איך ייתכן ש …+1+2+3 שווה למינוס 1 חלקי 12?!

בימים האחרונים משוטט ברשת סרטון של Numberphile שמציג "הוכחה" לסכום הבלתי נתפס הבא: $latex 1+2+3+\dots=-\frac{1}{12}$. במילים: הסכום של כל המספרים הטבעיים הוא מינוס (מינוס!) אחד חלקי שתיים עשרה. זו כמובן תוצאה בלתי נתפסת. איך ייתכן שסכום של מספרים חיוביים יהיה משהו שלילי? איך ייתכן שסכום של מספרים שלמים יהיה שבר? איך ייתכן שסכום המספרים הטבעיים, שכולנו יודעים שמתבדר לאינסוף, בעצם מתכנס? ובכן, בפוסט הזה אציג גם את ה"הוכחה" לטובת מי שלא רוצה לראות את הסרטון, וגם אדבר קצת על למה התוצאה הבלתי נתפסת הזו אינה מופרכת לחלוטין – אבל כמובן, אינה כה פשוטה כפי שמציגים אותה.

נתחיל מההתחלה. הסכום $latex 1+2+3+\dots$ הוא סכום של אינסוף איברים, וזה לא מובן מאליו בכלל איך נכון לסכום אינסוף איברים. יש לי פוסט בנושא שמציג את הגישה הרווחת ביותר בעולם המתמטי, אבל חשוב להבין שזו אינה הגישה היחידה. בפרט, זו לא גישה שהיא אוטומטית נכונה באופן "טבעי" בזמן שגישות אחרות הן "שגויות"; זו פשוט הגישה שהתבררה כטובה ביותר עם הזמן, כשמשקללים עניינים כמו נוחות ובהירות ושימושיות.

הרעיון בגישה הזו הוא להסתכל על סכומים חלקיים של הטור – המספרים שמקבלים כאשר סוכמים אותו עד לנקודה מסויימת. למשל, אם נסתכל על הטור $latex \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$ של החזקות השליליות של 2, לא קשה להוכיח (עם הנוסחה לטור הנדסי סופי) שסכום $latex n$ האיברים הראשונים בטור יוצא $latex 1-\frac{1}{2^{n}}$ (בדקו זאת!). ככל ש-$latex n$ גדול יותר, כך הסכום החלקי הזה מתקרב יותר ויותר ל-1; מבחינה פורמלית מתקיים $latex \lim_{n\to\infty}1-\frac{1}{2^{n}}=1$ (הגבול של סדרת הסכומים החלקיים הוא 1), ולכן מגדירים את סכום הטור הזה להיות 1. מה עשינו כאן? לקחנו טור של אינסוף מספרים והתאמנו לו מספר, $latex S$, שמייצג אותו במובן כלשהו. הקשר הזה בין טורים ומספרים שיש לנו בשיטת ההתאמה הזו הוא די אמיץ: אם נבצע מניפולציה אלגברית על הטור, נקבל את אותה מניפולציה אלגברית על המספר. כלומר, אם נכפיל את הטור ב-2 ונוסיף לו 1, כך יקרה גם למספר:

$latex 1+2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\right)\dots=1+1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\right)=2+1=3=1+2\cdot1$

זה נכון גם באופן כללי, כמובן: אם $latex \sum a_{n}=S$ (הסימן $latex \Sigma$ הוא דרך מקוצרת לייצג סכום במתמטיקה) אז $latex \sum ka_{n}=kS$ ו-$latex k+\sum a_{n}=k+S$ (פעולת החיבור-עם-מספר היא קצת יותר מחוכמת משנראה במבט ראשון; מה שאני עושה כאן בפועל הוא להוסיף לטור איבר ראשון חדש ו"להזיז" את יתר האיברים מקום אחד קדימה בטור, קצת מזכיר את המלון של הילברט). אפשר גם לעשות עוד דברים נחמדים, למשל לחבר טורים "איבר איבר": אם $latex \sum a_{n}=S_{1}$ ו-$latex \sum b_{n}=S_{2}$ אז $latex \sum\left(a_{n}+b_{n}\right)=S_{1}+S_{2}$. אפשר אפילו לכפול טורים במובן מסויים אבל נעזוב את זה לבינתיים. מה שחשוב הוא שהתכונות האלגבריות הנחמדות הללו תלויות כולן בכך שהטור יתכנס, כלומר שלסדרת הסכומים החלקיים בכלל יהיה גבול. ותכף נראה דוגמאות למקרים שבהם אין גבול.

אפילו כשטור מתכנס, לא בהכרח חוקי לעשות לו כל מניפולציה אפשרית ועדיין לצפות לקבל את אותה תוצאה. בפרט יש משפט נפלא של רימן שאומר שאם טור כלשהו אמנם מתכנס אבל טור הערכים המוחלטים של איבריו לא מתכנס (לסיטואציה כזו קוראים "הטור מתכנס בתנאי", להבדיל מ"הטור מתכנס בהחלט"), אז על ידי שינוי סדר הסכימה של האיברים בטור אפשר לגרום לו להחזיר כל ערך שנרצה בתור סכום. אז כבר עכשיו ברור לנו שאנחנו על חבל דק פה מבחינת מניפולציות אלגבריות; וזה כל עוד אנחנו נשארים עם טורים שכן מקיימים את הדרישה הרגילה לכך שטור יתכנס.

