למה אין מידה על כל הישר הממשי

בפוסט הקודם דיברתי על מושג המידה. מידה היא הכללה של מושג האורך-שטח-נפח לקבוצות "מסובכות" ככל הניתן; בפוסט הזה אני רוצה להראות שיש להכללה הזו גבולות. כמו בפוסט הקודם כך גם כאן לא אציג הגדרה מדוייקת של מידה, אלא אתאר כמה תכונות "רצויות" שהיינו מצפים שמידה תקיים, ואז אראה שאם כולן מתקיימות אז יש לנו בעיה מסויימת. הסיבה לגישה החמקנית הזו היא כפולה – ראשית, במתמטיקה תמיד מעדיפים להניח כמה שפחות אם ניתן, כי אז התוצאות שמושגות הן כלליות יותר; ושנית, הקושי שאני מתאר מהווה מוטיבציה להגדרות שבאות לאחר מכן.

אסתפק כאן בדיבור על מידה על הישר הממשי – $\mathbb{R}$ – אף כי ניתן להגדיר מידה על קבוצות כלליות בהרבה. הבה ונסכם את הדרישות שלנו ממידות: אנחנו רוצים שמידה תהיה פונקציה שלכל תת קבוצה של $\mathbb{R}$ מתאימה מספר ממשי אי שלילי או "אינסוף" (שנסמן באמצעות $\infty$ ). שתי תכונות בסיסיות שאנו מצפים שמידה תקיים תוארו בפוסט הקודם: ראשית, אנו רוצים שעל קטעים המידה תתנהג באופן שמכליל את מושג האורך, כלומר ש- $\mu\left(\left[a,b\right]\right)=b-a$ . שנית, אנחנו רוצים שהמידה תהיה סיגמה-אדיטיבית, כלומר שיתקיים $\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\mu\left(A_{i}\right)$ כאשר ה- $A_{i}$ הן קבוצות זרות – כלומר, שאם בונים קבוצה מכמה קבוצות נפרדות, אז המידה של הקבוצה תהיה סכום המידות של הרכיבים, אחרת צצות אנומליות של "השלם גדול/קטן מסך רכיביו" שלא תואמות את האינטואיציה שלנו לגבי מידה.

כאן עולה הפקפוק הראשון – מדוע אנו דורשים סיגמה-אדיטיביות, כלומר מדוע אנו מרשים מספר אינסופי של מחוברים? ניסיתי לספק לכך תשובה כלשהי בפוסט הקודם – אם לא היינו מרשים זאת, הייתה לנו בעיה משמעותית בהערכת המידה של קבוצות שלא ניתן להרכיב ממספר סופי של קבוצות פשוטות, והדוגמה הקלאסית לכך הייתה עיגול שלא ניתן לתאר כאיחוד סופי של מלבנים, אך ניתן לתאר כאיחוד אינסופי שלהם. למעשה, תכונת הסיגמה-אדיטיביות אומרת כי אם נבנה סדרת קירובים לצורה כלשהי, שהולכת ושואפת לצורה עצמה, אז המידות של הקירובים יהוו קירוב שהולך ומשתפר למידה של הקבוצה עצמה – שימו לב שכאן לא דיברתי כלל על איחוד אינסופי או סכום אינסופי. פסילת הסיגמה-אדיטיביות שקולה לאמירה כי "יש קבוצות שלא ניתן לקרב את המידה שלהן באופן מוצלח" – בעיה מהותית לכשעצמה.

ועם כל הדיון הזה במדוע סיגמה-אדיטיביות היא נחוצה, חשוב להדגיש שהיא איננה התכונה הבעייתית באמת כאן, וארחיב על כך בהמשך.

