המניפולציה המתמטית של ההמבורגר

לא מזמן ראיתי סרטון פרסומת שהשווה בין כמות הקלוריות שבהמבורגר של מקדונלד’ס ובין כמות הקלוריות שבמנה של פריכיות אורז עם גבינה לבנה. לא מדובר על פרסומת חדשה אלא על משהו משנת 2010 שהוקם לתחיה בגרסה חדשה על ידי מקדונלד’ס לאחרונה. באופן כללי, כשאני צופה בפרסומות אני כמובן חשדן לגבי תוכנן; אבל הפרסומת הזו של מקדונלד’ס קורצת מאוד מכיוון שהיא עוסקת בנתונים מספריים מדוייקים, ולכן כל אחד יכול לבדוק את התוכן שלה בבית, בעצמו, אפילו בראש (אבל אני מעדיף חישובים במחשב או עם נייר), ותוך שימוש במתמטיקה של חטיבת ביניים. עומק מתמטי ודאי שלא יהיה כאן, אבל מה רע בשימוש במתמטיקה בסיסית בשביל לצחוק על פרסומות שקריות?

ובכן, נתחיל עם כמה לינקים. הנה מאמר של תזונאית מ-2010 שעוסק בכשלים שיש או אין בקמפין של 2010. והנה מאמר תגובה של מקדונלד’ס שאני הולך לעוט עליו כמוצא שלל רב כי הוא מספק לי את הנתונים שאני הולך לעבוד איתם. והנה הסרטון העדכני מ-2014. מן הסתם אצטט את כל הנתונים שאני הולך להתעסק איתם אז אתם לא באמת חייבים להיכנס ללינקים ואני אפילו ממליץ לוותר על התענוג. במאמר של מקדונלד’ס מתלוננים על כך שהקמפיין שלהם “מושמץ על ידי מספר גופים שכל מטרתם היא לקבל עוד קצת חשיפה על ידי עיוות העובדות ומניפולציה מתמטית” - ובכן, גם אני רוצה עוד קצת חשיפה! אבל תכף נראה של מי המניפולציה המתמטית.

לפני כן, הצהרה מראש: הפוסט הזה הולך להתעסק בחשבון. הוא לא הולך להיכנס לשאלות החשובות באמת בנוגע לתזונה - האם מדד של ספירת קלוריות הוא נכון? האם אין גורמים אחרים שצריך לשקלל? האם יש או אין בעיה בהצגה של כמות קלוריות ל-100 גרם ולא למנה סטנדרטית? וכו’ וכו’. אלו שאלות מצויינות ואפשר לקיים עליהן דיון מרתק, אבל זו לא המטרה שלי בפוסט הזה. אני רוצה לדבר רק על החשבון.

ובקשר לחשבון, אין ספק בכלל שתגידו שכל מה שאני עושה בהמשך הוא קטנוני ואני כזה נודניק פדנטי. אתם צודקים, כמובן, החשבונות בסופו של דבר לא יהיו חשובים במיוחד (השורה התחתונה: מקדונל’ס לא עקביים בחשבון שלהם ומרמים ברוב המקומות לטובתם - הפתעה גדולה, מה?). מה שאני רוצה לשכנע אתכם בו הוא שקל לבצע את החשבונות הללו ושכדאי לאמץ מדיניות של סקפטיות בריאה באופן כללי לגבי להטוטים מספריים שעושים בפניכם - בין אם אלו חברות מזון, או סוכני ביטוח, או מי שמשחק איתכם מונופול או כל אחד אחר - אתם יכולים לבדוק את התוקף של הטענות הללו בקלות, וקרוב לודאי שאם תנקטו בגישה מתמטית מדויקת תגלו שעובדים עליכם שוב, ושוב, ושוב - לפעמים אפילו במקומות שלא ציפיתם להם, ולעתים קרובות ברמות שלא ציפיתם להן.

אבל די עם ההטפות, בואו ניגש לאקשן. נתחיל עם השאלה הפשוטה - כמה קלוריות יש בפריכיית אורז? מה משקלה של פריכיית אורז? כמה קלוריות יש בגבינה לבנה? כמובן, אפשר ללכת למכולת ולשאוב משם את הנתונים, אבל יותר הגון לדעתי לעבוד עם הנתונים שמקדונלד’ס עובדים איתם - כך אפשר יהיה לחשוף כשלים חשבוניים שיש אצל מקדונלד’ס (אם יש כאלו) ולא סתם לחשוף שמקדולנד’ס עובדים עם רשימת ערכים תזונתיים שונה (ואולי יותר מדוייקת?) משלנו. הבעיה היא שבמאמר של מקדונלד’ס אין בכלל מידע מפורש על המשקל וכמות הקלוריות של פריכיות ושל גבינה. השאלה היא האם ניתן להסיק אותו איכשהו ממה שכן נאמר.

