקו הישר מ-\(a\) אל \(b\) תמיד קצר יותר מאורך המסלול שבו קודם כל עוברים מ-\(a\) לאיזו נקודה אחרת \(c\), ואז הולכים מ-\(c\) אל \(b\). פורמלית, \(\left|a-b\right|\le\left|a-c\right|+\left|c-b\right|\).

שלוש התכונות הללו מאפיינות בצורה חזקה למדי את הרעיון האינטואיטיבי של "מרחק" – בצורה כל כך חזקה, שאפשר להגדיר מרחקים גם על קבוצות שאינן של מספרים ממשיים דווקא באמצעות פונקציות שרירותיות, שכל מה שדורשים מהן הוא שיקיימו את שלוש התכונות הנ"ל. פונקציות כאלו נקראות מטריקות, ואני לא הולך לפרט עליהן כאן, כי מדובר בחומר מתקדם מדי עבור תיכון; אני רק רוצה לציין את עובדת קיומן , וכפועל יוצא מכך את העובדה שאת כל מה שאני הולך להציג כעת אפשר להכליל בצורה פרועה ביותר וזה בדיוק גם מה שעושים. במילים אחרות, החדו"א של מספרים ממשיים הוא רק תחילתו של קצה הקרחון.

עכשיו משאנחנו מצויידים בהגדרת המרחק, אפשר לגשת להגדרת הגבול עצמה. לפני כן, למען בניית המתח, אני רוצה להגיד מילה או שתיים על למה לדעתי ההגדרה הזו כל כך קשה לעיכול במבט ראשון עבור מי שאינו מנוסה במתמטיקה. הסיבה היא, לדעתי, רמת הכימות של ההגדרה. "כימות" כאן הוא שימוש בכמתים לוגיים – באמירות "לכל" ו"קיים". לדוגמה, ההגדרה של מספר מושלם היא "מספר ששווה לסכום מחלקיו הקטנים ממנו". כאן אין כימות בכלל. ההגדרה של מספר פריק הוא "מספר שקיים לו מחלק הקטן ממנו וגדול מ-1". את השערת גולדבך ניתן לנסח בתור "לכל מספר זוגי גדול מ-4, קיים פירוק שלו לסכום שני מספרים ראשוניים". כאן כבר יש שני כמתים שבאים האחד אחרי השני. ומכיוון שאחד הוא "לכל" והשני הוא "קיים", לא ניתן לאחד אותם (כלומר, להפוך טענה בסגנון "לכל \(x\) ולכל \(y\) מתקיים בלה בלה" ל"לכל זוג \(x,y\) מתקיים בלה בלה"). ההתעסקות בכמות הכמתים נראית מטופשת לגמרי במבט ראשון, אך יש בה הגיון רב; בלוגיקה ובמדעי המחשב ניתן להשתמש ברמת כימות כדי לסווג "קושי" או "כוח" של דברים מסויימים, אך לא ארחיב על כך כעת. הפאנץ' הוא שהגדרת הגבול כוללת שלושה כמתים (שכל אחד מהם אומר משהו לא פשוט) ולכן היא אולי מהווה קפיצה ברמת הקושי-לעיכול-בסיסי מאשר דברים כמו השערת גולדבך.

הנה הגדרה שמחביאה בתוכה את מרבית הכמתים אבל שומרת על המשמעות האינטואיטיבית: \(L\) הוא גבול הסדרה \(a_{n}\) (ומסמנים זאת \(\lim_{n\to\infty}a_{n}=L\) או בקיצור \(a_{n}\to L\)) אם כמעט כל אברי \(a_{n}\) קרובים ככל שנרצה ל-\(L\).

נתחיל בלהבין למה הכוונה ב"קרובים ככל שנרצה". כבר ראינו עם הסדרה \(a_{n}=\frac{1}{n}\) שהסדרה לא בהכרח חייבת "לגעת" בגבול שלה. אם כן, אנחנו לא יכולים לדרוש שאברי הסדרה יהיו במרחק 0 מהגבול. אנחנו כן דורשים שלכל מרחק גדול מאפס, כמעט כל אברי הסדרה לא יהיו מרוחקים יותר מהגבול מאשר המרחק הזה. כלומר – כמעט כל איברי הסדרה נמצאים במרחק \(1\) מהגבול; כמעט כולם נמצאים במרחק \(\frac{1}{2}\); כמעט כולם נמצאים במרחק \(\frac{1}{5432}\) וכן הלאה וכן הלאה. פורמלית כותבים זאת בתור "לכל \(\varepsilon>0\), כמעט כל איברי הסדרה \(a_{n}\) מקיימים \(\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon\)"(האות היוונית נקראת אפסילון).

טוב ויפה, אז הבנו מה זה "קרוב ככל שנרצה". אבל מה זה "כמעט כל"? הכוונה היא – כל אברי הסדרה, חוץ אולי ממספר סופי שלהם. בפועל זה אומר שהחל ממקום מסויים בסדרה, כל האיברים מקיימים את מה שאנחנו רוצים. הנקודה החשובה, המרכזית, המהותית פה היא שהמקום המסויים הזה תלוי ב-\(\varepsilon\)! כלומר, ייתכן שהחל ממקום 3 בסדרה כל האיברים בה קרובים ל-\(L\) עד כדי \(\frac{1}{2}\), אבל רק ממקום 3,000,000 בסדרה כל האיברים קרובים ל-\(L\) עד כדי \(\frac{1}{4}\). זה מוביל אותנו לתיאור המדויק הבא: עבור \(\varepsilon>0\) נתון, אומרים שכמעט כל אברי הסדרה קרובים ל-\(L\) עד כדי \(\varepsilon\) אם קיים \(N\) טבעי כך שלכל \(n>N\) מתקיים \(\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon\). לעתים נהוג לכתוב \(N_{\varepsilon}\) כדי להדגיש את התלות של \(N\) ב-\(\varepsilon\).

בואו נחבר את החלקים ונצטט במפורש פעם אחת ולתמיד את הגדרת הגבול הפורמלית. הסדרה \(a_{n}\) שואפת לגבול \(L\) אם לכל \(\varepsilon>0\) קיים \(N_{\varepsilon}\) טבעי כך שלכל \(n>N_{\varepsilon}\) מתקיים \(\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon\). זו ההגדרה כולה. זו הגדרה קצרה למדי; הקושי, כאמור, טמון כנראה בשלושת הכמתים.

פרט לקושי של הבנת ההגדרה, יש גם את הקושי של עבודה איתה. אז יופי, הבנו איך מגדירים גבול, אבל איך מוכיחים ככה דברים בתכל'ס? התשובה היא שלעתים זה לא פשוט, ושיש כאן טכניקה שצריך להשתלט עליה. בואו נטפל בסדרה הפשוטה \(a_{n}=\frac{1}{n}\) ונראה איך על פי הגדרת הגבול מתקיים \(a_{n}\to0\). הוכחות על פי הגדרה הן מעין "משחק" שאני משחק עם יריב ערמומי כלשהו. היריב נותן לי "אתגר" בדמות \(\varepsilon>0\), אני משיב לאתגר הזה במענה משלי, \(N_{\varepsilon}\), שמבוסס על האתגר שקיבלתי; וכעת מטרת היריב שלי היא לתת \(n>N\) ש"מקלקל", כלומר שעבורו מתקיים \(\left|a_{n}-L\right|\ge\varepsilon\). אם הוא מצא כזה, הפסדתי; ואחרת ניצחתי. המטרה שלי היא להראות שאני תמיד יכול לנצח במשחק הזה.

