קוסטים, משפט לגראנז' וחבורות מנה

בפוסט הקודם של תורת החבורות דיברנו על תתי-חבורות והזכרתי את משפט לגראנז'. המשפט אומר שאם \(G\) היא חבורה סופית, ו-\(H\) היא תת-חבורה שלה, אז \(\left|H\right||\left|G\right|\) – הסדר של \(H\) מחלק את הסדר של \(G\) ("סדר" של חבורה הוא מספר האיברים בה). … להמשיך לקרוא

תתי-חבורות וחבורות ציקליות

בפוסט הקודם הצגתי את המושג של חבורה. ראינו כמה דוגמאות, ואז ניסינו להבין מהן החבורות הפשוטות ביותר. הגענו עד גודל 5 לפני שהתייאשנו משיטת העבודה עם טבלת כפל והגענו למסקנה שצריך כלים יותר נוחים, אבל כבר הספקנו לראות תופעה מוזרה: הייתה … להמשיך לקרוא

אז מה זו בעצם חבורה?

את סדרת הפוסטים שלי על אלגברה מופשטת אני רוצה להתחיל עם המושג שבדרך כלל מתחילים ממנו ספרים באלגברה מופשטת – חבורה. זה לא המושג הראשון שסטודנטים נתקלים בו (לרוב הם פוגשים קודם שדות ומרחבים וקטוריים) וגם לא המושג הפשוט ביותר, … להמשיך לקרוא

אז מה זו אלגברה מופשטת?

אני רוצה להתחיל סדרת פוסטים על נושא שאמנם הופיע לא מעט בבלוג בעבר, אבל תמיד בתפזורת שכזו ונותרו בו הרבה חורים, ולדעתי הגיע הזמן להציג אותו בצורה מסודרת יותר – אלגברה מופשטת. קשה להפריז בחשיבות התחום הזה – הוא ככל … להמשיך לקרוא

אמי נתר (או: על נשים ומתמטיקה וחוקי שימור טובים פחות וטובים יותר)

התירוץ שלי לכתוב את הפוסט הזה הוא הכתבה הזו ב"הארץ" על הכמות הדלה של רחובות בתל-אביב שנקראים על שם נשים, מכיוון שבכתבה הזו נזרק התירוץ של "אף אחד לא ממליץ". ובכן, אני חושב שאמי נתר היא המלצה מצויינת, ובהמשך הפוסט … להמשיך לקרוא

על P=NP מעל חבורות אבליות – סוף דבר

בשני הפוסטים האחרונים אני מכין את הקרקע לקראת הוכחה ש-\(\mbox{P}\ne\mbox{NP}\) במודלים חישוביים שהם מעל חבורות אבליות אינסופיות. בפוסט הראשון הצגתי את הרעיון שמאחורי מודל חישובי שכזה והצגתי הוכחה לכך שעבור המקרה הקונקרטי של \(G=\mathbb{Z}\) אנחנו אכן מקבלים ש-\(\mbox{P}_{G}\ne\mbox{NP}_{G}\), ובפוסט שלאחריו … להמשיך לקרוא

על P=NP מעל חבורות אבליות – מבוא שלם

בואו נוכיח ש-\(\mbox{P}\ne\mbox{NP}\). אה… מה? תיארתי בעבר בבלוג את בעיית \(\mbox{P=NP}\) בתור הבעיה הפתוחה המרכזית במדעי המחשב ולא הרבה השתנה מאז – עדיין אין לנו הוכחה ש-\(\mbox{P}\ne\mbox{NP}\) למרות שרוב מדעני המחשב חושבים שזה המצב. אז מן הסתם לא על הבעיה … להמשיך לקרוא

משפט השאריות הסיני

בית הספר "הר סיני" החליט להתעלל בשכבת כיתה י' שלו ולארגן מהם קבוצות למשחק כדור זה או אחר. ראשית לקח בית הספר את כלל תלמידי השכבה והחל לחלק אותם לקבוצות כדורגל (11 שחקנים בקבוצה) אבל לרוע המזל התברר שנותר תלמיד … להמשיך לקרוא

משוואת פל

אני רוצה לדבר הפעם על משוואת פל ואיך פותרים אותה. ממבט ראשון, משוואת פל היא בסך הכל איזו משוואה מוזרה שלא ברור מה טוב בה ומה מעניין בה ומה יפה בה, אבל אחרי שמתעמקים בה קצת ורואים דוגמאות, היופי שבעניין … להמשיך לקרוא

גבישים כמו-מחזוריים וריצופים כן-מחזוריים

בשעה טובה פרופ' דני שכטמן מהטכניון זכה בפרס נובל על גילוי הגבישים הכמו-מחזוריים, וזו הזדמנות טובה להסביר קצת את ההיבט המתמטי של העניין. במובן מסויים המתמטיקה היא הטיפוס הרע בסיפור הזה: אם לוותר בכוונה על הדיוק למען הרומנטיקה, שכטמן גילה … להמשיך לקרוא