הנה לנו דוגמה לטור שאינו מתכנס: $latex 1-1+1-1+1-1+\dots$. כלומר, מחברים ומחסרים 1 לסירוגין. סדרת הסכומים החלקיים של הטור הזה היא $latex 1,0,1,0,1,\dots$. לסדרה מתחלפת שכזו אין גבול; יש לה שני גבולות חלקיים שהם 0 ו-1, אבל אין לה גבול במובן הרגיל של המילה ולכן לטור הזה אין סכום במובן הרגיל של המילה. האם זה אומר שהמתמטיקאים צריכים לוותר לחלוטין על הטור הזה? כמובן שלא; אולי יש דרך נחמדה אחרת לתת מספר שמתאר את הטור הזה בצורה שמשמרת לפחות חלק מהתכונות הנחמדות שיש לסכומים?

ובכן, בואו נשחק משחק: נניח שיש לטור הזה סכום שהוא מספר ממשי, ננסה "לחשב" את המספר הזה על ידי מניפולציות אלגבריות של סכומים, ונראה אם נגיע למשהו. נסמן $latex S=1-1+1-1+1-1+\dots$. עכשיו בואו ננסה להבין מהו $latex 1-S$:

$latex 1-S=1-\left(1-1+\dots\right)=1-1+1-\dots=S$

מה קרה פה? עשינו שתי מניפולציות אלגבריות: הכפלנו את הטור במינוס 1 והנחנו שגם הסכום שלו יוכפל במינוס 1; וחיברנו 1 לטור והנחנו שזה גם יוסיף 1 לסכום שלו. כמו שקורה בטורים רגילים. העניין הוא שאם לוקחים את הטור, כופלים אותו במינוס 1 ואז מוסיפים לו 1 מקבלים שוב חזרה את הטור המקורי. לכן, אם לטור יש סכום $latex S$ שהוא מספר ממשי, ואם הסכום הזה מקיים את הכללים הפשוטים של שימור-כפל-במספר ושימור-חיבור-עם-מספר, אז הסכום חייב לקיים את המשוואה $latex 1-S=S$, כלומר $latex 2S=1$, כלומר $latex S=\frac{1}{2}$.

אינטואיציה כלשהי לכך ש-$latex \frac{1}{2}$ הוא אכן המספר הנכון כאן אפשר לקבל מהעובדה הבאה: אפשר להוכיח שאם $latex \left|x\right|<1$ אז מתקיים $latex \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}$ כאשר הסכום כאן הוא במובן הרגיל (גבול סדרת הסכומים החלקיים). עבור $latex x=-1$ נקבל בדיוק את הטור $latex 1-1+1-1+\dots$, ואם נציב $latex x=-1$ בנוסחה $latex \frac{1}{1-x}$ נקבל $latex \frac{1}{2}$. הבעיה היא שההוכחה של השוויון $latex \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}$, אם נפרוט אותה לפרוטות, לא עובדת עבור $latex x=-1$; הדרישה $latex \left|x\right|<1$ היא קריטית. עדיין, זה נחמד לראות שהנוסחה "מסכימה" עם התוצאה המוזרה שלנו.

האם ניתן להכליל את הגדרת הסכום ה"רגיל" כדי שגם ל-$latex 1-1+1-1+\dots$ יהיה סכום "חוקי"? התשובה חיובית, ושיטה אחת לכך היא סכימת צזארו: בשיטה הזו מסתכלים על סדרת הסכומים החלקיים של טור, $latex S_{0},S_{1},S_{2},\dots$ (כאשר $latex S_{k}=\sum_{n=0}^{k}a_{n}$), ואז מחשבים את הממוצע החשבוני שלה: $latex A_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}S_{k}$. אם $latex \lim_{n\to\infty}A_{n}$ קיים, אז הוא נקרא סכום צזארו של הטור. לא קשה להראות שאם קיים לטור סכום במובן הרגיל, אז קיים סכום גם במובן של צזארו והם שווים; אבל עם צזארו אפשר לקבל סכומים גם לטורים כמו $latex 1-1+1-1+\dots$ שבמקרה שלו, באופן לא מפתיע, הסכום הוא $latex \frac{1}{2}$ (נסו לבצע את החישוב, זה קל יחסית!).

הלקח החשוב מהסיפור הזה הוא שלא צריך לפסול אוטומטית את האפשרות של טור להתכנס לערך כלשהו רק בגלל שהאינטואיציה שלנו, או ההגדרות המתמטיות הבסיסיות שאנחנו עובדים איתן, לא מתירים את זה. לפעמים זה טוב להרחיב את ההגדרות המתמטיות. העניין הוא שזה טוב ויפה עבור טור וסכום מתקבלים על הדעת כמו זה שהצגתי כרגע, אבל איך לכל הרוחות זה יכול להסביר תוצאה מופרעת לחלוטין כמו $latex 1+2+3+\dots=-\frac{1}{12}$?! זה באמת נראה לא קשור בעליל.

אז בואו נשחק את המשחק ששיחקנו קודם עם $latex 1-1+1-1+\dots$: נניח ש-$latex 1+2+3+\dots=S$ וננסה להבין מה $latex S$ "חייב" להיות על ידי מניפולציות אלגבריות (התוצאה שנקבל היא: "אם קיים לטור סכום $latex S$ שהוא מספר ממשי על פי שיטת סכימה כלשהי, ושיטת הסכימה הזו מאפשרת את ביצוע המניפולציות האלגבריות כך-וכך, אז סכום הטור חייב להיות $latex -\frac{1}{12}$").