אם כן, יהא \(\varepsilon>0\) כלשהו. אנו רוצים למצוא \(N\) כך שלכל \(n>N\) מתקיים \(\left|a_{n}-0\right|<\varepsilon\), ובמילים אחרות, שמתקיים \(\left|\frac{1}{n}\right|<\varepsilon\), ובמילים אחרות, שמתקיים \(n>\frac{1}{\varepsilon}\). אם כן, נבחר \(N=\left\lceil \frac{1}{\varepsilon}\right\rceil \) – הסימון הזה מתאר את הערך השלם העליון של \(\frac{1}{\varepsilon}\) – המספר השלם הקטן ביותר שגדול מ-\(\frac{1}{\varepsilon}\). זה בבירור מספר טבעי כי \(\varepsilon\) חיובי. כעת אם \(n>N\) אז בפרט \(n>\frac{1}{\varepsilon}\) ולכן נקבל \(\left|a_{n}-0\right|<\varepsilon\) כנדרש. זה הסגנון של כל הוכחות הגבולות בחדו"א; רק שכאן היה טריוויאלי למצוא את \(N\) הדרוש ולהראות שהוא מקיים את התכונה המבוקשת, ואילו בדרך כלל זה קשה בהרבה.

בואו נדגים עכשיו שימוש תיאורטי יותר של ההגדרה – נוכיח שלא ייתכן שלסדרה יהיה יותר מגבול אחד. האינטואיציה לא קשה – אם יש לסדרה שני גבולות, בואו נעשה "זום" על שניהם, ונתבע שאברי הסדרה יהיו קרובים אליהם עד כדי \(\varepsilon\) זעום ביחס למרחק שבין שני הגבולות. התוצאה תהיה שכמעט כל אברי הסדרה יהיו חייבים להיות גם קרובים מאוד לגבול הראשון וגם קרובים מאוד לגבול השני למרות ששני הגבולות הללו מרוחקים, וזו תהיה סתירה.

פורמלית ההוכחה הולכת כך: אם \(a_{n}\to L_{1}\) וגם \(a_{n}\to L_{2}\), נגדיר \(\varepsilon=\left|\frac{L_{1}-L_{2}}{2}\right|\). על פי הגדרת הגבול קיימים קבועים \(N_{1},N_{2}\) כך שאם \(n>N_{1}\) אז \(\left|a_{n}-L_{1}\right|<\varepsilon\), ובאופן דומה עבור \(N_{2}\). נגדיר \(N=\max\left\{ N_{1},N_{2}\right\} \), וכעת אם \(n>N\) מובטח שמתקיים גם \(\left|a_{n}-L_{1}\right|<\varepsilon\) וגם \(\left|a_{n}-L_{2}\right|<\varepsilon\). כלומר, הנקודה \(a_{n}\) קרובה מאוד הן ל-\(L_{1}\) והן ל-\(L_{2}\), ומזה אני יכול להסיק את המסקנה ש-\(L_{1},L_{2}\) לא יכולים להיות מרוחקים מדי! זהו בדיוק שימוש של אי שוויון המשולש שהזכרתי לעיל: \(\left|L_{1}-L_{2}\right|\le\left|a_{n}-L_{1}\right|+\left|a_{n}-L_{2}\right|<\varepsilon+\varepsilon=\left|L_{1}-L_{2}\right|\). מכאן קיבלתי סתירה: \(\left|L_{1}-L_{2}\right|<\left|L_{1}-L_{2}\right|\), והרי מספר לא יכול להיות קטן מעצמו.

שימו לב שהמשפט הזה מוכיח שלסדרה \(1,0,1,0,\dots\) אין גבול, אם אתם מוכנים להיות קצת פיזיקאים ולהגיד ששיקולי סימטריה מראים שאם 0 היה גבול של הסדרה, גם 1 היה גבול שלה (הוכחה על פי הגדרה שאין לסדרה הזו גבול היא פשוטה ביותר גם היא אבל אלגנטית פחות).

בואו נעבור עכשיו למשהו שמשלב את התיאורטי עם המעשי – נניח ש-\(a_{n},b_{n}\) הן שתי סדרות, וש-\(a_{n}\to A\) ו-\(b_{n}\to B\). בואו נגדיר עכשיו סדרה חדשה על ידי חיבור "איבר איבר" שלהן: \(c_{n}=a_{n}+b_{n}\). טבעי לחשוב שיתקיים \(c_{n}\to A+B\) וזה גם נכון. ההוכחה? ניקח \(\varepsilon>0\). אז יש \(N_{1},N_{2}\) כך שאם \(n>N_{1}\) אז \(\left|a_{n}-A\right|<\frac{\varepsilon}{2}\), ואם \(n>N_{2}\) אז \(\left|b_{n}-B\right|<\frac{\varepsilon}{2}\). ניקח כעת \(N=\max\left\{ N_{1},N_{2}\right\} \) (האם אתם מזהים תבנית בהוכחות שלי?) ולכל \(n>N\) יתקיים \(\left|a_{n}+b_{n}-\left(A+B\right)\right|\le\left|a_{n}-A\right|+\left|b_{n}-B\right|<\left|a_{n}-A\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\left|a_{n}-A\right|<\frac{\varepsilon}{2}=\left|a_{n}-A\right|<\varepsilon\).

כמו שאפשר לנחשב, באופן דומה (מסובך קצת יותר) מוכיחים ש-\(a_{n}b_{n}\to AB\), ש-\(a_{n}-b_{n}\to A-B\) וש-\(\frac{a_{n}}{b_{n}}\to\frac{A}{B}\), כשהאחרון נכון רק אם \(B\ne0\). התכונות הללו מכונות אריתמטיקה של גבולות, והן מאוד יעילות ככלי לחישוב גבולות; במקום שיהיה צורך לחשב גבול של סדרה מסובכת, אפשר לחשוב עליה כבנויה מסדרות פשוטות יותר ולטפל בכל אחת בנפרד. למשל, הסדרה \(a_{n}=\frac{2n+2}{n+2}\) אולי נראית בעייתית ממבט ראשון, אבל אפשר לנקוט עבורה בתעלול הבא: ראשית, \(2n+2=2\left(n+1\right)\) ולכן די אם נמצא את הגבול של \(\frac{n+1}{n+2}\) ונכפול את התוצאה ב-2 (כי אפשר לחשוב על \(\frac{2n+2}{n+2}\) כאילו הוא \(\frac{n+1}{n+2}\) כפול הסדרה הקבועה \(b_{n}=2\), שגבולה הוא כמובן 2). נשים לב ש-\(\frac{1}{n+2}\to0\) (ההוכחה דומה להוכחה עבור \(\frac{1}{n}\to0\)) ולכן \(\lim\frac{n+1}{n+2}=\lim\frac{n}{n+2}+0\). לסיום ניתן לכפול מונה ומכנה ב-\(\frac{1}{n}\) ולקבל את הסדרה \(\frac{1}{1+\frac{2}{n}}\). מכיוון ש-\(\frac{2}{n}\to0\) נקבל ש-\(\frac{1}{1+\frac{2}{n}}\to\frac{1}{1+0}=1\), ולכן קיבלנו סך הכל ש-\(\frac{2n+2}{n+2}\to2\).

