אז למה 1 אינו מספר ראשוני?

אחת מההגדרות המוכרות ביותר במתמטיקה היא זו של מספר ראשוני: "מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו". רק שעם ההגדרה הזו מגיעה לפעמים ההסתייגות ש"בכל זאת, 1 אינו נחשב ראשוני" (למרות שהוא מתחלק רק ב-1 ובעצמו. כן, עצמו זה גם כן 1), … להמשיך לקרוא

חוגים – מבוא קצת יותר פורמלי

הגדרות בסיסיות אחרי פוסט המבוא שלי על חוגים, אני רוצה לתת פוסט קצת יותר פורמלי וקונקרטי, ועם קצת פחות נפנופי ידיים ויותר דוגמאות קונקרטיות. נתחיל מההגדרה הבסיסית: חוג (Ring) מורכב מקבוצה \(R\) ושתי פעולות בינאריות מעליה שאני מסמן ב-\(+\) וב-\(\cdot\) … להמשיך לקרוא

אז מה זה בעצם חוג?

סדרת הפוסטים שלי על אלגברה מופשטת התחילה עם המון פוסטים על חבורות. עכשיו סיימנו את הנושא הזה, פחות או יותר, ואנחנו עוברים אל הנושא המתבקש הבא: חוגים. אבל מה זה חוג? באופן שבו מלמדים את זה על פי רוב, חוג … להמשיך לקרוא

משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות (סוג של אפילוג)

אפשר לדבר על חבורות עוד ועוד ועוד ועוד וזה לעולם לא יסתיים. לרוב מפסיקים את הדיבור הבסיסי אחרי שמציגים מספיק דברים בסיסיים שאפשר להשתמש בהם בכל רחבי המתמטיקה, וזה גם מה שאני בוחר לעשות. כדי להצדיק את המקום שבו אני … להמשיך לקרוא

בואו נמיין חבורות!

מבוא בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות היעד הצנוע שאני שואף אליו הוא להבין בדיוק איך נראות כל החבורות עד וכולל סדר 20. למה היעד השרירותי הזה? כי כדי להגיע אליו אנחנו זקוקים בדיוק לסט הכלים והמושגים הבסיסיים של תורת … להמשיך לקרוא

קומוטטורים וחבורות פתירות

סדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות התחילה ברובה עם חבורות אבליות, כאלו שבהן \(ab=ba\). חבורות כאלו, הזהרתי מראש, הן פשוטות יחסית. בפוסטים האחרונים אנחנו לאט לאט נוגעים בכל מני חבורות לא אבליות מעניינות כמו חבורת התמורות והחבורה הדיהדרלית, ומדברים על … להמשיך לקרוא

מכפלות חצי ישרות

מבוא במסגרת העיסוק שלנו בחבורות ראינו עוד ועוד דרכים לתאר חבורות ולבנות חבורות חדשות מחבורות קיימות. עכשיו הגיע הזמן לסגור את החור האחרון שאני רוצה לסגור כרגע (למרות שכמובן, זה רחוק מלהיות סוף הסיפור באופן כללי) ולהראות בניה כללית וחזקה … להמשיך לקרוא

משפטי סילו

מבוא אחת מהתוצאות הבסיסיות על המבנה של חבורות שראינו הייתה משפט לגראנז': אם \(G\) חבורה סופית ו-\(H\) תת-חבורה שלה אז הסדר של \(H\) מחלק את הסדר של \(G\). המשפט הזה מייד העלה את השאלה אם גם הכיוון ההפוך נכון: אם … להמשיך לקרוא

פעולה של חבורה על קבוצה

מה זה בכלל בפוסט הקודם שלי דיברתי על סימטריות. סימטריה של צורה כלשהי הייתה פונקציה מהמישור לעצמו (הפיכה ומשמרת מרחקים) שכשהיא הופעלה על הצורה הזו החזירה כפלט את הצורה עצמה. אולי היא "ערבבה" את הנקודות שמרכיבות את הצורה, אבל קבוצת … להמשיך לקרוא

החבורה הדיהדרלית

פעם אחת, לפני שנים רבות רבות, לפני שעוד היו לפטופים ואולי בכלל לפני המצאת המחשב, נהגו להשתמש במשהו מוזר שנקרא "שקפים" כדי להראות מצגות. שקף, כשמו כן הוא, היה דף שעשוי מחומר שקוף שהאור עובר דרכו. על השקף היו כותבים … להמשיך לקרוא

