העתקות מביוס והספירה של רימן

אני ממשיך את סדרת הפוסטים שלי על אנליזה מרוכבת, והפעם אני רוצה להציג מחלקה חשובה של פונקציות מרוכבות – העתקות מביוס, שהן פונקציות מרוכבות מהצורה \(f\left(z\right)=\frac{az+b}{cz+d}\) כאשר \(a,b,c,d\in\mathbb{C}\) המקיימים את התנאי הנוסף \(ad-bc\ne0\) שנבין בהמשך מה משמעותו. כדי להבין למה … להמשיך לקרוא

מה המתמטיקה שמאחורי התפשטות מחלות מדבקות?

כפי שרובכם בוודאי יודעים, בימים אלו מתחוללת בארץ מהומה סביב מחלת הפוליו. סקירה טובה של המחלה וההתפרצות הנוכחית בפרט אפשר למצוא בבלוג של קרן לנדסמן כאן וכאן (וזו הזדמנות טובה להגיד תודה ענקית לד"ר לנדסמן שחשפה אותי לכל הנושא המרתק … להמשיך לקרוא

נגזרת מרוכבת, פונקציות אנליטיות ונוסחאות קושי-רימן

המושג היסודי בחשבון דיפרנציאלי הוא מושג הנגזרת. כבר הקדשתי לו פוסט, אבל אחזור על הרעיון בקצרה: כאשר יש לנו פונקציה \(f\), אנחנו מעוניינים למדוד את קצב השינוי שלה. המושג האינטואיטיבי שלנו הוא זה של שינוי ממוצע – מסתכלים על ההפרש … להמשיך לקרוא

אנליזה מרוכבת – זה הרגע לגלות את הנפשות הפועלות

אחרי שמציגים את המושגים הבסיסיים שקשורים למספרים מרוכבים, יש שתי דרכים להמשיך ולפתח את האנליזה המרוכבת. דרך אחת היא לקחת את ההגדרות המוכרות מחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של מספרים ממשיים, להכליל אותן ולהתחיל להוכיח משפטים; דרך אחרת היא קודם כל להציג … להמשיך לקרוא

אז מה זו אנליזה מרוכבת?

בזמן הלא מועט שחלף מאז שהתחלתי את כתיבת הבלוג אני מקווה שהצלחתי לגעת במשהו מכמעט כל נושאי הבסיס שבהם סטודנטים לתואר ראשון במתמטיקה יתקלו בודאות במהלך התואר שלהם. אלא שעדיין, רק כמעט, ועוד נותרו מספר חורים מטרידים. אני רוצה להתחיל … להמשיך לקרוא

כיצד תעזור לכם המתמטיקה לחמוק מדו"חות תנועה

בימים האחרונים מתרוצץ לו ברשת סיפור משעשע על פיזיקאי מאוניברסיטת סן דייגו, דימיטרי קריוקוב שמו, שקיבל דו"ח תנועה על אי עצירה בתמרור עצור, והצליח לשכנע את השופט לוותר לו על הקנס על ידי הגשת… מאמר מתמטי ש"מוכיח" את חפותו. שלל … להמשיך לקרוא

בעיית המזכירה, ואיך זה קשור למספרים הרמוניים

נניח שאתם מנהלים זוטרים באיזו חברה ואתם מחליטים יום אחד להיות יעילים ומועילים ויורדים מטה למחלקת כוח אדם. היום בוחרים לכם מזכירה חדשה (או מזכיר חדש, למה לא? אבל אשתמש בלשון נקבה ועם מי שנפגעים מזה הסליחה), ובהתקף של יעילות … להמשיך לקרוא

למה פאי לא שווה 4?

באינטרנט מסתובבת לה לאחרונה הוכחה ישנה נושנה לכך ש"\(\pi=4\)", כאשר \(\pi\) (פאי) הוא המספר שמציין את היחס בין היקף מעגל וקוטרו בגאומטריה האוקלידית. ההוכחה הזו קצת לא מסתדרת עם הידע המתמטי הסטנדרטי לפיו \(\pi\) אכן קבוע לכל המעגלים, אבל ערכו … להמשיך לקרוא

נגזרת – בשביל מה זה טוב? (בעיות קיצון, חלק ב')

בפוסט הקודם עסקנו בשתי בעיות "מציאותיות" ובסופו של דבר בנינו מודל מתמטי עבורן שבא לידי ביטוי בפונקציה ממשית מסויימת. זה מעביר אותנו לבעיה הכללית הבאה: נתונה פונקציה ממשית \(f\left(x\right)\), ואנו רוצים למצוא ערכי \(x\) שעבורם \(f\left(x\right)\) היא מקסימלית או מינימלית. … להמשיך לקרוא

נגזרת – בשביל מה זה טוב? (בעיות קיצון, חלק א')