אם כן, סיימנו לדבר על גבול של סדרות. עם זאת, אני לא יכול להתאפק ורגע לפני שאעבור לדבר על פונקציות אני רוצה להכניס עוד מושג לתמונה – טורים אינסופיים. טור אינסופי הוא פשוט סדרה אינסופית של מחוברים, למשל \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots\). אנחנו רוצים לתת משמעות לסכום של אינסוף איברים שכאלו, ומושג הגבול של סדרה נותן לנו משמעות שכזו במתנה. אם יש לנו טור מהצורה \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots\) אז מגדירים סכום חלקי בתור \(S_{n}=a_{1}+\dots+a_{n}\) – הסכום החלקי ה-\(n\)-י הוא הסכום (הסופי) של \(n\) האיברים הראשונים בטור. כעת נתבונן בסדרת הסכומים החלקיים \(S_{n}\); אם יש לה גבול, אז מגדירים את סכום הטור \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots\) בתור גבול זה. כך למשל לא קשה מדי להראות ש-\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots=1\) על פי הגדרה זו. אולי תשאלו איך זה קשור לפוסט במתמטיקה תיכונית; ובכן, בתיכון לומדים על יצור שנקרא סדרה הנדסית – סדרה שכל איבר בה גדול פי \(q\) מקודמו, עבור \(q\) קבוע כלשהו. כלומר, אבריה הם מהצורה \(a_{1},qa_{1},q^{2}a_{1},\dots\) וכן הלאה. אפשר להראות (בצורה פשוטה למדי, אבל לא אעשה זאת כעת) כי סכום \(n\) האיברים הראשונים בסדרה שכזו הוא \(a_{1}\cdot\frac{q^{n-1}-1}{q-1}\). כעת, לא הוכחתי זאת אבל אם \(q\) הוא מספר קטן קטן מ-1 בערכו המוחלט, כלומר \(\left|q\right|<1\), אז מתקיים \(q^{n}\to0\) (שימו לב: כאן \(q\) הוא קבוע ואילו \(n\) מופיע בכלל בחזקה). שימוש בנוסחה זו מראה לנו ש-\(a_{1}\cdot\frac{q^{n-1}-1}{q-1}\to\frac{a_{1}}{1-q}\) וערך זה, \(\frac{a_{1}}{1-q}\), נלמד בתיכון בתור "הסכום של סדרה הנדסית אינסופית", לרוב ללא הוכחה או הסבר. ובכן, כעת יש לכם הסבר; הוכחה מדויקת (כלומר, הוכחה ש-\(q^{n}\to0\)) תחכה לפעם אחרת.

הפוסט הזה הוא חלק מסדרת הפוסטים שמטרתה להציג חדו"א באופן פשוט, ומכיוון שהחדו"א עוסק בפונקציות הכרחי להציג כאן פונקציות – אבל ההצגה הזו רלוונטית לעוד דברים פרט לחדו"א, מהסיבה הפשוטה שפונקציה היא אחד מהמושגים המרכזיים ביותר במתמטיקה כולה, אם לא המושג המרכזי ביותר. בפרט, מי שחשב שמספרים הם המושג המרכזי – ובכן, לא, מצטער, טעיתם; פונקציות הן מושג מרכזי יותר.

פונקציה היא דרך לתאר קשר מסויים בין אובייקטים מסוג א' לאובייקטים מסוג ב', אבל לא סתם קשר כללי (המושג הכללי לתיאור קשרים שכאלו מכונה "יחס"; פונקציה היא סוג של יחס אבל ישנם יחסים אחרים) אלא קשר של סיבה ותוצאה. קשר של קלט ופלט. למה הכוונה? ובכן, בואו נתחיל מלדבר על הפונקציות שעליהן מדברים בדרך כלל בחדו"א – פונקציות שמקבלות מספר ממשי כקלט ומוציאות מספר ממשי כפלט (מהו מספר ממשי? על זה דיברתי בפוסט הקודם).

פונקציות נוהגים לסמן באותיות מכל הסוגים והמינים, בהתאם להקשר שלהן, אבל האות הנפוצה ביותר לתיאור פונקציה היא \(f\), ככל הנראה מהמילה Function. לכתוב \(f\left(x\right)=y\) פירושו לומר "הערך שמתקבל כאשר מפעילים את הפונקציה \(f\) על הקלט \(x\) הוא הפלט \(y\)" אם כותבים משהו בסגנון \(f\left(x\right)=x^{2}\), אומרים בזה "הפונקציה \(f\), כשמפעילים אותה על קלט \(x\), מחזירה את הפלט \(x^{2}\)", כלומר זוהי פונקציה של "העלאה בריבוע". כזו שקושרת בין כל מספר והריבוע שלו. עוד דוגמאות: \(f\left(x\right)=x+3\) מוסיפה 3 לקלט; \(f\left(x\right)=7x^{2}+2x+5\) מעלה את הקלט בריבוע, מכפילה ב-7, מוסיפה לזה את הקלט כפול 2, ולזה מוסיפה 5. אפשר לחשוב על פונקציה שכזו כאילו התיאור שלה מכילה גם "הוראות הכנה": \(7x^{2}+2x+5\) הוא בעצם "מתכון" שמסביר איך אפשר להפיק מתוך \(x\) את הערך של \(f\left(x\right)\). המונח המקובל במתמטיקה למתכונים שכאלו הוא אלגוריתם.

לפעמים גם משתמשים בסימון \(y=x^{2}\) כדי לתאר פונקציה; כאן המשמעות של \(y\) היא "המשתנה שמייצג את הפלט", שמכונה גם "המשתנה הקשור" (כי הוא קשור ל-\(x\); כאשר הערך של \(x\) משתנה, הערך של \(y\) משתנה בהתאם). זה סימון נפוץ בספרי לימוד חדו"א אבל אני לא אוהב אותו ולא אשתמש בו יותר.

הבה ונעבור לפונקציה יותר בעייתית, מבחינות רבות: \(f\left(x\right)=\sqrt{x}\). הפונקציה שבהינתן מספר ממשי, מתאימה לו את השורש שלו. מה הבעיות כאן? ובכן, שלוש בעיות עיקריות: ראשית, לא לכל מספר ממשי יש שורש ממשי; שנית, יש מספרים שיש להם שני שורשים ממשיים; שלישית, גם אם למספר יש שורש לא ברור איך מוצאים אותו.

ובכן, נתחיל מהבעיה הראשונה – למספר \(-1\) אין שורש ממשי, כלומר אין מספר ממשי שכאשר נעלה אותו בריבוע ייתן לנו \(-1\). לעומת זאת, קיימת קבוצת מספרים אשר מרחיבה את הממשיים ובה כן יש שורש למינוס 1 – המספרים המרוכבים. אם כן, הדרך לפתור את הבעיה הזו היא להגיד שהפונקציה לא חייבת להחזיר רק מספרים ממשיים, אלא יכולה גם להחזיר מספרים מרוכבים. במילים אחרות, יש חשיבות לקבוצת האיברים שממנה נלקחים הפלטים של הפונקציה. לקבוצה הזו קוראים טווח. שימו לב: אנחנו לא דורשים שכל ערך שנמצא בטווח בהכרח יוחזר על ידי הפונקציה בעבור קלט כלשהו; אנחנו פשוט מציינים בדרך שנוחה לנו קבוצת ערכים שמובטח לנו שכל פלטי הפונקציה ישתייכו אליה. למשל, עבור \(f\left(x\right)=x^{2}\) אפשר לציין בתור הטווח את קבוצת כל המספרים הממשיים, \(\mathbb{R}\). אך למעשה אפשר גם לדבר על הקבוצה \(\mathbb{R}^{+}\) שמכילה רק את המספרים הממשיים האי-שליליים (החיוביים ואפס), שכן אם מעלים מספר ממשי בריבוע יתקבל מספר אי שלילי. אם כן, מהו הטווח ה"נכון" כאן? אין משמעות לשאלה זו; \(\mathbb{R}\) ו-\(\mathbb{R}^{+}\) שניהם טווחים לגיטימיים של \(f\left(x\right)=x^{2}\). מכיוון שלפעמים כן יש חשיבות לשאלה מיהו הטווח של הפונקציה, נוהגים לומר זאת במפורש כאשר יש בכך צורך.

דרך אחרת לפתור את הבעיה של \(-1\) היא להגיד שהפונקציה \(f\left(x\right)=\sqrt{x}\) פשוט לא מוגדרת על ערכים שליליים של \(x\). כלומר, אנחנו מגבילים מראש את טווח הערכים שהפונקציה יכולה לקבל. עשינו זאת כבר קודם, כאשר הגבלנו את \(f\left(x\right)\) לקבל רק מספרים ממשיים ולא, למשל, ספרי מתמטיקה. אם כן, מה הבעיה להגביל עוד קצת את אוסף הערכים ש-\(f\) יכולה לקבל? לקבוצת הערכים שאותם \(f\) מקבלת קוראים התחום של \(f\) – ובדומה לטווח, לגיטימי לדבר על תחומים שונים ומשונים (כך למשל לפונקציה \(f\left(x\right)=x^{2}\) תחום לגיטימי הוא \(\mathbb{R}\), אבל גם \(\mathbb{R}^{+}\) הוא תחום לגיטימי).