כעת נותרה לנו רק תכונה אחת שתהווה את המסמר האחרון בארון המתים של המידה – אינוריאנטיות להזזות. מאחורי השם המפוצץ הזה מסתתר רעיון פשוט – האורך של $\left[0,1\right]$ והאורך של $\left[1,2\right]$ זהים, אינטואיטיבית, כי אפשר להזיז את $\left[0,1\right]$ ולשים אותו על $\left[1,2\right]$ בצורה כזו שתהיה התאמה מושלמת ביניהם – כל נקודה של $\left[0,1\right]$ תתאים לנקודה של $\left[1,2\right]$ . הדגש כאן הוא על "להזיז", כי אפשר לבצע פעולות אחרות על $\left[0,1\right]$ – למשל, "למתוח" אותו עד שיתאים לקטע $\left[0,2\right]$ . האינטואיציה שלנו היא שהזזות לא אמורות לשנות את ה"אורך" של הקטע, בזמן שמתיחות דווקא כן. למי שעדיין לא משוכנע, נקודת מבט אחרת על העניין היא זו: ההבדל המהותי בין $\left[0,1\right]$ ובין $\left[1,2\right]$ הוא בסך הכל מרחקם מראשית הצירים, מרחק שנקבע באופן שרירותי למדי. אפשר באותה מידה היה להזיז את ראשית הצירים יחידה אחת שמאלה והישר הממשי עדיין היה נראה זהה, אבל הקטע $\left[0,1\right]$ היה הופך באופן קסום לקטע $\left[1,2\right]$ , ולכן גם מידתו הייתה משתנה, אם המידה לא הייתה אינוריאטית להזזות.

פורמלית, אם $A$ היא קבוצה, אז מגדירים $A+x$ כאשר $x$ הוא מספר ממשי, בתור $A+x=\left\{ a+x|a\in A\right\}$ . אינוריאנטיות להזזות פירושה ש- $\mu\left(A+x\right)=\mu\left(A\right)$ לכל $x$ וכל $A$ .

וכעת הפאנץ': לא קיימת מידה על כל תת הקבוצות של $\mathbb{R}$ שהיא גם אינוריאנטית להזזות, גם סיגמה-אדיטיבית וגם נותנת לכל קטע את אורכו. הסיבה: אם $\mu$ מקיימת אינוריאנטיות להזזות וסיגמה-אדיטיביות ומוגדרת על כל תת הקבוצות של $\mathbb{R}$ , אז אפשר להראות ש- $\mu\left(\left[0,1\right]\right)$ הוא או 0 או $\infty$ , אבל בשום פנים ואופן לא 1. ולמה? כי כפי שאראה כעת, ניתן להציג את $\left[0,1\right]$ בתור איחוד בן מניה של קבוצות שהמידה של כולן זהה. כלומר, למצוא סדרה אינסופית של $A_{i}$ -ים זרות זו לזו כך ש- $\left[0,1\right]=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}$ וכך שיש מספר ממשי כלשהו $t$ (או אינסוף) כך ש- $\mu\left(A_{i}\right)=t$ לכל $i$ . הסיגמה-אדיטיביות של המידה גוררת שבמקרה זה מתקיים $\mu\left(\left[0,1\right]\right)=\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}\mu\left(A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}t$ , וסכום של אינסוף מחוברים זהים זה לזה שהם או חיוביים או 0 יכול להיות רק אינסוף (אם $t>0$ ) או 0 (אם $t=0$ ).

כדי להבין עד כמה ה- $A_{i}$ -ים הללו מוזרים, חשבו על האופן שבו אנו מקרבים עיגול. ראשית אנו מציירים ריבוע גדול במרכז העיגול, שקודקודיו נוגעים בשפת העיגול. כעת "מיצינו" את רוב שטח העיגול וכל מה שנותר הוא כמה פינות שלא הצלחנו להגיע אליהן. גם בתוכן אנחנו מציירים מלבנים – קטנים בהרבה מהריבוע שבמרכז – ואז שוב תפסנו את "רוב השטח" ונשארו רק עוד כמה חורים. גם בהם אנחנו מטפלים באופן דומה, וכן הלאה וכן הלאה – כלומר, בכל פעם אנחנו משפרים את הקירוב שלנו על ידי הוספת קבוצות שהן קטנות משמעותית מקודמותיהן (דהיינו, בעלות מידה קטנה יותר). ה- $A_{i}$ -ים הם סדרת קירובים שלא משתפרת אף פעם – הגודל של כל איבר בסדרה זהה, כך שה"טעות" שלנו לא באמת שואפת לאפס. במילים אחרות, אנחנו מראים שאפשר לקרב את $\left[0,1\right]$ על ידי סדרת קירובים שבכלל לא מהווה קירוב. פלא שמגיעים לסתירה?