לצורך כך ראשית כל בואו נביט על טור אחר, $latex 1-2+3-4+\dots$. כלומר, בן כלאיים מופרע של $latex 1+2+3+\dots$ ושל $latex 1-1+1-1+\dots$ שבו סוכמים את המספרים הטבעיים עם סכומים מתחלפים. האם אנחנו מסוגלים לחשב את הסכום שלו? נסמן $latex S_{1}=1-2+3-4+\dots$. עכשיו נניח שאנחנו יכולים לחבר את הטור הזה "איבר איבר" עם הטור $latex 1-1+1-1+\dots$ ושהסכום של החיבור הזה יהיה חיבור סכומי שני הטורים. אבל, אנחנו נרמה קצת: אנחנו רוצים לחבר את $latex 1-1+1-1+\dots$ עם "הזזה" כך שהאיבר הראשון שלו יתחבר עם האיבר השני $latex 1-2+3-4+\dots$, השני עם השלישי וכן הלאה. אבל זו לא בעיה: אם $latex 1-1+1-1+\dots=\frac{1}{2}$ אז $latex 0+1-1+1-1+\dots=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, ואפשר לחבר את הטור החדש הזה "איבר איבר" עם הטור $latex 1-2+3-4+\dots$, ולקבל:

$latex S_{1}+\frac{1}{2}=\left(0+1\right)+\left(1-2\right)+\left(-1+3\right)+\left(1-4\right)+\dots=$

$latex =1-\left(1-2+3-4+\dots\right)=1-S_{1}$

אז קיבלנו את המשוואה $latex S_{1}+\frac{1}{2}=1-S_{1}$, ואחרי העברת אגפים נקבל $latex 2S_{1}=\frac{1}{2}$, כלומר $latex S_{1}=\frac{1}{4}$.

עכשיו אפשר לתקוף את $latex 1+2+3+\dots$ ישירות. נחסיר ממנו את $latex 1-2+3-4+\dots$ (כלומר, נכפול את הטור הזה ב-$latex -1$ ונחבר) ונקבל:

$latex S-S_{1}=\left(1-1\right)+\left(2+2\right)+\left(3-3\right)+\left(4+4\right)+\dots=$

$latex 4+8+12+\dots=4\left(1+2+3+\dots\right)=4S$

כלומר, קיבלנו את המשוואה $latex S-\frac{1}{4}=4S$ (הצבתי $latex \frac{1}{4}$ במקום $latex S_{1}$). אחרי העברת אגפים נקבל $latex 3S=-\frac{1}{4}$ ואחרי חלוקה: $latex S=-\frac{1}{12}$. הנה, ככה צץ מספר הקסם $latex -\frac{1}{12}$!

האם ההוכחה הזו אמורה להיות מקובלת עליכם? השאלה היא, שוב, באיזה מובן היא אמורה להיות מקובלת עליכם. אני, למשל, ממשיך לומר שהטור $latex 1+2+3+\dots$ מתבדר לאינסוף; הסיבה לכך היא שסדרת הסכומים החלקיים שלו היא $latex S_{n}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$, והסדרה הזו מקיימת $latex \lim_{n\to\infty}S_{n}=\infty$. אז במובן הרגיל אין לטור הזה סכום. מי שינסה לטעון אחרת עובד עליכם. מצד שני, מה שראינו הוא שאם ננסה להגדיר סכום לסדרה בדרך אחרת, ואם הדרך האחרת הזו משמרת כמה מניפולציות אלגבריות מתבקשות, אז הסכום יהיה חייב להיות $latex -\frac{1}{12}$. במילים אחרות, $latex -\frac{1}{12}$ זה לא איזה מספר מופרע שצץ בראש של איזה מישהו כי בא לו; זה מספר שנמצא בקשר הדוק מאוד עם $latex 1+2+3+\dots$ בין אם נרצה ובין אם לאו. אם כבר צריך להגדיר את הסכום $latex 1+2+3+\dots$ להיות מספר ממשי כלשהו, אז $latex -\frac{1}{12}$ הוא הבחירה הטבעית.

אני רוצה לחדד את העניין הזה עם עוד סכום פסיכי: הסכום $latex 1+2+4+8+\dots$ של חזקות של 2. שוב, בבירור במובן הרגיל של סכימה, הסכום מתבדר לאינסוף. אבל אם נניח שכן יש סכום שהוא מספר כלשהו $latex S=1+2+\dots$, נכפול ב-2 ונחבר 1, נקבל

$latex 2S+1=1+2\left(1+2+4+8+\dots\right)=1+2+4+8+\dots=S$

ולכן נקבל $latex S=-1$. שוב, נראה מופרך לגמרי, ולכן בדרך כלל מביאים את התעלול הזה בתור "הוכחה" לכך שהטור אינו מתכנס (עם עוד קצת פורמליזציה אכן מקבלים ממנו הוכחה שהטור אינו מתכנס בממשיים). אבל כאן אפילו לא צריך לשנות את שיטת הסכימה כדי שהגבול הזה יהיה נכון, רק צריך לשנות את ההקשר; במקום לדבר על סכום במספרים ממשיים, לדבר על סכום במספרים $latex p$-אדיים; ספציפית, מספרים 2-אדיים. להסביר עד הסוף מהם המספרים הללו זה יותר מדי עבור הפוסט הזה, אבל לשמחתי כבר דיברתי עליהם בעבר. מה שצריך לדעת: מספרים $latex 2$-אדיים הם הרחבה של המספרים הרציונליים, שהיא מעין חלופה להרחבה של המספרים הרציונליים שבונה מהם את הממשיים. במספרים הללו המושג של "גודל" של מספר הוא מעוות לחלוטין ביחס למה שקורה בממשיים: הגודל של מספר $latex n$ שווה ל-$latex \frac{1}{2^{k}}$ כאשר $latex 2^{k}$ היא החזקה הגדולה ביותר של $latex 2$ שמחלקת את $latex n$. במילים אחרות – ככל שמספר מתחלק על ידי חזקה גדולה יותר של 2, כך הוא קטן יותר. המושג החדש הזה של גודל משפיע על המשמעות של שאיפה לאינסוף, במובן הרגיל של גבולות.