אם כן, פונקציה מאופיינת על ידי שלושה דברים: התחום שלה, הטווח שלה, ומה שהיא עושה – המיפוי שהיא מבצעת בין קלט ופלט. כאשר יש חשיבות לתחום ולטווח נוהגים לכתוב \(f:A\to B\) כדי להגיד "הפונקציה \(f\) היא בעלת תחום \(A\) וטווח \(B\)". כדי לציין את מה שהפונקציה עושה משתמשים בסימון דוגמת \(f\left(x\right)=x^{2}\) שראינו קודם, אבל עוד סימון מקובל הוא \(x\mapsto x^{2}\), שיש לקרוא כ"\(x\) מתמפה אל \(x^{2}\)". אלו בסך הכל שיטות סימון שונות ואין ביניהן הבדל מהותי.

אם כן, את פונקצית השורש אפשר לתאר כך: \(f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}\), \(x\mapsto\sqrt{x}\). פתרנו את הבעיה הראשונה.

הבעיה השניה היא שאם \(x\) הוא מספר ממשי חיובי (גדול מאפס) יש לו שני שורשים. למשל, ל-4 יש את השורשים \(2\) ו-\(-2\). עם זאת, לפונקציה יכול להיות פלט יחיד. מה עושים? פשוט – בוחרים את אחד מהפלטים האפשריים וחסל. פונקצית השורש מוגדרת ככזו שלוקחת תמיד את השורש החיובי מבין השניים (השורשים של מספר ממשי הם תמיד מהצורה \(a\) ו-\(-a\) עבור \(a\) ממשי חיובי כלשהו). כמובן שמתמטיקאים תמיד ששים להכליל כל דבר ולשבור את החוקים בכל הזדמנות (באמת!) ולכן קיים גם מושג של "פונקציה רב-ערכית" – פונקציה שבה לכל קלט יכולים להיות כמה פלטים – אך זה מושג שמופיע בהקשרים ספציפיים, וניתן לפרמל אותו תוך שימוש במושג ה"רגיל" של פונקציה ובלי באמת לשבור את הכללים, ולכן לא נדבר עליו כעת.

הבעיה השלישית היא אולי המהותית ביותר כאן. מה קורה כאשר מזינים לפונקציה \(f\left(x\right)=\sqrt{x}\) את הערך \(2\)? איך מוצאים את התשובה? יותר חשוב – אפילו אם מצאנו אותה, באיזה מובן מצאנו אותה? האם אנחנו יכולים לכתוב את כולה על נייר בבסיס עשרוני? האם \(\sqrt{2}\) איננה תשובה מספיקה? כמו שאתם רואים, השאלה הזו היא פילוסופית בעיקרה – לא ברור לנו מה נחשב תשובה "לגיטימית". לכן אנחנו מבצעים הפרדה חדה, כשמדברים על פונקציות, בין ההגדרה של הפונקציה ובין החישוב שלה. זה שהצלחנו להגדיר פונקציה במילים או בנוסחה עדיין לא אומר שאנחנו יודעים לחשב אותה – ולמעשה, ידועות פונקציות שניתנות להגדרה במילים, אך הן בלתי ניתנות לחישוב, לפחות לא באופן שבו אנחנו מבינים כיום את המושג "חישוב". בהקשר זה פונקציות כמו \(f\left(x\right)=7x^{2}+2x+5\) הן פשוטות מאוד יחסית – ההגדרה שלהן כבר כוללת אלגוריתם (ואפילו אלגוריתם יעיל) לחישוב שלהן. אבל חשוב להבין שזה בשום פנים ואופן לא מאפיין כללי של כל הפונקציות.

אם כן, הבה וננסה להביא הגדרה קצת יותר מדוייקת של "מהי פונקציה"- ההגדרה האמיתית שאיתה עובדים המתמטיקאים. לשם כך נתחיל מלדבר על התחום והטווח – ניקח שתי קבוצות \(A,B\), ונגדיר פונקציה בתור קבוצה של זוגות מהצורה \(\left(a,b\right)\) כך ש-\(a\in A,b\in B\) (\(a\) שייך ל-\(A\) ו-\(b\) שייך ל-\(B\)), באופן כזה שלכל איבר של \(A\) קיים זוג יחיד שבו הוא מופיע בצד שמאל. במילים אחרות, אם נסתכל על כל הזוגות, כל איבר של \(A\) יופיע מתישהו בצד שמאל של הזוגות, ולא יופיע פעמיים. זה הכל. המשמעות של זוג \(\left(a,b\right)\) כזו היא בדיוק \(f\left(a\right)=b\), כלומר שהפונקציה מעבירה את \(a\) ל-\(b\).

העובדה שכל איבר של \(A\) מופיע בצד שמאל של אחד מהזוגות מבטיח שהפונקציה מוגדרת על כל האיברים של \(A\). העובדה שהוא מופיע רק בזוג אחד מראה שההגדרה הזו היא "בסדר" – שאנחנו לא מתאימים לאותו איבר כמה ערכים אפשריים.

שימו לב שעשינו כאן קפיצה מחשבתית מסויימת – אם אנחנו מתארים פונקציה בתור אוסף של זוגות, אנחנו אפילו לא נזקקים לדיבורים על איזה שהוא כלל שמגדיר את התנהגות הפונקציה; כל אוסף שרירותי לגמרי של זוגות נחשב פונקציה. התוצאה של כך היא (ועכשיו אני גולש למתמטיקה מחוכמת למדי ולא מצפה שכולם יבינו) שבהינתן \(A,B\) אפשר לדבר על דברים כמו "קבוצת כל הפונקציות מ-\(A\) ל-\(B\)" למרות שייתכן שאין לנו שום דרך לתאר איך חלק מהפונקציות הללו נראות.

בואו נראה כמה דוגמאות לפונקציות. הדוגמאות הנוחות ביותר הן של פונקציות \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) כי הן גם נפוצות למדי וקרוב לודאי שכל מי שלמד מתמטיקה בתיכון נתקל בהן. כתבתי שהתחום הוא \(\mathbb{R}\), אבל זו הייתה הכללה גסה – בחלק מהפונקציות התחום ייאלץ להיות קטן יותר, ואני אגיד במפורש מהו במקרה הזה. יותר מכך – במקרה של פונקציות כאלו, אפשר לתאר אותן בצורה גאומטרית נוחה – בתור קו כלשהו במישור. הרעיון הוא שלכל נקודה בציר \(x\), מוצאים ה"גובה"בציר \(y\) שמתאים ל-\(f\left(x\right)\) ומציירים שם נקודה. כלומר, מציירים נקודה בקוארדינטה \(\left(x,f\left(x\right)\right)\). מכיוון שלכל \(x\) מתאים בדיוק \(f\left(x\right)\) יחיד, הרי שאם נמתח קו אנכי שקוארדינטת ה-\(x\) שלו היא \(x\) שלנו, הוא יחתוך את הקו שציירנו בדיוק בנקודה אחת. זו התכונה שמאפיינת ציורים של פונקציות. באופן כללי ציורים כאלו נקראים גרף.

ובכן, נתחיל מ-\(f\left(x\right)=a\) כאשר \(a\in\mathbb{R}\). זוהי פונקציה קבועה – לא משנה מה הקלט, הפלט תמיד זהה ושווה ל-\(a\). זהו אולי הסוג הפשוט ביותר של פונקציות. הגרף של הפונקציה הזו הוא פשוט קו ישר בעל גובה קבוע – \(a\).

לאחר מכן יש את \(f\left(x\right)=x\) – זוהי פונקצית הזהות שבה הקלט שווה לפלט. כאן הגרף הוא קו אלכסוני שעובר דרך ראשית הצירים.