אם כן, איך בונים את ה- $A_{i}$ -ים הללו? הבניה מעט מחוכמת (פשוט כי בניה טריוויאלית לא הייתה עובדת כאן – כפי שנראה, כדי שהבניה תעבוד הקבוצות $A_{i}$ צריכות להיות "מוזרות") אך היא אינה מורכבת מדי מבחינה טכנית, ולטעמי היא פשוט יפהפיה. הרעיון הבסיסי, כפי שניתן לשער, הוא לבנות קבוצה מיוחדת $A\subseteq\left[0,1\right]$ , ואת כל ה- $A_{i}$ לקבל כהזזות של אותה $A$ , כך שהמידות של כולן יהיו שוות למידה של $A$ . אלא שמכיוון שאנו עוסקים בנסיון לבנות את $\left[0,1\right]$ , לעבוד עם סתם הזזות יהיה בעייתי, כי הזזה של $A$ יכולה להוציא חלק מנקודות $A$ אל מחוץ ל- $\left[0,1\right]$ , ולכן נשתמש במושג טיפה שונה – "הזזה מודולו 1". הרעיון כאן הוא שאם נקודה עוברת את 1 כשמזיזים אותה, תכף ומייד מחזירים אותה דרך 0. כדי לראות זאת באופן ציורי חשבו כאילו אנו תופסים את קצוות הקטע $\left[0,1\right]$ ו"מדביקים"אותם לקבלת עיגול, וכעת מי שיוצא דרך 1 אכן נכנס תכף ומייד דרך 0. פורמלית אפשר להגדיר זאת כך: עבור $a\in\mathbb{R}$ נגדיר את "הערך השברי" של $a$ בתור "כל מה שנמצא מימין לנקודה העשרונית בפיתוח של $a$ ". למשל, אם $a=3.5$ אז הערך השברי שלו הוא $0.5$ . נהוג לסמן את הערך השברי כ- $\left\{ a\right\}$ , כלומר $\left\{ 7.31\right\} =0.31$ . עם ההגדרה הזו קל להגדיר הזזה מודלו 1: $a+x$ מודולו 1 הוא פשוט $\left\{ a+x\right\}$ . יש כאן לכאורה בעיה כי 1 עובר כך ל-0, ומי שזה ממש מפריע לו יכול לחשוב מעתה על ההוכחה כאילו היא עוסקת בקטע החצי פתוח $[0,1($ , שגם מאורכו שלו אנו מצפים שיהיה 1.

כעת נעבור להגדרת $A$ , ואת זה נעשה באמצעות יחס שקילות (מי שאינו מכיר את המושג כנראה יתקשה טיפונת להבין מה אני מקשקש בהמשך – מומלץ בחום לקרוא הסבר קודם): נגיד ש- $x$ שקול ל- $y$ אם ההפרש שלהם הוא מספר רציונלי: $x-y\in\mathbb{Q}$ . כך למשל $\pi,\pi+\frac{1}{2}$ שקולים כי הפרשם הוא $\frac{1}{2}$ הרציונלי, אבל $\pi,\frac{1}{2}$ אינם שקולים כי אם הפרשם היה רציונלי, גם $\pi$ היה רציונלי (למה?) וידוע שהוא אינו רציונלי. לא קשה לראות שזה יחס שקילות – $x-x=0$ וזה מספר רציונלי, כך ש- $x$ שקול לעצמו; ואם $x-y$ הוא רציונלי כך גם $y-x$ (מינוס של מספר רציונלי הוא רציונלי) ולכן היחס סימטרי, ואם $x-y$ רציונלי וגם $y-z$ רציונלי, כך גם $x-z=\left(x-y\right)+\left(y-z\right)$ כי סכום של רציונליים הוא רציונלי, ולכן היחס טרנזיטיבי. מכאן שאפשר לחלק את כל המספרים בקטע $\left[0,1\right]$ למחלקות שקילות זרות; ו- $A$ שלנו תוגדר בתור אוסף נציגים לכל מחלקות השקילות הללו. כלומר – לכל מחלקת שקילות של היחס שהגדרתי, $A$ תכיל בדיוק איבר אחד מאותה מחלקת שקילות.