כמו כן, במספרים $latex p$-אדיים מתקיימת תכונה מקסימה של טורים, שפשוט לא נכונה במספרים ממשיים – טור מתכנס אם ורק אם האיבר הכללי שלו שואף לאפס. בממשיים כבר הטור $latex \sum\frac{1}{n}$ מהווה דוגמה נגדית, למרות אנשים שמעדיפים לחשוב שהוא מתכנס ל-137, אבל ב-2-אדיים זה נכון; רק חשוב להבין שב-2-אדיים "שאיפה לאפס" מוגדרת בעזרת הנורמה ה-2-אדית ה"מוזרה". מה זה אומר? שהסדרה $latex a_{n}=2^{n}$ שואפת לאפס, כי הנורמה של האיבר ה-$latex n$-י בה היא $latex \frac{1}{2^{n}}$. הסדרה הזו היא בדיוק סדרת האיברים של הטור $latex 1+2+4+8+\dots$, כלומר הטור הזה מתכנס ב-2-אדיים. ברגע שבו הוכחנו שהוא מתכנס על פי המובן הרגיל של התכנסות, שמאפשר מניפולציות אלגבריות, המסקנה המיידית היא שהסכום שלו חייב להיות $latex -1$, על פי התעלולים שראינו קודם. ואכן, לא קשה לראות ש-$latex -1$ הוא אכן גבול של סדרת הסכומים החלקיים של הטור: אם נסתכל על ההפרש $latex 1+2+\dots+2^{n}-\left(-1\right)$ נראה, על ידי פישוט אלגברי לא מסובך, שההפרש הזה שווה ל-$latex 2^{n+1}$ – ולכן ההפרש בין הסכומים החלקיים ובין $latex -1$ אכן שואף לאפס, כלומר $latex -1$ הוא אכן סכום הטור. זה די נפלא – התעלול האלגברי, שבממשיים משתמשים בו בעיקר כדי לצחוק על מי שחושב שהטור מתכנס, הפך פתאום להוכחה תקינה לחלוטין לכך שהטור באמת שווה $latex -1$; רק צריך היה למצוא את ההקשר המתמטי המתאים. זה לקח טוב למי שטוען על משהו שהוא "בלתי אפשרי" במתמטיקה ופשוט לא מודע לכמה הרבה דברים אפשריים במתמטיקה ועד כמה צריך לסייג את ה"בלתי אפשרי" לדברים קונקרטיים שבהם הבלתי אפשרי הוא בלתי אפשרי.

חזרה אל $latex 1+2+3+\dots$. כמו שעבור $latex 1-1+1-1+\dots=\frac{1}{2}$ הראיתי "נימוק מפייס אינטואיציה" שהראה איך הערך הזה מתקבל מחישוב ערך ספציפי של פונקציה מסויימת שמתאימה לטור כללי יותר, אני רוצה להראות משהו דומה גם עבור $latex 1+2+3+\dots$. כמו כן אני רק אעיר שיש שיטת סכימה שהמציא המתמטיקאי סריניווסה רמנוג'אן שעבור הטור $latex 1+2+3+\dots$ נותנת גם כן $latex -\frac{1}{12}$ והיא עקבית באופן כללי עם מה שאעשה בהמשך, אבל לא אציג אותה הפעם, גם כי אני לא מכיר אותה טוב בעצמי וגם כי היא תדרוש ממני להיות אפילו יותר טכני ממה שאני הולך להיות עוד רגע.

אז בואו נדבר על הפונקציה: הפונקציה במקרה הנוכחי היא פונקציה מכובדת מאוד ומפורסמת מאוד במתמטיקה: פונקציית הזטא של רימן. דיברתי עליה קצת בעבר, כאן. זוהי פונקציה מרוכבת (כלומר, מוגדרת על כל המספרים המרוכבים, לא רק על הממשיים) שמוגדרת באופן לא טריוויאלי שדורש היכרות כלשהי עם אנליזה מרוכבת, ולכן אנפנף בידיים. ראשית, מסתכלים על הטור $latex \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}$. אפשר להוכיח שהטור הזה מתכנס אם החלק הממשי של $latex x$ גדול מ-1, וזה מגדיר לנו פונקציה $latex f\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}$ לכל $latex x$ מרוכב שהחלק הממשי שלו גדול מ-1 (בפרט, לכל הממשיים שגדולים מ-1). לרוע המזל, עבור $latex x$-ים אחרים הטור לא מתכנס. מה שעושים עכשיו הוא להגיד "אוקיי, בואו נגדיר פונקציה $latex \zeta\left(z\right)$ על כל המספרים המרוכבים שרק אפשר, כך שאם $latex z$ הוא מספר מרוכב שהחלק הממשי שלו גדול מ-1 אז מתקיים $latex \zeta\left(z\right)=f\left(z\right)$ – כלומר, $latex \zeta$ מזדהה עם $latex f$ על תחום ההגדרה של $latex f$ – וכמו כן $latex \zeta$ היא "נחמדה" (פורמלית, אנליטית, אבל לא חשוב כרגע מה זה אומר). להרחבה כזו של $latex f$ קוראים הרחבה אנליטית ואפשר להוכיח שיש רק הרחבה יחידה כזו. $latex \zeta$ היחידה הזו היא מה שנקרא "פונקציית הזטא של רימן". זה שאנחנו יודעים שהיא קיימת לא אומר שאנחנו בהכרח יודעים איך היא נראית בכל מקום; אחת השאלות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה, השערת רימן, עוסקת בשאלה איפה בדיוק $latex \zeta$ יכולה להתאפס. עם זאת, יש לנו מידע כלשהו על $latex \zeta$: הצגתי פעם בבלוג הוכחה לנוסחה שנותנת את ערכי $latex \zeta$ עבור המספרים השלמים החיוביים הזוגיים, ועבור כל המספרים השלמים השליליים. מבלי להיכנס לפרטים, הנוסחה היא $latex \zeta\left(-n\right)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}$ כאשר $latex B_{n}$ הוא מה שנקרא מספר ברנולי – זו סדרת מספרים נפלאה ומרתקת שלא אגיד עליה כלום כרגע פרט לכך ש-$latex B_{2}$ הוא $latex \frac{1}{6}$. אז כאשר מציבים $latex n=1$ מקבלים $latex \zeta\left(-1\right)=\frac{-\frac{1}{6}}{2}=-\frac{1}{12}$. הופס. איך זה קשור לטור $latex 1+2+3+\dots$? פשוט מאוד. אם נציב $latex x=-1$ בטור $latex \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}$ נקבל בדיוק את הטור $latex \sum_{n=1}^{\infty}n$, כלומר $latex 1+2+3+\dots$.