ובכן, מודעת פרסומת אחת משווה בין “5 פריכיות אורז מלא (40 גרם) עם גבינה 5 אחוז (154 גרם)” ששווה ערך ל-299 קלוריות, אל מול המבורגר כלשהו. זה מצוין, כי זה מלמד אותנו שפריכית אורז אחת היא במשקל \( \frac{40}{5}=8 \) גרם. כבר למדנו משהו. האם אנחנו יכולים לדעת מה הערך הקלורי של פריכיות אורז ושל גבינה לבנה? עוד לא. אבל בואו נסמן ב-\( x \) את הערך הקלורי של פריכית אורז אחת וב-\( y \) את הערך הקלורי של 100 גרם גבינה לבנה, אז קיבלנו את המשוואה \( 5x+1.54y=299 \).

עכשיו, יש לנו משוואה לינארית בשני נעלמים (“לינארית” פירושו שהנעלמים הם בחזקה ראשונה ולא מוכפלים זה בזה; אין לנו משהו כמו \( 5x^{2}+2xy+y^{3} \) בפנים). בשביל לפתור אותה אנחנו צריכים עוד משוואה באותם שני נעלמים וקצת מזל (שהמשוואה השניה לא תהיה כפולה באיזה קבוע של המשוואה הראשונה או משהו). למרבה המזל, במאמר יש עוד מודעת פרסומת עם נתונים מדוייקים, שמציגה 3.5 פריכיות (שזה \( 3\frac{1}{2}\times8=28 \) גרם - וגם בפרסומת מסכימים איתי) ו-100 גרם גבינה לבנה ששווים ל-202 קלוריות. כלומר, קיבלנו את המשוואה השניה \( 3\frac{1}{2}x+y=202 \). מצוין, זה בדיוק מה שהיינו צריכים! רק שלרוע המזל, כמו שקורה בחיים האמיתיים, המספרים לא כל כך נחמדים. לא נורא, זה מה שיש ועם זה ננצח.

הדרך של חטיבת הביניים להתמודד עם התרגיל הזה היא לחלץ את \( y \) מהמשוואה השניה, להציב בראשונה ולהתחיל לפשט דברים. אבל לשמחתי אני כבר לא בחטיבת הביניים, אז אני פשוט נותן למחשב - במקרה הזה, מערכת האלגברה הממוחשבת Sage שאני מאוד מחבב - לעשות את העבודה במקומי:

sage: x,y = var('x','y')

sage: solve([5*x+1.54*y == 299, 3.5*x+y == 202],x,y)

[[x == (1208/39), y == (3650/39)]]

קיבלנו, בקירוב, שפריכית אורז שווה 31 קלוריות, ו-100 גרם גבינה לבנה 93.5 קלוריות. הנתונים שאני מכיר קצת שונים (פריכית אורז מכילה פחות קלוריות וגבינה לבנה 5 אחוז מכילה קצת יותר) אבל זה רק ממחיש למה חשוב לעבוד עם הנתונים שמקדונלד’ס עצמם מספקים.

ובכן, בואו נראה אילו עוד נתונים מספריים יש אצל מקדונלד’ס. ראשית, הכותב מנסה לצאת נגד המאמר של התזונאית, ואומר

לטענת אותה תזונאית יש ב-3 פריכיות עם גבינה לבנה 102 קלוריות. לפי שיטתה כל פריכית נאכלת עם 5 גרם גבינה בלבד!