משהגדרנו את $A$ אפשר חיש קל להגדיר את כל ה- $A_{i}$ -ים. מה שנעשה יהיה להגדיר מספור כלשהו של הרציונליים בקטע $\left[0,1\right]$ , ו- $A_{i}$ תוגדר בתור $A+q_{i}$ – בתור הקבוצה $A$ כשמזיזים את כל אבריה ברציונלי $q_{i}$ (הרציונלי ה- $i$ ברשימה) מודולו 1, כמו שתיארתי קודם. לראות שה- $A_{i}$ -ים מכסות את $\left[0,1\right]$ זה כמעט מיידי – ניקח $x\in\left[0,1\right]$ כלשהו, אז הוא שייך למחלקת שקילות כלשהי של היחס שהגדרתי קודם; ולכן קיים $y\in A$ ששקול ל- $x$ . כעת, אם $x-y=t$ ו- $t$ הוא חיובי, אז בפרט $t$ הוא רציונלי ב- $\left[0,1\right]$ (רציונלי מהגדרת יחס השקילות; ולא גדול מ-1 כי $x$ אינו גדול מ-1 ו- $y$ חיובי). לכן $t$ משתתף במניה ואנחנו תופסים את $x$ עם הקבוצה $A+t$ . המקרה ההפוך טיפה יותר מבלבל – אם $x-y$ הוא מספר שלילי אז $y-x=t$ הוא חיובי רציונלי, ואז מי שתופס את $x$ הוא דווקא $1-t$ (כלומר, $x\in A+\left(1-t\right)$ ). נסו להוכיח זאת לעצמכם כתרגיל.

מה נותר להראות? רק שהמידה של $A_{i}$ שווה למידה של $A$ . זה נובע מכך שהמידה אינוריאנטית להזזות, אבל מכיוון שיש לנו כאן הזזה מוזרה, מודולו 1, זה לא ברור מיידית. לשם כך אפשר לחשוב על $A+t$ כמורכבת מאיחוד שתי קבוצות זרות – אחת של הנקודות שכאשר מוסיפים להן $t$ לא עוברים את 1, והשניה של הנקודות שכאשר מוסיפים להן $t$ כן עוברים את $1$ , ולכן מוזזים מרחק $t$ "ימינה", אבל גם מרחק $-1$ שמאלה. כלומר, הקבוצה הראשונה מוזזת למרחק $t$ , והשניה מוזזת למרחק (השלילי) $t-1$ , אבל בשני המקרים אלו הזזות "רגילות" ולכן המידה של שתי הקבוצות הללו נשמרת, ולכן איחוד מידותיהן הוא כמידת $A$ . סיימנו.

יש רק נקודה מהותית אחת שטאטאתי ב"אלגנטיות" אל מתחת לשטיח. אמרתי ש- $A$ נבנית על ידי בחירת נציגים לכל מחלקות השקילות של היחס המוזר שהגדרתי. בשום מקום לא הסברתי איך אני בוחר נציגים למחלקות הללו. אינטואיטיבית אנו חשים ש"אפשר" לבצע בחירה כזו, אבל מבחינה מתמטית זה לא טריוויאלי כלל; מה שמאפשר לנו לעשות זאת מיידית הוא אקסיומת הבחירה – וכפי שהראו שנים רבות לאחר שההוכחה הזו התגלתה לראשונה, אקסיומת הבחירה גם הכרחית כאן; בלעדיה לא ניתן לייצר דוגמה פתולוגית כמו זו. אם כן, הדוגמה הזו היא המחשה נאה לאופן שבו אקסיומת הבחירה מייצרת לנו תוצאות לא טריוויאליות – ובד בבד זה ממחיש עד כמה הקבוצה $A$ היא "מוזרה"ו"לא מציאותית"; צריך להתאמץ מאוד כדי לייצר אותה, ואין דרך קונסטרוקטיבית לעשות זאת! על כן איננו חוששים מפני היתקלות ב- $A$ בחיי היום-יום, וזה מרכך קצת את המכה של הדוגמה הנגדית הזו.