אני רוצה לחדד את הנקודה: $latex \zeta\left(-1\right)$ אינה מוגדרת בתור הסכום (במובן הרגיל) של $latex 1+2+3+\dots$. היא מוגדרת באמצעות הסכום (במובן הרגיל) של $latex \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}$ רק עבור ערכי $latex x$ שהחלק הממשי שלהם גדול מ-1, ועבור ערכים אחרים היא מוגדרת באמצעות הוקוס-פוקוס מתמטי לא טריוויאלי. עדיין, זה לא אומר שאי אפשר לתת לסכום $latex 1+2+3+\dots$ משמעות חדשה באמצעות פונקציית הזיטא של רימן (ובדומה, לכל סכום מהצורה $latex \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}$ עבור $latex x$ "לא חוקי"). כפי שאנחנו כבר רואים, יש הגיון מאחורי המשמעות החדשה הזו. האם יש לה גם שימוש? זו כבר שאלה שאי אפשר להפנות אלי כי אין לי מושג, אלא דווקא לפיזיקאים; בתחומים מסויימים בפיזיקה (בפרט אוהבים לזרוק את תורת המיתרים בהקשר הזה) אכן משתמשים בסכימה הזו. עבורי מספיק שמדובר על תוצאה יפה.

75 תגובות על הפוסט “איך ייתכן ש …+1+2+3 שווה למינוס 1 חלקי 12?!

  1. מרתק
    אבל
    כתבת: "מצד שני, מה שראינו הוא שאם ננסה להגדיר סכום לסדרה בדרך אחרת, ואם הדרך האחרת הזו משמרת כמה מניפולציות אלגבריות מתבקשות, אז הסכום יהיה חייב להיות −112"
    (אמור להיות שם חילוק)
    אבל בפועל בצעת כמה מניפולציות אלגבריות מאוד מסוימות שלא נראות לי הכרחיות. למשל היית אולי יכול בהוכחה שS הוא חצי לבדוק כמה שווה S-52 ולקבל אולי ש S הוא רבע ולא חצי. הייתי משתכנע יותר אם היית מגדיר מבנה אלגברי (נגיד חוג) שכולל את הטבעיים ואיבר נוסף, S, מגדיר על המבנה את הפעולות באופן הרצוי ואז מוכיח שע"מ לשמר את המבנה הזה S חייב להיות 1/12-

  2. עוד דבר שמפריע לי. הזכרת את המשפט של רימן על חשיבות סדר הסכימה. בפועל שינית את סדר הסכימה כאוות נפשך: "נניח שאנחנו יכולים לחבר את הטור הזה "איבר איבר"". אולי בהנחות אחרות אפשר להגיע לתוצאה אחרת.
    דווקא ההוכחה האנליטית, על סמך היחידות של פונקצית הזטא, משכנעת למדי. אבל אחרי שאתה מאמין של -1 יש שורש, השמיים הם הגבול…

  3. השאלה איזה הצדקה אתה נותן לכל המקרים שאתה עושה אינסוף פחות אינסוף?
    ואם יש טורים S שאתה יכול להגיד עבורם:
    S=S+S
    אז מה מונע ממך להגיד לסכום אחר כלשהו שתרצה?

  4. אם טור החזקות של סדרה a_n מתכנס ב-1 ל-S נאמר שהטור של a_n מתכנס במובן של אבל (Abel Summable). משפט של אבל גורס שאם בנוסף הטור מתכנס במובן הרגיל ל-S', אז S=S'.

    משפטים מסוג מעניין יותר הם משפטים טאובריים (Tauberian) – הם עונים על השאלה "מתי אני יכול להסיק שטור מתכנס מתוך כך שהוא Abel Summable?". למשפטים כאלה יש אינסוף שימושים והכללות והם מכילים מתמטיקה עשירה. טאובר נתן את התנאי הבא: a_n = o(1/n). הרדי וליטלווד עבדו על הבעיה רבות ובפרט החלישו את התנאי ל-a_n >= -C/n (ה-o הקטן הוחלף ב-O גדול ובמקום חסם בשני הכיוונים דורשים חסם בכיוון אחד, לצורך העניין תחתון).

    ואכן, במקרה של פלוס מינוס 1, יש התכנסות במובן של אבל כמו שהראת, אבל לא מתקיים התנאי של משפט טאובר – לא מפתיע בהתחשב בכך שהטור הרגיל באמת לא מתכנס.

    אגב, משפט של פרובניוס, מאותו הז'אנר, מראה שאם יש התכנסות במובן צזארו אז יש התכנסות במובן של אבל (ובמילים – עוברים מממוצע חשבוני לטור חזקות).

  5. וכמה קוריוזים שקשורים לפונקציית זטא (אני בטוח שאתה יודע אותם, זה בשביל קוראי התגובות):

    1. אפשר לקבל את הערך של זטא במינוס 1 ע"י המשוואה הפונקציונלית של זטא – משוואה שמקשרת בין הערך של זטא ב-x עם הערך של זטא באחד מינוס x (שיקוף לפי Re s = 1/2). כדי לחשב את zeta(-1) צריך לדעת את zeta(2), הטור של אחד חלקי הריבועים, שאפשר לחשב את ערכו במספר דרכים.