בואו נדבר על מכפלות של חבורות וחבורות אבליות

מכפלה של חבורות את סדרת הפוסטים על חבורות התחלנו בלהסביר מה זו חבורה, ואז לנסות להבין איך נראות החבורות הקטנות ביותר, להסתבך, להתייאש ולעבור לדברים אחרים, תיאורטיים וכלליים יותר. עכשיו אני רוצה לחזור לשאלת "אילו חבורות יש". כפי שכבר ראינו, … להמשיך לקרוא

חבורות של תמורות

מבוא עד כה בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות ראינו תוצאות אבסטרקטיות שנכונות לכל החבורות (או לכל החבורות הסופיות), ובתור דוגמא ראינו את חבורת השלמים. הבעיה היא שזו דוגמא פשוטה מדי: ראינו שהשלמים הם חבורה ציקלית, וגם החבורות שמוגדרות באמצעותה … להמשיך לקרוא

משפטי האיזומורפיזם של חבורות

בפוסט הקודם שלי דיברתי על משפט האיזומורפיזם הראשון של חבורות שאמר ש-\(G/\ker f\cong\text{Im}f\) לכל הומומורפיזם \(f\) שמוגדר על \(G\) (או בניסוח אחר, אם \(G\to H\) הוא הומומורפיזם על, אז \(G/\ker f\cong H\)). המילה "הראשון" מרמזת שיש עוד משפטי איזומורפיזמים, ואני … להמשיך לקרוא

הומומורפיזמים של חבורות

בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות פיזרתי עד כה על ימין ועל שמאל הבטחות מסוג "שתי החבורות הללו הן בעצם אותו הדבר במובן מסויים כלשהו שאני לא אומר עליו כלום כרגע אבל בבקשה בבקשה תאמינו לי". הגיע הזמן להציג את … להמשיך לקרוא

קוסטים, משפט לגראנז' וחבורות מנה

בפוסט הקודם של תורת החבורות דיברנו על תתי-חבורות והזכרתי את משפט לגראנז'. המשפט אומר שאם $latex G$ היא חבורה סופית, ו-$latex H$ היא תת-חבורה שלה, אז $latex \left|H\right||\left|G\right|$ – הסדר של $latex H$ מחלק את הסדר של $latex G$ ("סדר" של … להמשיך לקרוא

תתי-חבורות וחבורות ציקליות

בפוסט הקודם הצגתי את המושג של חבורה. ראינו כמה דוגמאות, ואז ניסינו להבין מהן החבורות הפשוטות ביותר. הגענו עד גודל 5 לפני שהתייאשנו משיטת העבודה עם טבלת כפל והגענו למסקנה שצריך כלים יותר נוחים, אבל כבר הספקנו לראות תופעה מוזרה: הייתה … להמשיך לקרוא

אז מה זו בעצם חבורה?

את סדרת הפוסטים שלי על אלגברה מופשטת אני רוצה להתחיל עם המושג שבדרך כלל מתחילים ממנו ספרים באלגברה מופשטת – חבורה. זה לא המושג הראשון שסטודנטים נתקלים בו (לרוב הם פוגשים קודם שדות ומרחבים וקטוריים) וגם לא המושג הפשוט ביותר, … להמשיך לקרוא

אז מה זו אלגברה מופשטת?

אני רוצה להתחיל סדרת פוסטים על נושא שאמנם הופיע לא מעט בבלוג בעבר, אבל תמיד בתפזורת שכזו ונותרו בו הרבה חורים, ולדעתי הגיע הזמן להציג אותו בצורה מסודרת יותר – אלגברה מופשטת. קשה להפריז בחשיבות התחום הזה – הוא ככל … להמשיך לקרוא

אמי נתר (או: על נשים ומתמטיקה וחוקי שימור טובים פחות וטובים יותר)

התירוץ שלי לכתוב את הפוסט הזה הוא הכתבה הזו ב"הארץ" על הכמות הדלה של רחובות בתל-אביב שנקראים על שם נשים, מכיוון שבכתבה הזו נזרק התירוץ של "אף אחד לא ממליץ". ובכן, אני חושב שאמי נתר היא המלצה מצויינת, ובהמשך הפוסט … להמשיך לקרוא

על P=NP מעל חבורות אבליות – סוף דבר

בשני הפוסטים האחרונים אני מכין את הקרקע לקראת הוכחה ש-$latex \mbox{P}\ne\mbox{NP}$ במודלים חישוביים שהם מעל חבורות אבליות אינסופיות. בפוסט הראשון הצגתי את הרעיון שמאחורי מודל חישובי שכזה והצגתי הוכחה לכך שעבור המקרה הקונקרטי של $latex G=\mathbb{Z}$ אנחנו אכן מקבלים ש-$latex … להמשיך לקרוא