אם כן, ראינו שלא קיימת מידה על הממשיים שמקיימת אינוריאינטיות להזזות, סיגמה-אדיטיביות ונותנת לקטעים את אורכם. איך ממשיכים מכאן, כדי להישאר עם מושג סביר של "מידה"? מקלים קצת על אחת מהדרישות שלנו. על פניו תכונת הסיגמה-אדיטיביות נראית כמו קורבן קל ומתאים, כי היא מהתכונות המתועבות הללו שמרשות משהו אינסופי ואינסוף זה פויה. אבל כבר ניסיתי להסביר בפוסט הזה למה סיגמה-אדיטיביות היא חשובה וטבעית; ויותר מכך, השמטה שלה פשוט לא תעזור לנו בכלום. הדוגמה הנגדית שהצגתי כאן היא רק הראשונה בשרשרת של "פירוקים פרדוקסליים"של קבוצות לחלקים שמסרבים להתנהג יפה; גולת הכותרת של הפירוקים הפרדוקסליים זכתה לכינוי "פרדוקס בנך-טרסקי", ובבסיסה ניתן לתאר אותה כפירוק של כדור למספר סופי וקטן של חלקים, הזזה שלהם (כמו שכאן הזזנו את $A$ ) והרכבה מחודשת שלהם שיוצרת שני כדורים מאותה מידה כמו הכדור המקורי. גם פרדוקס זה משתמש באקסיומת הבחירה, ואני מקווה לתאר אותו כאן בפירוט בקרוב. לבינתיים המסקנה שצריך לגזור ממנו היא שהסיגמה-אדיטיביות היא לא התכונה ההרסנית כאן, שכן ניתן לשחזר את ההרסניות גם עם אדיטיביות "סופית".

מה שמוותרים עליו הוא פשוט הדרישה שהמידה תוגדר לכל תת קבוצה אפשרית של הממשיים. כמובן שמידה טובה צריכה להיות מוגדרת על כל הקבוצות ה"מעניינות", וצריך להיות לקבוצות שהן בעלות מידה מבנה כלשהו שיאפשר להבין מי בעל מידה ומי לא, אבל על השאיפה למידה שמוגדרת לכל קבוצה פשוט מוותרים. כך הקבוצה $A$ שלנו פשוט לא תהיה בעלת מידה (וגם לא הרכיבים שמשתמשים בהם בפרדוקס בנך-טרסקי). זה אולי מרגיש קצת כמו רמאות, אבל רק אם מניחים מראש שמידה צריכה להיות מוגדרת על כל תת-קבוצה של הממשיים. אם חושבים על כך, מדובר על שאפתנות גדולה מאוד, ואפילו קיצונית, בהתחשב בכמות הזעומה של דברים שיכלנו לדבר על ה"אורך" שלהם קודם.

הדבר מזכיר לי מעט את המהומה הגדולה שנהוג להקים בספרות המתמטיקה הפופולרית סביב חורבן תוכניתו השאפתנית של הילברט לביסוס המתמטיקה – מתעלמים מכך שהתוכנית הייתה כל כך שאפתנית עד שמראש היא הייתה כמעט חסרת סיכוי; זה לא אומר שמשפטי אי השלמות של גדל הפכו אותה לכישלון מוחץ או שהיה צריך להשליך כל דבר שקשור בה לפח. זה מזכיר גם, כמובן, את תורת הקבוצות הנאיבית שקרסה עם גילוי הפרדוקס של ראסל; אך כמובן שמייד לאחר מכן היא קמה לתחייה מן האפר כתורת הקבוצות האקסיומטית, שבה ממש לא כל דבר הוא קבוצה, אך זה רק מחדד עבורנו את ההבנה של מה קבוצה היא כן. בדומה, במקרה שלפנינו, הדוגמה הנגדית שהצגתי אינה רעה; ההפך, היא מחדדת את ההבנה שלנו את מושג המידה ומה בכלל המשמעות שלו.