עכשיו אפשר להתחכם – \(f\left(x\right)=ax+b\), כלומר מכפילים את הקלט ב-\(a\) ומוסיפים לו \(b\). פונקציות כאלו מכונות לינאריות (שם מדויק יותר הוא "אפיניות", אבל נעזוב את זה). כאן הגרף הוא קו נטוי שחותך את ציר \(y\) בדיוק בנקודה \(b\) (למה?) והשיפוע של הקו (ה"כמות" שבה הוא נוטה) תלויה ב-\(a\); ככל ש-\(a\) קטן יותר, כך הקו יותר אופקי, עד שב-\(a=0\) הוא הופך להיות אופקי לגמרי (ואז חזרנו למקרה של פונקציה קבועה), וככל ש-\(a\) גדול יותר כך הקו יותר אנכי (שימו לב שלא משנה כמה הוא גדול, לא נגיע לקו אנכי לגמרי; קו אנכי לגמרי אינו מייצג פונקציה). עבור \(a=1\) נקבל קו שהוא בדיוק "באמצע הדרך" – וזה נראה קצת מוזר בהתחשב בכמה ש-1 הוא מספר קטן. ומה קורה כאשר \(a\) שלילי? נסו לצייר בעצמכם ולראות.

עוד פונקציה שכבר דיברנו עליה היא \(f\left(x\right)=x^{2}\). הגרף שלה הוא מה שנקרא פרבולה. כמו קודם, אפשר לעשות כאן מניפולציות של כפל בקבוע וחיבור של \(x\) וכדומה, ולדבר על פונקציה כללית יותר: \(f\left(x\right)=ax^{2}+bx+c\). כל תלמיד תיכון כנראה כבר מכיר (ושונא…) את היצור הזה, אבל גם יודע שהנקודות שבו הוא חותך את ציר ה-\(x\) מתאימות בדיוק לפתרונות של המשוואה הריבועית \(ax^{2}+bx+c=0\). אני רוצה לעצור רגע ולהדגיש עד כמה זה דבר יפה. תשכחו מכל התרגילים הטכניים המזוויעים שקשורים לכך – יש לנו כאן קשר בין נקודות חיתוך בין שני יצורים גאומטריים, ובין פתרונות של משוואה אלגברית. זה לא קשר טריוויאלי או מובן מאליו; והרעיון הזה, של קשר בין גאומטריה ובין אלגברה, נותר אחד מהרעיונות החשובים ביותר גם בענפים מתקדמים מאוד של המתמטיקה (בפרט הגאומטריה האלגברית).

אם ההגדרה של הפונקציות עבדה לנו עד \(x^{2}\), למה לא להמשיך? ואכן, אפשר להגדיר גם \(f\left(x\right)=x^{3}\), \(f\left(x\right)=x^{4}\) וכן הלאה. באופן כללי: \(f\left(x\right)=x^{n}\), עבור \(n\) שהוא מספר טבעי (גדול או שווה לאפס) כלשהו. ואז אפשר לעשות קפיצת מדרגה קדימה ולהגדיר פונקציה שנראית כך: \(f\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\). פונקציה כזו נקראת פולינום ("רב-איבר"), והיא הצורה הכללית ביותר של כל הפונקציות שהצגנו עד כה. לפולינומים חשיבות עצומה בשל הפשטות הרבה שלהם, שבאה לידי ביטוי גם בתיאור הפשוט שלהם וגם בעובדה שקל לחשב אותם – הם הדבר הראשון שבו אנו מטפלים במסגרת החדו"א, ובעזרתם אפשר לדעת דברים מעניינים על פונקציות מסובכות בהרבה (למשל, איך לחשב עבורן קירוב).

מה שעד כה לא היה בפונקציות שלנו הוא חילוק. למשל, \(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\) טרם הופיע. שימו לב לסיבוך שהפונקציה הזו גוררת – היא לא מוגדרת ב-\(x=0\) ולכן תחום ההגדרה שלה הוא כל שאר המספרים הממשיים. כשמציירים אותה רואים שאכן קרה כאן משהו מוזר – הפונקציה מפוצלת לשני "ענפים"שמתנהגים שונה, האחד מימין לציר ה-\(y\) והשני משמאל לו.

ומה על פונקציה כמו \(f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}\)? גם בה יש בעיה, אבל לא ב-\(x=0\) אלא דווקא ב-\(x=-1\). וזה יכול להסתבך: \(f\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}-1}\) הוא בעל שתי נקודות בעייתיות שונות – \(x=1\) ו-\(x=-1\). בקיצור, הבעיה עם שברים היא בכל הנקודות שבהן המכנה מתאפס. כשמבקשים למצוא את תחום ההגדרה של פונקציות כאלו, כמו שמאוד אוהבים לעשות בתיכון, המטרה היא למצוא את הנקודות שבהן המכנה מתאפס. שימו לב שזה לא בהכרח קורה בכלל, אפילו אם יש לנו שבר: \(f\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+1}\) מוגדר לכל \(x\) כי המכנה לא יכול להתאפס כלל (במספרים ממשיים).

באופן כללי אם \(p\left(x\right),q\left(x\right)\) הם שני פולינומים, אז אפשר להגדיר פונקציה \(f\left(x\right)=\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}\). פונקציה שכזו (שהיא מנה של שני פולינומים) מכונה פונקציה רציונלית. אפשר לחשוב עליה בתור "רמת הסיבוך הבאה" אחרי פולינומים. תחום ההגדרה שלה כולל את כל הנקודות שבהן \(q\left(x\right)\) שונה מאפס; מכיוון שלפולינום מדרגה \(n\) יש לכל היותר \(n\) ערכים שמאפסים אותו (זהו משפט לא מסובך במיוחד, אך גם כזה שלא רואים בתיכון) הפונקציה מוגדרת "כמעט בכל מקום".

בדיקה קצרה מראה שסכום של פונקציות רציונלית הוא בעצמו פונקציה רציונלית, וגם מכפלה או חלוקה שלהן; לכן פונקציות רציונליות מתארות את כל הפונקציות שהחישוב שלהן דורש רק הפעלה של מספר סופי של פעולות החשבון הבסיסיות. מכאן שפונקציות אחרות שנתאר יהיו אינהרנטית מסובכות יותר וכבר לא יהיה אפשר לתאר אותן בצורה פשוטה ויפה; למעשה, חלק ממה שעושים בחדו"א הוא לפתח כלים שמאפשרים חישוב יעיל של הפונקציות הללו.

יותר מכך, עבור פונקציות נוספות אין ממש טעם להציג אותן ותו לא; צריך לתת מוטיבציה כלשהי לקיומן. עשיתי זאת לא מזמן עבור הפונקציות העיקריות שאציג כעת, אם כי יש עוד הרבה דרכים שונות לתת מוטיבציה לדיבורים על הפונקציות הללו. אני מדבר על פונקציות הסינוס והקוסינוס \(\sin\left(x\right),\cos\left(x\right)\) (והפונקציות שמתוארת באמצעותם, דוגמת \(\tan\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\), על הפונקציה המעריכית \(e^{x}\) והפונקציה ההפוכה לה, הלוגריתם \(\ln x\). יש עוד מחלקה של פונקציות פופולריות – הפונקציות ההיפרבוליות – אך נעזוב אותן בשקט כי הן לא מופיעות בתיכון, וגם במתמטיקה מתקדמת יותר הן מופיעות רק בהקשרים מאוד ספציפיים (בעוד שהפונקציות הטריגונומטריות – סינוס וקוסינוס – והפונקציה המעריכית והלוגריתמית מופיעות כל הזמן כמעט). כאמור, אין לי תיאור פשוט לאף אחת מהפונקציות הללו כך שלא אתאר אותן עכשיו בכלל; למעשה, לא רק שאפשר להשתמש בחדו"א כדי לתת דרכים טובות לחשב את הפונקציות הללו, אלא אפשר להשתמש בחדו"א כדי לספק להן הגדרות משביעות רצון. זה בדיוק מה שעשיתי בפוסטים שעסקו בפונקציות הטריגונומטריות ובפונקציה המעריכית, שבהם הראיתי איך ניתן להשתמש בנגזרת כדי לתאר את הפונקציות הטריגונומטריות והפונקציה המעריכית; תיאור טוב של הלוגריתם (שהוא מאוד מקובל בספרים בנושא) הוא באמצעות האינטגרל.