האם זה עקבי עם החשבון שעשינו? ובכן, כדי לדעת כמה גרם גבינה צריך לאכול עם כל פריכית אם 3 פריכיות יחד עם הגבינה שלהם שווים 102 קלוריות, צריך לבצע את החישוב הבא:

\( 102=3x+3\frac{y}{100}\cdot z \)

כאשר \( z \) הוא “כמות הגבינה לכל פריכית, בגרמים” (למה מחלקים ב-100? כי \( y \) מייצג את כמות הקלוריות ב-100 גרם, ולכן \( \frac{y}{100} \) הוא כמות הקלוריות בגרם בודד). כלומר, אנחנו מבצעים בסופו של דבר את החישוב \( z=100\cdot\frac{102-3x}{3y}= \). אבוי! נקבל שבכל פריכית יש רק 3.23 גרם גבינה לבנה! החשבון של מקדונלד’ס שגוי! רק מה, התוצאה כמובן פועלת לטובת מקדונלד’ס ולכן גם מה שהתזונאית אומרת נשמע די מוזר (אם עושים את החישוב עם הנתונים שאני מכיר - 100 קלוריות ל-100 גרם גבינה לבנה ו-28 קלוריות בפריכית - מקבלים 6 גרם גבינה לפריכית, נתון שנשמע לי עדיין מוזר).

אם כן, אנחנו כבר רואים שמקדונלד’ס לא באמת עושים חשבון בצורה נכונה כי יש להם סתירה פנימית, אבל עדיין לא ברור אם יש להם גם טעות ש”פועלת לטובתם”.

הנתון הבא שמקדונלד’ס נותנים הוא “על פי הבדיקות שבידינו פריכית נאכלת עם מריחת גבינה במשקל 15-25 גרם בכל פריכית”. בואו ננקוט בגישה המחמירה ביותר - 25 גרם גבינה לכל פריכית. חמושים בנתון הזה, בואו נסתכל בתמונה שמופיעה מתחת לטקסט “כפי שניתן לראות איננו מסתירים שום מידע ומדייקים בכל נתון” במאמר - בתמונה רואים שלוש פריכיות עם גבינה לבנה (אחת מהן לא מרוחה בגבינה לבנה אבל נניח שהיא כן) עם הכיתוב “175 קלוריות ל-100 גרם”. שלוש פריכיות הוא אכן המספר הנכון לכתוב פה: משקלן הכולל הוא 24 גרם, כך שנותרים לנו 76 גרם של גבינה לבנה - \( 25\frac{1}{3} \) לכל פריכית, שזה מתאים למשקל שהם ציינו קודם. עכשיו, לפי הנתונים שחישבנו קודם של \( x,y \), מה הערך הקלורי הכולל כאן, כלומר מהו \( 3x+\frac{76}{100}y \)? חישוב מהיר מראה שזה בערך 164 קלוריות. אופס! איך הם הגיעו ל-175?!

תאמרו, מה משנות כבר 10 קלוריות לכאן או לכאן? חברים, אני מסכים! לכן כל כך עגום לי לראות שמקדונלד’ס התעקשו בכל זאת לרמות על 10 קלוריות, כי הרי מה 10 קלוריות כבר משנות. לי לא מפריעות ה-10 קלוריות, מפריע לי שהמתמטיקה של מקדונלד’ס יוצאת לא עקבית ואז הם מאשימים אחרים ב”מניפולציה מתמטית”. למען השם, מדובר על חשבון פשוט, איך יכלתם להיכשל בו?

זה לא נגמר כאן, כמובן. בואו נחזור שניה למודעה שיש בה 5 פריכיות אורז ועוד 154 גרם גבינה שמסתכמים ל-299 קלוריות. אולי תהיתם למה המספר הלא עגול הזה, 154 - מן הסתם זה כדי להגיע בדיוק ל-299 קלוריות (ששוות ערך לאיזה המבורגר מקדונלד’סי מסויים). מה הבעיה? בשביל זה לא צריך מחשבון - 154 לחלק ל-5 הוא 30 וקצת, כמעט 31. איפה זה ואיפה ה-“15-25 גרם גבינה לפריכית”? עוד חוסר עקביות! במודעה הנוספת, עם ה-3.5 פריכיות, השקר קצת פחות בוטה - יש שם 100 גרם גבינה ולכן זה יוצא בערך 28 גרם לפריכית - עדיין גדול יותר מ-25. אם כן, ברור ששתי הכרזות הללו עוצבו בהתאם למה שרצו להשיג (במקרה השני המטרה הייתה שכמות הגבינה תצא מספר עגול - 100) ולא לנתונים האמיתיים.