תגים: אקסיומת הבחירה, תוצאות לא אינטואיטיביות, תורת המידה

הפוסט הזה נכתב בתאריך יום רביעי, 3 במרץ, 2010 בשעה 9:05 pm תחת הקטגוריות אנליזה מתמטית, הוכחות לא קונסטרוקטיביות. אפשר לעקוב אחר התגובות לפוסט הזה באמצעות פיד RSS לתגובות. אפשר לכתוב כאן תגובה, או לכתוב בבלוג שלך פוסט כתגובה ולשלוח טראקבאק.

42 תגובות לפוסט "למה אין מידה על כל הישר הממשי"

מאת יוסי לוי:

3 במרץ 2010 בשעה 10:21 pm

ועכשיו אתה צריך לכתוב פוסט על הקבוצות המעניינות
מאת CommandoGuard:

4 במרץ 2010 בשעה 7:26 am

אם התכוונת לבניית המידה האדיטיבית סופית ההיא, א.א., אני לא יודע, אבל נשמע סביר שכן. למדתי על כך מפוסט בבלוג של טרנס טאו, שאני נוטה להאמין לדברים שהוא כותב אבל ספציפית לא בדקתי לעומק את העובדה הזו.

http://terrytao.wordpress.com/2009/01/08/245b-notes-2-amenability-the-ping-pong-lemma-and-the-banach-tarski-paradox-optional/
מאת סער:

4 במרץ 2010 בשעה 3:30 pm

נא להסביר, האם לא ניתן לקבוע רק שאין משמעות לחיבור מספר שאינו בן מניה של מחוברים. או לחילופין, שאוסף שאינו בן מניה של אפסים, יכול להיות בסדר גודל גדול מאפס. ממילא אין לנו במציאות כזה דבר, וזו אינה אלא המצאה מתמטית, אם כן מה אכפת לנו לקבוע שגם כשהיא מורכבת מאפסים היא יכולה להצטבר לגודל ממשי (מה שמשמיט את הטיעון לש איחוד הקבוצות A שהבאת, שכן מדובר במספר קבוצות שאינו בן מניה).
נ. ב.
אולי זה נשמע כטרחנות מתמטית, אבל הרי אין לי כוונה לפקפק במידע, ורק לבררו, ואשמח לקבל תשובה.
מאת סער:

4 במרץ 2010 בשעה 3:40 pm

המשך לתגובה הקודמת, שנשלחה קודם זמנה.
לישר יש אורך, אף על פי שהוא מורכב מאינסוף שאינו בן מניה של נקודות חסרות אורך, אם כך, מה הרוחנו מזה שלא רק אוסף נקודות יש לו אורך, אלא גם אוסף של קבוצות A שכל אחת בת מניה, ומידתה אפס, יש לאוסף כולו מידה חיובית. האם יש הבדל בין שני הדברים (אחרת, מה צורך בכל הפלפול שנכתב כאן)?
מאת gadial:

4 במרץ 2010 בשעה 3:44 pm

היי סער. שים לב לכך שבהוכחה שלעיל אנחנו מחברים רק מספר בן מניה של מחוברים (כי יש מחובר לכל מספר רציונלי בין 0 ל-1, ויש רק מספר בן מניה של רציונליים).
מאת סער:

4 במרץ 2010 בשעה 3:48 pm

אופס.
הדברים שכתבתי לעיל – טעות בידי, לא הבנתי כראוי בקריאה ראשונה, ואני מתנצל. אם הייתי יודע איך, הייתי מוחק את ההערות הקודמות.
מאת eyalil:

5 במרץ 2010 בשעה 2:32 pm

וואו… למדתי הרבה מהפוסט הזה.
פשוט מרתק.
בפרט, זה מסביר קצת דברים ששמעתי על מידת לבג וקבוצות בורל – כשלצערי אני לא מבין עד הסוף אף אחד מהם.