אם כן, דיברתי כאן על קצה המזלג על פונקציות וסיפרתי קצת על הפונקציות הממשיות הבסיסיות שבהן עוסקים בחדו"א. הקרקע כעת הוכנה ואפשר לעבור ולדבר במפורש על החדו"א עצמה; ואתחיל מהמושג הבסיסי שבו היא עוסקת, מושג הגבול.

שרשרת הפוסטים הקודמים שלי, שהחלה ביום פאי, יועדה למטרה אחת – הגדרה של סינוס וקוסינוס באופן שהוא לחלוטין בלתי קשור לגאומטריה בשום צורה שהיא – ומכאן גם הכנסה של פאי למשחק המתמטי בדרך שהיא לחלוטין בלתי קשורה לגאומטריה בשום צורה שהיא. מנת הפתיחה שלי הייתה הגדרת פונקצית האקספוננט באופן בלתי גאומטרי שכזה, כשהמוטיבציה מגיעה מפתרון משוואות דיפרנציאליות; ובפוסט האחרון הגעתי למשוואה דיפרנציאלית שבה האקספוננט הממשי אינו מסוגל להועיל לנו עוד – המשוואה \(f^{\prime\prime}=-f\). זוהי נקודת המוצא למה שאעשה בפוסט הזה, שיהיה דומה למדי למה שעשיתי בפוסט על האקספוננט – נתחיל מכך שקיימים פתרונות למשוואה הזו, נחקור את תכונותיהם ובסוף נגיע למסקנה שאלו הם הסינוס והקוסינוס המוכרים לנו זה לא מכבר. חשוב להבהיר שמה שנעשה יהיה לצאת להרפתקאה בג'ונגל – זו לא הדרך הקצרה או הפשוטה ביותר, וגם לא רואים בה את הנוף באופן הטוב ביותר, וגם נשרטים כל הזמן מקוצים וענפים וצריך להיזהר מחיות טרף – אבל אני חושב שזו הרפתקאה טובה שכן היא מעניקה לנו נקודת מבט שונה וזרה על הנושא מזו שניתן לראות כאשר פוסעים בשבילים המוכרים.

ובכן, הבה וניגש לעבודה. כפי שאמרתי בפוסט הקודם, למשוואות דיפרנציאליות מסדר שני יש משפט קיום ויחידות שמבטיח למשוואה \(f^{\prime\prime}=-f\) קיים פתרון יחיד אם דורשים גם שני תנאי התחלה מהצורה \(f\left(0\right)=a,f^{\prime}\left(0\right)=b\) עבור \(a,b\) ממשיים כלשהם (תנאי ההתחלה לא חייב להיות באפס, אבל זה יהיה הכי נוח עבורנו). כתמיד, נרצה שתנאי ההתחלה יהיו פשוטים ככל הניתן; תנאי ההתחלה \(f\left(0\right)=f^{\prime}\left(0\right)=0\) מניב בבירור את הפתרון \(f\left(x\right)=0\) שאיננו מעניין, ולכן הנסיון הבא יהיה לקבוע את אחד מתנאי ההתחלה להיות 1. נאמר, \(f\left(0\right)=0,f^{\prime}\left(0\right)=1\). משפט הקיום והיחידות מבטיח שקיימת פונקציה שעונה על תנאים אלו – בואו נסמן אותה בסימון הבלתי צפוי לחלוטין \(f\). ומה יקרה אם נבחר דווקא תנאי התחלה שב-\(0\) נותן לפונקציה 1, ולנגזרתה יתן \(0\)? אין שום בעיה – נסמן פתרון זה ב-\(g\). השלב הראשון בהרפתקאה שלנו יהיה להבין את הקשר שבין \(f\) ו-\(g\).

הבה ונתבונן רגע על הפונקציה \(f^{\prime}\). אמנם, הפונקציה הזו היא בראש ובראשונה הנגזרת של \(f\), אבל יש לה חיים משל עצמה. אם גוזרים אותה מקבלים את \(f^{\prime\prime}\), שכידוע שווה ל-\(-f\); ואם גוזרים אותה שוב, מקבלים את \(-f^{\prime}\). במילים אחרות, גם \(f^{\prime}\) מקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית שממנה התחלנו. עם אילו תנאי התחלה היא מקימת אותם? ובכן, \(f^{\prime}\left(0\right)=1\), כי כך קבענו את \(f\) מלכתחילה; ו-\(\left(f^{\prime}\right)^{\prime}\left(0\right)=f^{\prime\prime}\left(0\right)=-f\left(0\right)=0\) – אבל אלו בדיוק תנאי ההתחלה של \(g\)! מכאן ש-\(f^{\prime}=g\). כבר צץ הקשר הראשון בין שני הפתרונות ה"מעניינים" של המשוואה עם תנאי ההתחלה הפשוטים ביותר שהצלחנו למצוא.

הצעד הבא פשוט: \(g^{\prime}=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}=f^{\prime\prime}=-f\). כלומר, בעוד ש-\(g\) הייתה הנגזרת של \(f\), הרי ש-\(-f\) הוא הנגזרת של \(g\). שימו לב כמה מעט היינו צריכים להניח בשביל לקבל את "חוק הטבע" הזה ואת הא-סימטריה שטבועה בשתי הפונקציות הללו – האחת מניבה את חברתה, ואילו השניה מניבה את מינוס חברתה. לכן כל אחת מהפונקציות מעניינת בזכות עצמה ויש מקום לדבר על שתיהן בבת אחת.

עכשיו, משיש לנו מידע יותר מלא על מהן כל הנגזרות של \(f\) ו-\(g\), ניתן לבצע את אותו ניתוח שביצענו גם עבור אקספוננט – מציאת טורי הטיילור המתאימים לפונקציות. כזכור, עבור \(f\) טור הטיילור יהיה טור מהצורה \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}x^{n}\). החישוב אינו מסובך במיוחד: \(f^{\left(0\right)}\left(0\right)=0\) על פי הגדרה; \(f^{\left(1\right)}\left(0\right)=g\left(0\right)=1\); \(f^{\left(2\right)}\left(0\right)=-f\left(0\right)=0\); \(f^{\left(3\right)}\left(0\right)=-g\left(0\right)=-1\); ואילו \(f^{\left(4\right)}=f\), ולכן הסדרה תתחיל לחזור על עצמה משם ואילך. במילים אחרות, סדרת הערכים שמתקבלת היא \(0,1,0,-1,0,1,0,-1,\dots\) (להבדיל מאקספוננט, שבה היא הייתה פשוט \(1,1,1,\dots\)). לכן הטור יהיה מהצורה \(x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\dots\). ניתוח דומה עבור \(g\) מניב את הסדרה \(1,0,-1,0,1,0,-1,0,\dots\) ולכן את הטור\(1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\dots\). כפי שניתן לראות, שני הטורים "משלימים" זה את זה; בפרט, אם נהפוך את סימני המינוס לפלוס ונחבר את הטורים, נקבל את הטור של \(e^{x}\). תופעה זו היא שמובילה לנוסחת אוילר, \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\), אך דיה לצרה בשעתה.

כמובן, זה שכתבנו את טור הטיילור של \(f,g\) עדיין לא אומר שהטור אכן מתכנס אליהן – בשביל זה צריך לדבר על גודל השארית, כמו שעשיתי במקרה של אקספוננט. שם הראיתי שדי להצביע על כך שיש חסם על הערך שכל הנגזרות של \(\exp\)יכולות לקבל בתחום \(\left[0,x_{0}\right]\) כדי להוכיח שהטור מתכנס לפונקציה, וכדי לראות זאת פשוט שמנו לב לכך שגם כאשר גוזרים את \(\exp\) מקבלים אותה עצמה, ולכן חסם על \(\exp\) בתחום הזה (שקיים, כי היא רציפה והתחום סגור) מוביל לחסם על כל הנגזרות. אותו שיקול עובד גם כאן – אמנם, הנגזרת של \(f\) היא \(g\) ושל \(g\) היא \(-f\), אבל ניתן למצוא חסם על \(g,f\) "בו זמנית", ולכן גם על כל נגזרותיהן. מסקנה: שני הטורים שכתבתי לעיל אכן מתארים נכונה את \(f,g\). לאלו מכם שמכירים את הטורים הללו כבר בתור הטורים של \(\sin\) ו-\(\cos\) כבר הגענו לקרקע יציבה כלשהי. עבור היתר מה שחשוב כאן הוא רק שמצאנו ביטוי "קונקרטי" לפונקציות הללו, שגם מאפשר לנו לחשב אותן אם נרצה.