בואו נחזור עכשיו לכרזה של ה-100 גרם פריכיות עם גבינה. דרך אחת שבה אפשר לנסות ולהגן עליה היא לומר ששלוש הפריכיות שמופיעות בה הן סתם תמונת אילוסטרציה, ובעצם כשאומרים “100 גרם פריכיות עם גבינה” מתכוונים לתמהיל שונה של כמות הפריכיות אל מול כמות הגבינה. אז כמה גבינה צריך לכל פריכית כדי שכמות של 100 גרם תצא 175 קלוריות? זו עוד משוואה נחמדה שאתם יכולים לנסות לפתור במדויק - התשובה היא שבערך 20 גרם גבינה לכל פריכית. די קל לראות אם זה בנפנוף ידיים: נניח, בקירוב, ש-1 גרם גבינה הוא 1 קלוריה, ושפריכית אחת היא 30 קלוריות. אז פריכית-עם-גבינה היא 50 קלוריות ו-28 גרם, ולכן בדיוק 3.5 פריכיות-עם-גבינה נותנות לנו 175 קילו, והמשקל שלהן הוא כמעט 100 גרם. חייבים להודות שזה מסתדר יפה מאוד - 20 גרם לפריכית זה בדיוק מקום טוב באמצע בטווח ה-15-25 שסיפרו לנו עליו קודם - אבל זה לא עקבי עם שאר המודעות! למשל, במודעה של ה-299 אם רצו להגיע לאותו ערך קלורי עם יחס 20-גרם-גבינה-לפריכית, היו צריכים 6 פריכיות. נו, זו רק עוד פריכית אחת, אז למה לא עשו את זה? כמובן, בגלל שכל פריכית נוספת גורמת לתמונה להיראות פחות טובה (ומי אוכל שש פריכיות ברצף למען שמו של ארדש?!) בזמן שהגבינה תמיד יושבת לה בצד בצורה לא מזיקה.

כל זה - מהמאמר של 2010. עכשיו בואו ננסה להבין את הפרסומת החדשה לאור הנתונים שהיו במאמר הישן. כמובן, ייתכן שמאז מקדונלד'ס חישבו לעצמם נתונים חדשים - אבל הם לא משחררים אותם בפרסומת החדשה אז אין לי עם מה לעבוד.

הפרסומת החדשה מציגה 30 גרם פריכיות ו-160 גרם גבינה לבנה, כלומר משקל כולל 190 גרם וערך קלורי כולל של 270 קלוריות. האם זה עקבי עם הנתונים הישנים? ובכן, אם ממשיכים עם החישוב של 8 גרם לפריכית, 30 גרם פריכיות זה לא 3.5 פריכיות אלא 3.75 (בפרסומת רואים שלוש פריכיות ועוד פריכית חתוכה כלשהי - אפשר להניח שהיא נחתכה כך שהיא שלושת-רבעי ולא חצי. לי זה נראה כמו חצי אבל אין לי ראייה מרחבית). עכשיו, כמה גבינה לבנה יש לכל פריכית? 160 לחלק ל-3.75 זה \( 42\frac{2}{3} \); במילים אחרות, מקדונלד'ס כבר זנחו מזמן את טענת ה-"עד 25 גרם גבינה לבנה לפריכית" ועובדים עם מספרים חדשים - ולי המספרים הללו כבר נשמעים מופרכים למדי (אבל מה אני יודע? אני לא אוכל פריכיות אורז עם גבינה לבנה).

נו, והאם פרט לכך החשבון המספרי יוצא? ובכן, הרבה יותר קרוב, אבל עדיין לא! אם מחשבים את \( 3.75x+\frac{160}{100}y \) מקבלים בערך 266 קלוריות! למה, הו, למה אתם מתעקשים לעשות לי את זה, מקדונלד'ס? כולה 4 קלוריות! למה לרמות?

ניסיתי בכל זאת לחשוב שאולי מקדונלד'ס עובדים עם ערכים חדשים, אז הצבתי את הערכים שאני מכיר - 100 קלוריות ל-100 גרם גבינה לבנה, 28 קלוריות לפריכית אורז - וקיבלתי בדיוק 265 קלוריות (העליה בקלוריות של הגבינה הלבנה מתקזזת עם הירידה של הפריכיות). אז למרות שנראה שמקדונלד'ס התאמצו להשתפר, הם עדיין עובדים עם נתונים שלא בהכרח קשורים למציאות (כמות הגבינה לפריכית) ומעגלים כלפי מעלה מספרים שלא נוחים להם. אני מקווה שאיש פרסום חרוץ של מקדונלד'ס יטרח לכתוב מאמר שמפריך את מה שאני כותב כאן, כפי שנכתב המאמר המפריך ההוא מ-2010; עם קצת מזל, גם במאמר החדש יהיו המון סתירות פנימיות שקל ללעוג להן!