האלגוריתם האוקלידי וחוגים אוקלידיים

האלגוריתם האוקלידי הוא אחד מאותם דברים שכל מי שמתעניין ולו קצת במתמטיקה צריך לדעת. הוא גם אחת מהדוגמאות העתיקות ביותר לאלגוריתם לא טריוויאלי, גם אחד מאבני היסוד של תורת המספרים האלגוריתמית, וגם רעיון בסיסי בעל הכללות חשובות בתורת החוגים. למרות … להמשיך לקרוא

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק ד' – השיבה אל חוג השלמים

בפוסט הקודם הוכחתי שבכל חוג דדקינד קיים פירוק יחיד ברמת האידאלים. זה התקשר למה שדיברתי עליו קודם לכן בכך שכל חוג שלמים \(\mathcal{O}_{K}\) של שדה מספרים \(K\) הוא חוג דדקינד – טענה שטרם הוכחתי. בפוסט הזה אני רוצה להוכיח אותה, … להמשיך לקרוא

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק ג' – שובו של הפירוק היחיד

בפוסט הקודם הצגתי את הפתרון של דדקינד (שהלך בעקבות קומר) לבעיה של אי-פריקות יחידה בחוגי שלמים. הרעיון היה לעבור מדיבור על אברי החוג לדיבור על אידאלים של החוג – כשאידאל הייתה קבוצה של אברי החוג שסגורה לחיבור ו"בולעת" כפל באיבר … להמשיך לקרוא

תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק ב' – מתקפת האידאלים

בפוסט הקודם על תורת המספרים האלגברית תיארתי את "שדה המשחק" שלנו – שדה מספרים \(K\) (הרחבה אלגברית סופית של \(\mathbb{Q}\)) וחוג השלמים שלו \(\mathcal{O}_{K}\) (אוסף השלמים האלגבריים ב-\(K\) – מספרים שמאפסים פולינום מתוקן במקדמים שלמים). חוגי שלמים צצים באופן טבעי … להמשיך לקרוא

שדות סופיים – מי, מה, כמה ולמה

בפוסט הקודם הסברתי מהו שדה והראיתי דוגמאות לשדות סופיים פשוטים: השדות \(\mathbb{Z}_{p}\) לכל ראשוני \(p\) של השלמים מ-0 עד \(p-1\) עם חיבור וכפל מודולו \(p\) (הסברתי מדוע זה חייב להיות ראשוני). בפוסט הזה אני רוצה לשכנע אתכם בשלושה דברים, בהתבסס … להמשיך לקרוא

אז מה זה שדה ואיך הוא יכול להיות סופי?

ביקשו ממני לכתוב על שדות סופיים, ואכן מוזר לי שטרם כתבתי על מושג כל כך בסיסי במתמטיקה, ואפעל כעת חיש קל להשלמת המעוות. את תחילת סדרת הפוסטים אני מקווה שכל אחד, כולל תלמידי תיכון ואולי אף פחות מכך, יוכל להבין; … להמשיך לקרוא

ובתפקיד היפה והחנון – פולינומים ומרוכבים

אפשר להגיד הרבה דברים רעים על "היפה והחנון", אבל יש לה יתרון אחד – איפה עוד יש סיכוי להיתקל במושגים מתמטיים אמיתיים בפריים-טיים הישראלי? אז כן, הם מוזכרים שם רק בשביל הבדיחה, אבל זה עדיין תירוץ מצויין לכתוב עליהם (ולו … להמשיך לקרוא

המשפט היסודי של האלגברה – הוכחה אלגברית

אחד מהזכרונות המתמטיים המוקדמים שלי הוא של קריאה אקראית בספר האלגברה של בני גורן, והיתקלות עם מה שנקרא "המשפט היסודי של האלגברה" – הטענה שלכל משוואה ממעלה \(n\) יש \(n\) פתרונות מרוכבים. המשפט הזה נראה לי כל כך יומרני, שהייתי … להמשיך לקרוא

תורת גלואה – מה הרעיון הבסיסי בה?

בפוסט הקודם דיברתי על "מהן משוואות ממעלה חמישית ולמה הן לא פתירות". לא סתם הכנסתי את המשוואות הללו לתמונה – הן מה שסיפק לגלואה את המוטיבציה לפיתוח התורה שלו (שאותה המציא פחות או יותר בגיל 16). עם זאת, לעת עתה … להמשיך לקרוא

למה (בגדול, מאוד בגדול) לא ניתן לפתור משוואות ממעלה חמישית ומעלה, ומה זה בכלל אומר?

אחת מהצורות הפופולריות שבהן נתפסת המתמטיקה בציבור הרחב היא בתור העיסוק ב"פתרון משוואות". כמובן שזה תיאור מקומם של המתמטיקה, ואני מקווה שכבר סיפקתי בעבר דוגמאות אין ספור לכך שהמתמטיקה היא הרבה יותר מסתם עיסוק ב"פתרון משוואות", אך הפעם אני רוצה … להמשיך לקרוא