יש לי שאלה מעניינת -
נניח את השלילה של אקסיומת הבחירה (נתבונן לצורך הדיון באקסימות ZF והשלילה של C).
האם אז אפשר להראות שקיימת מידה על הישר הממשי שהיא אינוריאנטית להזזות, נותנת לכל קטע את אורכו, וסיגמא אדיטיבית?
מאת אוהד:

5 במרץ 2010 בשעה 5:50 pm

פוסט מעולה כרגיל. מה שחסר כאן, עד כמה שאני מצליח לראות, הוא הוכחה שכל ה-$A_i$-ים זרים. זה לא קשה – נניח בשלילה שקיים מספר ששייך גם ל-$A_i$ וגם ל-$A_j$ – סימן ש-$x – p_i$ וגם $x – p_j$ הם איברים ב-$A$, והדבר אינו אפשרי מאחר וההפרש ביניהם הוא $p_j – p_i$ – ראציונלי, ולכן הם שני נציגים של אותה מחלקת שקילות ביחס שהגדרנו.
מאת Quercus:

6 במרץ 2010 בשעה 5:38 pm

לאייל – למיטב ידיעתי התשובה היא שניתן למצוא מודל של תורת הקבוצות (ללא אקסיומת הבחירה) שבו כל ת"ק של הישר היא מדידה לפי לבג.
למדתי קורס בנושא כפיה (forcing) שבסופו היתה אמורה להיות הוכחה של זה, אבל לא הספקנו להגיע אליה, אז אני צריך להאמין לזה בינתיים
מאת איתן:

7 במרץ 2010 בשעה 9:34 am

אבדתי אותך כאשר תיארת את יחס השקילות. אתה כותב: "אפשר לחלק את כל המספרים בקטע [1,0] למחלקות שקילות זרות". לפי הדוגמה שנתת בעצמך באיזה מחלקה יהיה פאי? הרי ראינו שפעם ההפרש שלו ממספר אחר הוא רציונאלי ופעם לא?
מאת gadial:

7 במרץ 2010 בשעה 9:57 am

יש לכך כמה תשובות. ראשית, פאי לא נמצא בכלל בקטע הזה, אז בוא נדבר על מספר אי רציונלי שכן נמצא בו – למשל פאי חלקי ארבע. שנית, התשובה לשאלה "באיזו מחלקת שקילות נמצא x" היא תמיד "במחלקת השקילות של x…". השאלה היא רק מי נמצא איתו שם. אז מי שיהיה איתו הם בדיוק אותם מספרים שמרחקם ממנו הוא רציונלי; לא ייתכן שיהיה מספר שמרחקו ממנו הוא גם רציונלי וגם לא-רציונלי.
מאת eyalil:

7 במרץ 2010 בשעה 5:53 pm

ל-Quercus – איזה אדיר!!
מודל כזה נשמע לי ממש מעניין. מה זה כפיה במתמטיקה..?
מאת KidArt:

12 במרץ 2010 בשעה 11:25 pm

אחל'ה פוסט.
בכל זאת, ביקורת קטנה – יכול להיות שפספסתי, אבל איפה הקרדיט לויטלי?
מאת Best-Acai-Berry-Prod:

14 במרץ 2010 בשעה 6:20 am

Best Acai Berry Products or Cheap Ambien or Viagra Sale or Cheap Diet Pills or Zoloft Dialating Pupils
מאת Sexy-Webcam:

15 במרץ 2010 בשעה 1:34 am

Sexy Webcam or Direct Sex Live or Is Anal Sex Safe or Gay Sex Movies or Adult Graf Porn Sex
מאת craprejuwrawr:

19 במרץ 2010 בשעה 7:15 pm

Hawaii news
מאת bocororupruha:

19 במרץ 2010 בשעה 11:29 pm

Washington news
מאת wetophobanoh:

20 במרץ 2010 בשעה 12:32 am

Oklahoma news
מאת pacesuchucic:

20 במרץ 2010 בשעה 12:35 am

Arizona news
מאת uuwarukitrast:

20 במרץ 2010 בשעה 12:42 am

Idaho news
מאת clauobucewre:

20 במרץ 2010 בשעה 12:50 am

Louisiana news
מאת wuuuhabuslim:

20 במרץ 2010 בשעה 1:04 am

Mississippi news
מאת conuclupumel:

20 במרץ 2010 בשעה 1:32 am

Indiana news
מאת lesterotrula:

20 במרץ 2010 בשעה 1:40 am

Iowa news
מאת sophodriwodatr:

20 במרץ 2010 בשעה 1:44 am

Mississippi news
מאת wislovefruste:

20 במרץ 2010 בשעה 2:18 am

Ohio news
מאת gedravucechup:

20 במרץ 2010 בשעה 2:42 am

Maryland news
מאת prikitratasl:

20 במרץ 2010 בשעה 2:54 am

Georgia news
מאת hydrocodone-7.5-750:

31 במרץ 2010 בשעה 12:19 am

hydrocodone 7.5 750 or half life of hydrocodone or hydrocodone purchase or get hydrocodone without prescription or ketamine and hydrocodone syrup
מאת ultra-rm-converter-v:

31 במרץ 2010 בשעה 12:20 am

ultra rm converter v2.1.8 or ultra mp3 to cd burner 1.3.4 or doxycyline hyclate or loveline cigarettes serzone effexor risperdal welbutrin or ultra x3 1000 watt psu
מאת subaction-showcommen:

31 במרץ 2010 בשעה 12:22 am

subaction showcomments viagra optional online or subaction showcomments viagra thanks online or do porn stars take viagra or recreational viagra use or viagra eyes
מאת accutane-and-results:

31 במרץ 2010 בשעה 12:26 am

accutane and results or i pledge accutane or accutane athlete or how much does accutane cost or blue light accutane
מאת proprecia:

31 במרץ 2010 בשעה 12:27 am

proprecia or retreads ultra grip or 2007 kawasaki 250x ultra jet ski or ultra 90 diet pills or name acquisto cialis
מאת chocolate-getting-of:

31 במרץ 2010 בשעה 12:29 am

chocolate getting off hydrocodone or hydrocodone gg or hydrocodone info or hydrocodone without rx or soma and hydrocodone same time
מאת vicodin-pharmacy:

31 במרץ 2010 בשעה 12:34 am

vicodin pharmacy or vicodin online or vicodin interactions to gabapentin or vicodin suicide or mixing vicodin
מאת ultra-light-spinning:

31 במרץ 2010 בשעה 12:34 am

ultra light spinning rod or ultra electronic nspi or ultra lite reels or ativa 1 gb microsd memory card or sima color corrector scc2
מאת online-phamacy-viagr:

31 במרץ 2010 בשעה 12:37 am

online phamacy viagra or watermelon viagra affect or american viagra company or viagra side affects or marajuana and viagra
מאת hydrocodone-side-eff:

31 במרץ 2010 בשעה 12:40 am

hydrocodone side effects of withdrawal or what constitutes hydrocodone addiction or hydrocodone alcohol or hydrocodone for sale or tennessee hydrocodone shipping
מאת How-Much-Does-Accuta:

3 באפריל 2010 בשעה 3:55 pm

How Much Does Accutane Cost or I Pledge Accutane or Accutane Athlete or Accutane And Results or Accutane Stories
מאת Propecia-Side-Effect:

3 באפריל 2010 בשעה 8:49 pm

Propecia Side Effects or Subaction Showcomments Propecia Start From Newest or Minoxidil Propecia or Subaction Showcomments Propecia Archive Watch or Subaction Showcomments Propecia Archive Remember
מאת buy-viagra-online-35:

8 באפריל 2010 בשעה 12:39 pm

buy viagra online 35008 buy viagra or diet free loss pill weight or im addicted to adderall or free trial diet pills or testimonies of viagra use
מאת buy-tramadol-online:

8 באפריל 2010 בשעה 7:05 pm

buy tramadol online or long term use of clonazepam or acomplia online or buy viagra soft online or soma cod without prescription

לא מדויק

למה אין מידה על כל הישר הממשי

42 תגובות לפוסט "למה אין מידה על כל הישר הממשי"

כתיבת תגובה