    2. ע"י מניפולציות אלגבריות, אפשר להשתמש בהגדרה מאוד דומה להגדרה הסטנדרטית של פונקציית זטא בשביל להגדירה גם ב-Re s in (0,1]. לא ידוע לי על דרך להשתמש בהגדרה דומה כדי להגדירה ב- Re s < 0, כנראה שחייבים לערב התמרת פורייה באיזושהי צורה.

  6. מרתק ומעניין. מה עם הסכום 1+1+1+1…??
    אם עושים פה מניפולציות יוצא S=S+1

  7. ערן: לא שיניתי את סדר הסכימה. חיבור "איבר-איבר" של טורים לא שקול לשינוי סדר הסכימה של טור. בפרט, גם עבור טורים שמתכנסים בפרט, עדיין מתקיים הכלל שחיבור "איבר-איבר" שלהם מניב טור שסכומו הוא חיבור הסכומים של הטורים שחוברו "איבר-איבר".

  8. יש על זה קטע (עם מסקנה די מצחיקה) ב-Hacker's Dictionary , שמצטט מסמך קלאסי בשם HAKMEM :

    Item 154 (Bill Gosper): The myth that any given programming language is machine independent is easily exploded by computing the sum of powers of 2. If the result loops with period = 1 with sign +, you are on a sign-magnitude machine. If the result loops with period = 1 at -1, you are on a twos-complement machine. If the result loops with period greater than 1, including the beginning, you are on a ones-complement machine. If the result loops with period greater than 1, not including the beginning, your machine isn't binary — the pattern should tell you the base. If you run out of memory, you are on a string or bignum system. If arithmetic overflow is a fatal error, some fascist pig with a read-only mind is trying to enforce machine independence. But the very ability to trap overflow is machine dependent. By this strategy, consider the universe, or, more precisely, algebra: Let X = the sum of many powers of 2 = …111111 (base 2). Now add X to itself: X + X = …111110. Thus, 2X = X – 1, so X = -1. Therefore algebra is run on a machine (the universe) that is two's-complement.

  9. קראתי ואהבתי, מאוד מעניין. אני מסכים עם השיטות המתמטיות להראות שהסכום שווה למינוס אחד חלקי 12, אבל..
    קיים משפט שאומר שסכום שני מספרים ממשיים חיוביים גם הוא מספר חיובי. מכאן שסכום שני האיברים הראשונים בטור הם מספר חיובי. והסכום של שניהם עם השלישי גם הוא חיובי.. ומכאן באינדוקציה שסכום הטור חייב להיות חיובי. אבל הוא יוצא מינוס 1 חלקי 12. אין כאן סתירה?

  10. פרט קטן אבל בכל זאת – בהגדרה של פונקצית זיתא כדאי שתהיה עקביות בסימון של n ושל x. זה מופיע פעמיים באותה צורה בבלוג וכדאי לתקן.

  11. ניצן, שאלה מצויינת. לב העניין כאן הוא בכך שאינדוקציה מוכיחה שמשהו מתקיים עבור כל הטבעיים, אבל לא עבור "אינסוף". דהיינו, אתה יכול להראות באינדוקציה שלכל n מחוברים, הסכום שלהם יהיה חיובי; אתה *לא* יכול להוכיח שהסכום של כל אינסוף המחוברים יהיה חיובי.

  12. אני לא מקבל את הקטע הזה עם ה-2S = 1 כיוון ש-S יכול להיות גם 0 ואז המשוואה
    שנתת ש-S = 1/2 שגויה…..
    וכל שאר ההוכחה מסתמכת על זה

  13. אמיר ואיתי – לצערי לא הבנתי מה ניסיתם לעשות. תוכלו לכתוב הסבר מפורט יותר?

  14. כן, כיוון שמתקיים: S = 1-1+1-1….
    ואז טענת ש: 1 – S = S ולכן יתקיים ש: 2S = 1 מה שאומר S = 1/2 אבל אם ידוע ש-S יכולה להניב רק תוצאה של 0 או 1 אתה עונה פה אך ורק למקרה של S=1 ולא למקרה שבו S=0 ואז מתקיים לך ש: 0 =1/2.

  15. אמיר, אני לא מבין את הטענה "S יכולה להניב רק תוצאה של 0 או 1". זה לא נכון. אני גם לא מבין איך הגעת למסקנה שאני מדבר על "המקרה שבו S=1".

    איתי, התעלול שלך נראה נכון (ועקבי עם הנוסחה לטור הנדסי כשמציבים בה את הערך ה"לא חוקי" x=13). לא הבנתי אם אתה חושב שיש עם זה בעיה.

  16. אני רק אומר שזה קצת מוזר שחלק מהסכום שווה לסכום , זה אולי אומר שהחלק השונה בין הסכומים שווה ל0

  17. אחלה כתיבה – הצעה אחת : סימנתי בS גם את 1-1+1-1.. וגם באיזושהו שלב את 1+2+3+4..
    כדאי לשנות אולי או להבהיר שזה לא אותו S

  18. גדי, תגיד, אתה הנחת הנחות מסוימות על מניפולציות מותרות, וקיבלת שתחת ההנחות האלה אפשר להראות שהסכום 1+2+3+… יוצא 1/12-. נהדר. אבל האינטואיציה המתמטית שלי אומרת שתחת אותן הנחות יהיה אפשר להוכיח שהסכום הזה יוצא גם מספר אחר (למעשה, כל מספר אחר). האם זה נכון? או שקיים אכן אוסף של הנחות תחתיהן אפשר להוכיח שהסכום שווה ל 1/12- ולא לאף מספר אחר?