כשהייתי קטן תהיתי (יש מישהו שלא תהה על זה?) מה הדרך האופטימלית לזרוק כדור כך שהוא יפול במרחק הגדול ביותר האפשרי ממני. ברור שצריך לזרוק בשיא הכוח שלך, אבל באיזו זווית ביחס לאדמה? אם זורקים יותר מדי לגובה, הכדור אמנם … להמשיך לקרוא

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

בפוסטים הקודמים על חדו"א הצגתי שני מושגים שונים, שבאו לפתור בעיות שונות והוגדרו בצורות לא קשורות – הנגזרת והאינטגרל. המשותף לשני המושגים הללו היה שבשניהם התבססנו על מושג הגבול כדי להגדיר אותם; ספציפית, הן הנגזרת והן האינטגרל הם תוצרים של … להמשיך לקרוא

היה זה תענוג לגזור

באחד הפוסטים הקודמים הצגתי את מושג הנגזרת, אך כל מה שעשיתי היה להציג את ההגדרה הפורמלית; אם כל מה שיש לנו הוא את ההגדרה הזו, אנחנו עדיין לא יכולים לעשות הרבה. בפוסט הזה אני רוצה להציג את הכלים והתוצאות הבסיסיות … להמשיך לקרוא

אז מה זה אינטגרל?

מה השטח של עיגול שרדיוסו באורך 1? אלו מכם שלמדו נוסחאות בבית הספר אולי זוכרים שזה צריך להיות \(\pi\), אבל למה? איך מגיעים לזה? הבעיה הזו – מדידת שטח של צורות מסובכות – העסיקה את המתמטיקאים עוד משחר היוולדה של … להמשיך לקרוא

אז מה זו נגזרת?

בעיית ה"מכונית שנוסעת מתל אביב לחיפה" נשחקה עד לזרא בבתי הספר, ולכן אני מקווה שתסלחו לי על כך שאני משתמש בה – רכב מנצח לא מחלפים. אם כן, המרחק מתל אביב לחיפה הוא 100 קילומטרים. מכונית יוצאת מתל אביב לחיפה … להמשיך לקרוא

גבולות של פונקציות ופונקציות רציפות

בפוסט הקודם שלי על חדו"א תיכונית הצגתי מושג שלא נלמד בתיכון, אבל הוא בסיסי ביותר בחדו"א – מושג הגבול. ליתר דיוק, הצגתי את המושג עבור סדרות של מספרים ממשיים; כעת אני רוצה להציג את ההגדרה עבור פונקציות של מספרים ממשיים … להמשיך לקרוא

מהו גבול? (של סדרה)

בשעה טובה הגענו לשלב בסדרת הפוסטים על חדו"א שבו אפשר להתחיל לדבר על מושג הגבול – מושג שלא מתואר באופן מדויק בתיכון, ואני רוצה כן לתאר אותו כאן באופן מדויק עד הסוף. מכיוון שזהו מושג קשה יחסית לעיכול, אתחיל מתיאור … להמשיך לקרוא

מהן פונקציות? (גרסה מכוונת-חדו"א)

הפוסט הזה הוא חלק מסדרת הפוסטים שמטרתה להציג חדו"א באופן פשוט, ומכיוון שהחדו"א עוסק בפונקציות הכרחי להציג כאן פונקציות – אבל ההצגה הזו רלוונטית לעוד דברים פרט לחדו"א, מהסיבה הפשוטה שפונקציה היא אחד מהמושגים המרכזיים ביותר במתמטיקה כולה, אם לא … להמשיך לקרוא

מהם המספרים הממשיים?

בהמשך לפוסט הקודם, אני מתחיל כעת בסדרת הפוסטים שתנסה לתאר בצורה פשוטה את יסודות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ברמה שתתאים גם לתלמידי תיכון, ואנחנו חייבים להתחיל מלתאר את ה"עולם" שבו פועל החשבון הזה – עולם שכוכביו הראשיים הם מה שנקרא "המספרים … להמשיך לקרוא

אז מה זה חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי?

אני ממשיך את הפוסטים שלי שבהם אני מנסה להציג נושאים בסיסיים במתמטיקה ברמה שתתאים גם לתלמידי תיכון, והפעם אני רוצה לעסוק באחד מעמודי התווך המרכזיים של המתמטיקה – החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, או בקיצור החדו"א (ובשם אחר – החשבון האינפיניטסימלי, האינפי). … להמשיך לקרוא

אז אולי רק הראשוניים בטור ההרמוני מתכנסים ל-137?

בפרשיית הטרחן הכפייתי והטור ההרמוני שדיווחתי עליה אתמול חלו התפתחויות מרעישות – הטרחן שינה את עמדתו (דבר נדיר למדי), וטענתו החדשה היא שהטור ההרמוני אכן אינו מתכנס ל-137, כי אם מה שנותר מהטור ההרמוני כאשר משאירים בו רק את האיברים … להמשיך לקרוא