נחזור כעת לציד תכונות מעניינות בג'ונגל, כשהמוטיבציה שלנו מגיעה ממה שאנחנו כבר יודעים על \(\sin\)ו-\(\cos\). הבה ונתבונן בפונקציה שמוגדרת על ידי \(h=f^{2}+g^{2}\). אם נגזור אותה, נקבל את הנגזרת \(h^{\prime}=2ff^{\prime}+2gg^{\prime}=2fg-2gf=0\) – במילים אחרות, \(h\) היא פונקציה שנגזרתה היא זהותית אפס, ולכן היא פונקציה קבועה (זהו אחד מהמשפטים הבסיסיים בחשבון אינפיניטסימלי, וגם משפט ברור אינטואיטיבית – הרי נגזרת היא קצב השינוי של פונקציה, ואם קצב השינוי הזה הוא תמיד אפס, הפונקציה בהכרח קבועה). האם אנחנו יודעים לחשב את הערך הקבוע של \(h\)? ודאי – \(h\left(0\right)=f^{2}\left(0\right)+g^{2}\left(0\right)=0+1=1\). מכאן ש-\(f^{2}\left(x\right)+g^{2}\left(x\right)=1\) לכל \(x\). נראה מוכר? זה גם מניב דרך נוספת לבטא את \(g\) באמצעות \(f\): \(g=\pm\sqrt{1-f^{2}}\). זוהי דרך הצגה "רמאית" במובן מסויים כי איננו יודעים באמת את הערך של \(g\left(x\right)\) בהינתן \(f\left(x\right)\); אנחנו יודעים שהוא \(\pm\sqrt{1-f^{2}\left(x\right)}\) אבל איננו יודעים אם זהו הערך החיובי או השלילי. נצטרך לאמץ דרך שונה לתקוף את השאלה הזו.

שימו לב למה שנובע מהתכונה שכרגע ראינו – מכיוון ש-\(g,f\) הן פונקציות ממשיות ומוגדרות לכל \(x\), נובע מכך בהכרח שהערכים ששתיהן מחזירות מצויים תמיד בתחום \(\left[-1,1\right]\), כי במספרים ממשיים, \(f^{2}\left(x\right)+g^{2}\left(x\right)=1\) מכריח את \(f\left(x\right),g\left(x\right)\) להיות קטנים או שווים ל-1 אחרת אחד מהם יהיה חייב להיות מספר מרוכב. יותר מכך – \(f,g\) רוקדות מעין "ריקוד" יחדיו – כאשר אחת גדולה (בערכה המוחלט), השניה חייבת להיות קטנה. האופן שבו הן משתלבות זו בזו ב"ריקוד" הזה והעובדה שהריקוד הוא מחזורי היא היעד המרכזי שלנו – אבל לצורך כך יש עוד תכונות שעלינו להיווכח בהן.

כל מי שהיה תלמיד תיכון ודאי זוכר את הנוסחאות המפלצתיות עבור \(\sin\left(x+y\right)\) ו-\(\cos\left(x+y\right)\). הבה וננסה לגזור נוסחאות שכאלו עבור \(f,g\) באמצעות הכלים שיש לנו עד כה (דהיינו, בלי שום גאומטריה). לצורך כך הבה וניזכר במשהו מהפוסט הקודם – אמרתי שבהינתן משוואה דיפרנציאלית מסדר שני (בלי מקדם חופשי) ושני פתרונות "בלתי תלויים" עבורה, אפשר לבנות כל פתרון אחר כצירוף לינארי של שני הפתרונות הללו, כשהמקדמים נקבעים על פי תנאי ההתחלה. כפי שניתן לנחש, \(f,g\) הם שני פתרונות "בלתי תלויים" שכאלו, ונראה זאת במפורש. נניח אם כן כי \(h\) היא פונקציה אשר מקיימת \(h^{\prime\prime}=-h\) וכמו כן \(h\left(0\right)=a\) ו-\(h^{\prime}\left(0\right)=b\). כעת נתבונן בפונקציה \(bf+ag\); בבירור אם נציב בה 0 נקבל \(a\) (כי \(f\) יתאפס ואילו \(g\) יהפוך ל-1). אם נגזור אותה, נקבל \(bf^{\prime}+ag^{\prime}=bg-af\), וכשמציבים 0 בנגזרת זו מקבלים בבירור את \(b\). כמו כן ברור כי \(bf+ag\) מקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית המקורית שכן היא צירוף לינארי של \(f,g\). מסקנה ממשפט הקיום והיחידות? \(h=bf+ag\).

בואו ניקח כעת \(y\) ממשי כלשהו, ונגדיר פונקציה חדשה: \(h\left(x\right)=f\left(x+y\right)\). מכללי הגזירה הסטנדרטיים עולה ש-\(h^{\prime\prime}\left(x\right)=f^{\prime\prime}\left(x+y\right)=-f\left(x+y\right)=-h\left(x\right)\), כך שאת \(h\) אפשר לייצג כצירוף לינארי של \(f,g\). מהם המקדמים? \(a=h\left(0\right)=f\left(y\right)\), ו-\(b=h^{\prime}\left(0\right)=f^{\prime}\left(y\right)=g\left(y\right)\). מסקנה: \(f\left(x+y\right)=f\left(x\right)g\left(y\right)+g\left(x\right)f\left(y\right)\). נראה מוכר? באופן דומה אפשר להראות כי \(g\left(x+y\right)=g\left(x\right)g\left(y\right)-f\left(x\right)f\left(y\right)\). אני מאוד אוהב את ההוכחה הזו כי היא נותנת תובנה יפה על הנוסחאות הללו – הן לא סתם ערב רב של סינוסים וקוסינוסים שהושלכו באקראי, אלא צירוף לינארי של \(\sin x,\cos x\) כשהמקדמים מבוססים על \(\sin y,\cos y\).

מכאן הדרך להוכחה ש-\(f,g\) מחזוריות קצרה יחסית, אבל עדיין יש צעד מרכזי אחד שטרם ביצענו – עלינו להראות כי \(g\) מתאפסת היכן שהוא. הבה נניח בשלילה כי \(g\left(x\right)>0\) לכל \(x\ge0\) (עבור \(x=0\) אנו יודעים כי זה נכון: \(g\left(0\right)=1\)). מכיוון ש-\(f^{\prime}=g\), נובע מכך ש-\(f\) היא מונוטונית עולה עבור \(x\ge0\), דהיינו \(f\left(x\right)>0\) לכל \(x>0\). כעת, מכיוון ש-\(g^{\prime}=-f\), עולה מכך כי \(g\) היא מונוטונית יורדת לכל \(x>0\). עד כאן, שום דבר מפתיע – זהו בדיוק ה"ריקוד" של \(f,g\) שעליו דיברתי – כשהאחת עולה, השנייה יורדת. האינטואיציה כאן היא שקצב הירידה של \(g\), אם היא אינה מתאפסת אף פעם, חייב להתמתן עוד ועוד עם הזמן. קצב הירידה הזה הוא נגזרתה של \(g\), כלומר \(-f\), ולכן הטענה היא שהערך של \(-f\) חייב לגדול עם הזמן (הוא שלילי כל הזמן, ולכן כשאני אומר שהוא "גדל", הכוונה היא דווקא לכך שערכו המוחלט קטן – בהתחלה הוא \(-1\), אחר כך \(-0.5\) וכן הלאה). אלא שהערך של \(-f\) בתחילת ה"ריקוד" היה 0, ולכן הסיטואציה חייבת להיות כזו: ראשית ערכו של \(-f\) קטן, ואז פתאום המצב "מתהפך" וערכו מתחיל "לגדול". בפרט זה אומר שיש ל-\(-f\)נקודת מינימום בריקוד הזה, אבל משפט בסיסי מחשבון אינפיניטסימלי אומר שבנקודת המינימום הזו הנגזרת של \(-f\) תתאפס – ונגזרת זו היא בדיוק \(-g\)…