  19. אם אפשר לקבל עוד מספר תחת ההנחות הללו, זה בעצם מוכיח שלא ניתן להתאים לטור סכום באופן שמאפשר את המניפולציות הללו. את זה, כמובן, לא מראים בסרטון של Numberphile. לכן מה שעושים בפועל הוא לנקוט בגישת פונקציית הזטא או סכומי רמנוג'אן (או במקרה של הטור הראשון, סכימת צזארו) שבהם אין חשש לבעיה כזו.

  20. לגבי הסכום: 1+1+1+1…
    מניפולציות "רגילות", כמו שכתוב, לא מביאות לתוצאה כלשהי. מצד שני נראה שאפשר להגדיר את הטור להיות פ' זיטא של אפס. אבל הטור יכול להיות גם פ' זיתא של אפס + 1…
    השאלה פה היא מה גבולות הסכום.
    מסתבר שבפיזיקה ניתן להגיע לסכום הזה בשתי דרכים:
    \sum_{n=1}^\infty
    או
    \sum_{n=1/2}^\infty
    כלומר "סכימה על אינדקסים חצי שלמים".
    הטור הראשון מתקבל עבור בוזונים והשני עבור פרמיונים.
    ההמשכות האנליטיות "הנכונות" של הטורים שונות ונתונות לא ע"י פונקציית זיטא הרגילה אלא ע"י הכללה פשוטה שלה:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz_zeta_function
    והתוצאות "הנכונות" להגדרת הטור נותנות 1/2 ו-0 לשני המקרים.

  21. שאלת הדיוט: זה מאד משעשע, גם מי שאינו מתמטיקאי, כמוני. האם אפשר לסכם (pun not intended) את העניין בכך, שהשאלה על הסכום לא "לגיטימית", כי אין לנו מידע על מהות ה ∞, והתוצאה, בעצם, מלמדת יותר על מהות ∞ מאשר על תוצרה חשבונאית כלשהי?

  22. וואו, זה עזר מאד 😛
    אבל איפשהו, יש בעיה בצורה שבה זה מוצג, לא? האמנם יש תוצאה מוגדרת לסכום של סידרה אינסופית בכלל? זה לא מקרה של GIGO?

  23. נראה לי שזה מחזק את עמדת הטוענים שמתימטיקה זו המצאה, בגלל כל העניין עם הפי אדיים והעובדה שהסכום לא "טבעי".

  24. אני דווקא חושב שה-p-אדיים הם המחשה מאוד משכנעת לכך שהמתמטיקה היא תגלית ולא המצאה, אבל זה בוודאי לא ויכוח שנראה לי מעניין לקיים אותו.

  25. אני קצת עייף, אז יכול להיות שפיספסתי את זה, אבל האם יש איזושהי הגדרה (מקובלת או לא מקובלת, אבל שתקיים את כל המניפולציות על טורים שהשתמשת בהם) להתכנסות טור, שלפיה הטור הזה באמת מתכנס ל (-1/12)? בפרט, האם יש הוכחה שאי אפשר להגיע לאף "סכום" אחר על ידי מניפולציות דומות?

  26. לאיתי,
    הטור שקישרת אליו *מתכנס* (כנראה) לערך 1/12-
    טור הטבעיים מתבדר. המספר 1/12- משויך לו באופן יחיד ועקבי באמצעות סוג של "נוסחת קסם", זו לא התכנסות במובן המקובל. התכנסות טורים ונוסחת סכימה עקבית של טורים מתבדרים הן חיות שונות ולדעתי אין סיבה א-פריורי שלא (או שכן) תתקבל אותה תוצאה.

  27. גדי, אני חושב שמה שאיתי שואל זה: האם עקב ההבחנה שלו אפשר לומר ש"נכון" להגיד (תחת איזשהו ערך של "נכון") שסכום כל המספרים הטבעיים, פרט לאלו שהם חזקות שלמות של 13, הוא 0?

  28. אתה שם את הגרשיים במקום הלא נכון – ה"איזשהו ערך" צריך להתייחס ל"סכום". כפי שראינו, יש כמה דרכים שונות ומשונות להגדיר סכומים.

    במקרה הנוכחי נראה לי שאפשר לומר שאם יש לנו שיטה כלשהי להגדרת סכום של טורים שנותנת סכום הן לכל המספרים הטבעיים והן לכל המספרים שהם חזקות שלמות של 13, והשיטה הזו מקיימת כך-וכך תכונות של שמירה על מניפולציות אלגבריות, אז כן – השיטה הזו תיתן שסכום הטור שתיארת הוא 0.

  29. רציתי לומר שהטורים מהסוג הזה צצים די הרבה בפיסיקה של שדות ויש דרך מסודרת ויותר אלגנטית (לדעתי) שמאפשרת לקבל את התוצאות שהצגת. הרעיון הוא להציג את המחוברים בתור נגזרות של אקספוננט בנקודה מסויימת. ניתן לסכום אותם ורק אז לבצע את הנגזרת, בצורה כזו קל לבודד את החלק המתבדר. חפש zeta regularization.

  30. גדי, כתבת:

    "במקרה הנוכחי נראה לי שאפשר לומר שאם יש לנו שיטה כלשהי להגדרת סכום של טורים שנותנת סכום הן לכל המספרים הטבעיים והן לכל המספרים שהם חזקות שלמות של 13, והשיטה הזו מקיימת כך-וכך תכונות של שמירה על מניפולציות אלגבריות, אז כן – השיטה הזו תיתן שסכום הטור שתיארת הוא 0."

    עידו מניח במובלע שהוא יכול להשתמש בחוק האוסציאטיבי ולסכם את הטור לפי סדר מסויים (קודם כל 1+13+… ורק אחר כך את כל השאר). וזה כמובן לא נכון. שימוש בחוק האסוציאטיבי צפוי לשמוט את הקרקע מתחת לכל. הטורים המתבדרים אינם מסתכמים במובן המקובל של המילה אלא ממופים ל- (מה שמכונה לפחות על ידי) סכומי-E או סכומי-R כמקשה אחת. הרי אם מתעקשים ממש לסכום אותם איבר איבר הם פשוט מתבדרים. לדעתי אין שום סיבה א-פריורי להניח או לסבור שטור הטבעיים להוציא את הכפולות של 13 מסתכם-E לאפס.

  31. לא הבנתי איפה החוק האסוציאטיבי נכנס לעניין. עד כמה שאני רואה, הוא מכוון לכך שנבנה טור שיש בו 0 בכל מקום מלבד בחזקות של 13, ואז נבצע חיסור טורים נקודתי. שני אלו הם מה שנכנס ל"כך-וכך".

  32. אבל אתה לא יכול לבנות כל טור שעולה ברוחך… כלומר אתה יכול, אבל אם אין לך נוסחא סגורה לכל אברי הטור, אין לך שיטת סכימה עקבית עבורו… מהי הפונקציה היוצרת המנפקת את הטור שמכיל את כל החזקות של 13 ואפסים ביניהם? למשל, מאיפה באים 11 האיברים שערכם אפס בין האיבר הראשון שלא מתאפס 0^13 לאיבר השני שלא מתאפס, היינו האיבר ה-13 שערכו 1^13?

    הנקודה שאני מנסה להדגיש היא שאי אפשר "לדחוף אפסים" איפה שרוצים מבלי להיתקל באבסורדים. האפשרות היחידה הפתוחה בפנינו היא לחבר את טור האפסים כולו לטור נתון: הדרך העקבית לעשות זאת היא איבר איבר כלומר (1+0)+(13+0) +… ואין בזה להגדיל את מספר האיברים בטור המקורי באיברים נוספים (שערך כל אחד מהם במקרה זה הוא אפס).

  33. זה חלק מהעניין, לא? בהגדרה הסטנדרטית של סכום, כמובן שאפשר לדחוף כמה אפסים שרוצים (אפילו אינסוף) וזה לא ישנה את סכום הטור, כך שזה נראה לנו כמו פעולה שטבעי לדרוש. רק שבשיטות סכימה "מופרעות" כמו זו שאני מציג בפוסט זה אכן לא מובן מאליו שהתכונה הזו עדיין תתקיים; אבל אם היא מתקיימת (ובנוסף מתקיימים עוד כך-וכך), אז התוצאה היא אכן דברים מוזרים כמו הסכום-ששווה-אפס הזה.

  34. באמת התהייה שלי הייתה אם אפשר להגדיר עוד סכומים אינסופיים בהינתן מה שכבר "הוכחנו" ולעשות עוד מניפולציות אלגבריות.
    אז ניתן להגדיר את הסכום הזה כ0 ?
    חבל שאין איזשהי מערכת חוקים או דרך לבדוק דברים כאלה בפועל .

  35. אני תוהה לגבי הסכום של כל הטבעיים האי-זוגיים.
    מצד אחד, די ברור שהסכום הוא 1/12, כי סכום כל הטבעיים הוא מינוס 1/12, סכום כל הזוגיים הוא פעמיים המספר הזה – כלומר מינוס 1/6, וסכום כל האי-זוגיים הוא ההפרש בין הסכום הראשון לשני.
    מצד שני, אם נחבר איבר-איבר את טור האי-זוגיים עם הטור 1-1+1-1+1-1 (שסכומו 1/2), נקבל את הטור 2+2+6+6+10+10…. שהוא 4 פעמים סכום האי-זוגיים. מכאן ש-1/2 הוא 3 פעמים סכום האי-זוגיים, והסכום הוא 1/6.
    איך זה מסתדר? איפה טעיתי?

  36. אלישיב – כי טור המספרים הזוגיים הוא בדיוק מה שמתקבל כשכופלים ב-2 כל אחד מהאיברים בטור המספרים הטבעיים. כל איבר הוא כפול מהאיבר המתאים בטור הטבעיים, ולכן גם הסכום כפול.

  37. היי הדבר מאוד הפריע לי
    האם אומר הדבר כי המטמתיקה אינה סגורה? הצגתי את הוכחה למספר סטודנטים
    ודווקא הנדסאי יג' הציג לי שאלה:
    הרי בשלב השני של ההוכחה אנו מבצעים מחברים את 2 סדרות של s2
    אך מבצעים הסחה ימינה כדי שתתקבל הסדרה:
    1, 1-, 1, 1- , 1,1- ….
    אך בהסחה ימינה ישאר איבר אחד אחרון או מינוס אינסוף או אינסוף?
    מה דעתך אמח לתשובה
    איציק

  38. מה שמציק קצת עם ההנחה שהשיטה של S=S-1 זה שבעצם אפשר להוכיח איתה שהטור = לאינסוף איברים כי למשל 2-2S =1 אז מכאן נובע ש S=2-2S-S כלומר S=2-nS כאשר אפשר להשאיף את n לאינסוף ואז S ישאף ל0

    אני סטודנט שנה א אין לי הרבה ידע מטמטי אני אחרי אינפי1 ולינארית 1 ובאמצע אינפי 2 ולינארית 2
    כך שתציג נימוק פשוט איפה הטעות שלי

  39. כן התבלבלתי זה S=S-1 בכל אופן לא ענית כלום לפי הנוסחא הזו אתה יכול לבחור איזה סכום שבא
    לך שיהיה סכום הסידרה כפי שהראתי למעלה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.