למרות שהטיעון הזה נשמע חצי נפנוף-ידיימי, הוא למעשה מאוד קונקרטי ולא נדרשת הרבה עבודה כדי לפרמל אותו לגמרי. השורה התחתונה היא מה שמעניין אותנו – קיימת נקודה \(t>0\) כך ש-\(g\left(t\right)=0\), ו-\(t\) הוא הערך הקטן ביותר שגדול מ-0 שמקיים זאת. מהו ערכה של \(f\) בנקודה זו? ובכן, \(f\left(t\right)=\pm\sqrt{1-g^{2}\left(t\right)}=\pm1\). אלא שלא ייתכן ש-\(f\) שלילי בנקודה זו, כי ב-0 התקיים \(f\left(0\right)=0\) ומאותו רגע והלאה \(g\) – הנגזרת של \(f\) – הייתה חיובית (כי \(t\) הנקודה המינימלית שבה \(g\) מתאפסת), ולכן \(f\) רק עלתה. מכאן ש-\(f\left(t\right)=1\). כעת אפשר להגיע למסקנה מעניינת מאוד: \(f\left(x+t\right)=f\left(x\right)g\left(t\right)+g\left(x\right)f\left(t\right)=g\left(x\right)\). במילים אחרות, \(g\) מתנהגת בדיוק כמו \(f\), פרט לכך שהיא "מקדימה" אותה בדיוק ב-\(t\) "צעדים" (כלומר, אם נזיז את הגרף של \(f\) \(t\) יחידות ימינה, הוא יזדהה עם הגרף של \(g\)).

כעת הניתוח נעשה פשוט בהרבה. מה קורה לפונקציות בקטע \(\left[t,2t\right]\)? בתחילתו, כזכור, \(g\left(t\right)=0\) ואילו \(f\left(t\right)=1\). מכיוון ש-\(f\) מתנהגת בקטע הזה כמו ש-\(g\) התנהגה בקטע \(\left[0,t\right]\) הרי ש-\(f\) פשוט תרד עד ל-\(0\): \(f\left(2t\right)=0\). בזמן הזה \(g\) היא בעלת נגזרת שלילית לכל אורך הדרך (כי הנגזרת שלה היא \(-f\) ו-\(f\) הרי חיובית בקטע זה) ולכן \(g\) תהיה מונוטונית יורדת בכל הקטע. עד להיכן היא תרד? כאן אפשר להשתמש בנוסחת הסכום: \(g\left(2t\right)=g^{2}\left(t\right)-f^{2}\left(t\right)=-1\). אם כן, הריקוד ממשיך – בקטע מ-\(t\) אל \(2t\), שתי הפונקציות יורדות מטה מרחק של יחידה אחת.

ומה קורה ב-\(\left[2t,3t\right]\)? ובכן, \(f\) כרגיל מחקה את \(g\): יורדת עד ל-\(-1\) (\(f\left(3t\right)=-1\)). על כן הנגזרת של \(g\) היא חיובית בכל הקטע ולכן \(g\) עולה בכל הקטע ומגיעה עד ל-0, שהרי \(g\left(3t\right)=g\left(2t\right)g\left(t\right)-f\left(2t\right)f\left(t\right)=0-0=0\).

ולבסוף, בקטע \(\left[3t,4t\right]\) \(f\) ממשיכה לחקות את \(g\) ועולה בעצמה ל-0, ואילו \(g\) ממשיכה לעלות (כי נגזרתה חיובית) ומגיעה עד ל-1: \(g\left(4t\right)=g^{2}\left(2t\right)-f^{2}\left(2t\right)=1\). זה אומר שב-\(4t\) חזרנו להתחלה – שוב \(f\) מאופסת ו-\(g\) מחזירה 1. מזה נובע מיידית ש-\(4t\) הוא מחזור של שתי הפונקציות הללו: \(f\left(x+4t\right)=f\left(x\right)g\left(4t\right)+f\left(4t\right)g\left(x\right)=f\left(x\right)\), ובדומה \(g\left(x+4t\right)=g\left(x\right)g\left(4t\right)-f\left(x\right)f\left(4t\right)=g\left(x\right)\) – וזה נכון לכל \(x\), כולל השליליים. הוכחנו (בלי שום גאומטריה) את המחזוריות של \(f,g\). יותר מכך – המעקב המדוקדק שלנו אחרי ההתנהגות של \(f,g\) מעלה שהסיטואציה הזו (\(f\) מקבלת 0, \(g\) מקבלת 1) התרחשה לראשונה ב-\(4t\) לאחר ההתרחשות שלה ב-0, ומכאן ש-\(4t\) הוא המחזור המינימלי של שתי הפונקציות הללו.

זהו – הוכחנו כרגע את התכונה החשובה ביותר של שתי הפונקציות. שימו לב כמה אנחנו כבר יכולים לומר: למשל, מניתוח ההתנהגות שביצענו ל-\(f\) ברור כי היא מתאפסת רק בערכים מהצורה \(k\cdot2t\) עבור \(k\) שלם; לכן אם נשתמש בהוכחה של אוילר לחישוב \(\sum\frac{1}{n^{2}}\) שהצגתי בעבר, נקבל שהסכום הזה הוא \(\frac{\left(2t\right)^{2}}{6}\). במילים אחרות, הצלחנו לחשב את סכום הטור בלי שום גאומטריה. זו נקודה טובה לעצור ולהודות באמת: \(f\left(x\right)\) הוא פשוט שם מיתמם ל-\(\sin\left(x\right)\), \(g\left(x\right)\) הוא שם מיתמם ל-\(\cos\left(x\right)\), ואילו \(\pi=2t\). אך לא ניתן לעשות זאת "סתם", שהרי \(\sin\left(x\right),\cos\left(x\right),\pi\) כולם יצורים גאומטריים ואי אפשר "להשתלט" עליהם ככה בלי להגיד כלום על גאומטריה. לכן, אם מתעקשים, אפשר להיפגש באמצע – עם קצת אנליזה (והגבול \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\) והוכחתו הגאומטרית הידועה לשמצה) אפשר להראות כי \(\sin^{\prime}\left(x\right)=\cos\left(x\right)\) ו-\(\cos^{\prime}\left(x\right)=-\sin\left(x\right)\) ומכאן חיש קל אפשר להראות ש-\(\sin,\cos\) הם הפתרונות למשוואה הדיפרנציאלית שעליה דיברתי. האם יש דרך אחרת? ובכן, אפשר להגדיר את \(\sin,\cos\) בצורה מעט שונה מהצורות שאנו מכירים – צורה שהיא מעין פשרה בין ההגדרה הגאומטרית ובין ההגדרות האנליטיות, ומשתמשת בפונקציה אנליטית המתארת שטח של עיגול. הניתוח של הפונקציה הזו כולל קצת אינפי "מלוכלך", ואיני רוצה להיכנס אליו כעת; אבל גם בו היעד המרכזי שמגיעים אליו, שהחל ממנו הכל ממשיך כרגיל, הוא נוסחאות הגזירה של סינוס וקוסינוס. דבר זה מראה כי במובן מסויים, הגישה שאני הצגתי היא ה"ישירה" ביותר, שכן ממנה נוסחאות הגזירה נובעות בצורה מיידית לחלוטין.

בפוסט הבא אפרע את החוב מהפוסט הקודם – אראה כיצד נפתרת בעזרת סינוס וקוסינוס המשוואה הדיפרנציאלית הכללית שהצגתי, ואכניס לתמונה סוף סוף את נוסחת אוילר.