יותר מכל, המתמטיקה של זמננו זוכה לתדמית "מדוייקת", "פורמלית", אפילו צרת מוחין. טענה נפוצה בדיונים היא ש"החיים זה לא מתמטיקה" ואין טעם לבקש להכל הגדרות מדוייקות והסברים ברורים. אלא שהמתמטיקה הזו היא צעירה יחסית; אפילו המתמטיקה של המאה ה-19 לא הייתה כזו בדיוק. המתמטיקה ה"פורמלית" היא תוצר של תהליך בן אלפי שנים, שהתרחש שלא במקרה אלא מתוך הכרח.

נהוג לציין את תחילת המתמטיקה ביוונים הקדמונים. לא שחישובים לא בוצעו קודם לכן, והדוגמאות הבולטות הן המצרים והבבלים, שידעו לבצע חישובים לא טריוויאליים כלל, בהתחשב בכך שהמתמטיקה לא הייתה קיימת אז – למשל, פתרון משוואות ריבועיות. אלא שאצלם לא היה מושג כזה, "משוואה ריבועית" – היו בעיות קונקרטיות, לרוב גאומטריות במהותן, והיו אלגוריתמים שהותאמו למקרים מאוד ספציפיים ופתרו אותם. המושג של "הוכחה" לא היה קיים כלל – הנכונות של האלגוריתמים לא עניינה אף אחד (עד כמה שניתן להבין זאת מהשרידים שנותרו…), אלא רק שהם עובדים בפועל. היוונים הם אלו ששינו את התפיסה הזו והכניסו לתמונה את מושג ההוכחה – גזירה של תוצאות כלליות מתוך קבוצת אקסיומות בסיסיות שעבור היוונים, נכונותן הייתה "מובנית מאליה", וכללי גזירה פשוטים. אלא מה – האקסיומות של היוונים לא היו בדיוק מובנות מאליהן (בפרט, אקסיומה אחת – "אקסיומת המקבילים" – הייתה שנויה במחלוקת במשך אלפי שנים; כבר סיפרתי על כך בעבר כאן טיפה, ואולי ארחיב בעתיד), ובימינו הן לא היו עומדות במבחן הדקדקני של המתמטיקה בת זמננו.

לאחר תקופת היוונים עיקר העיסוק (ראשית בארצות האיסלאם בתקופת ימי הביניים, ולאחר מכן באירופה של תקופת הרנסנס) התמקד בפתרון משוואות אלגבריות, אם כי רוב המתמטיקאים עדיין השתמשו בגאומטריה עבור אינטואיציה ועבור הצדקה לנכונות הפתרונות שלהם. ואז הגיעה המאה ה-17, שבה פקדה את המתמטיקה תקופת פריחה שלא פסקה עד היום, והביאה עמה בין היתר את אחד מעמודי התווך המרכזיים של המתמטיקה: החשבון האינפיניטסימלי, שראשיתו בבעיות גאומטריות מעשיות כדוגמת חישוב המשיק לעקום, או שטח החסום על ידי עקום. החשבון האינפיניטסימלי הומצא בנפרד על ידי ניוטון ולייבניץ, ושניהם התבססו על רעיונות ותוצאות מוקדמות יותר (למעשה, אפילו מתקופת היוונים, ובפרט מהשיטות של ארכימדס). אלא שאצל שניהם הביסוס היה רעוע למדי, והמושג המרכזי – האינפיניטסימל – היה פשוט סתירתי; כשהיה נוח התייחסו אליו כאפס ולכן ניתן היה להתעלם ממנו, וכשלא היה נוח (למשל, כשחילקו בו) התייחסו אליו כאל מספר שונה מאפס. במהלך המאה ה-18 המשיכה המגמה ה"לא פורמלית" להתקיים אצל העוסקים במתמטיקה, והדוגמה הבולטת ביותר היא של אוילר, מתמטיקאי פורה באופן יוצא דופן, שעם זאת שיטותיו לא בוססו עד הסוף ובסטנדרטים המחמירים של ימינו לא היו מתקבלות על הדעת (אם כי סביר להניח שאוילר היה מושך בכתפיו, מתאמץ עוד טיפה ומציג הוכחות פורמליות שהקהילה הייתה מקבלת ללא עוררין). הצגתי דוגמה לכך בפוסט שעסק בפאי – אוילר עסק בטור חזקות אינסופי, והניח שניתן להציג אותו כמכפלה באותו האופן שניתן לעשות זאת לפולינום סופי – ללא שום הצדקה.

התפנית הגיעה במאה ה-19, כששני התורמים המרכזיים לה היו קושי ו-ויירשטראס. קושי, שפעל בתחילת המאה, ניסה לתת פורמליזציה קונקרטית יותר לחשבון האינפיניטסימלי; אצלו ניתן למצוא גרסה בסיסית של מושג הגבול, שהפך למושג המרכזי שעליו מתבסס החשבון האינפיניטסימלי (במקום האינפיניטסימל). ויירשטראס פעל יותר קרוב לסוף המאה, וגישתו למתמטיקה הייתה פורמלית עוד יותר משל קושי. הוא זה שהמציא את אופן הסימון המדוייק שבו אנו מגדירים גבולות כיום (מה שמוכר לסטודנטים בתור "אפסילון-דלתא", על שם שני הסימנים הסטנדרטיים שמופיעים בהגדרה), ולימד אותו באוניברסיטה שבה הרצה. בין תלמידיו היו מתמטיקאים משפיעים רבים, וה"אופנה" התפשטה במתמטיקה במהירות. תרמה לכך ככל הנראה העובדה שויירשטראס נהג למצוא להנאתו דוגמאות נגדיות למשפטים של עמיתיו, ששמו לצחוק את ההנחות הסמויות שהניחו בשל מחסור בפורמליזציה מלאה מספיק. על דוגמה נגדית שכזו אני רוצה לדבר בפוסט הזה, אם כי במקרה זה מדובר על משפט של רימן, לא של ויירשטראס (על הדוגמה הנגדית המפורסמת ביותר של ויירשטראס – פונקציה שרציפה בכל מקום אך אינה גזירה בשום מקום – כדאי להרחיב בפוסט נפרד) – משפט שעוסק בטורים אינסופיים, ושם לצחוק בצורה קיצונית את האינטואיציה שלנו ("שלנו", במקרה זה, מתייחס למי שאינו מפחד ממתמטיקה) לגביהם.

תזכורת קטנה לגבי מהם טורים (יש לי גם פוסט בנושא). טור סופי הוא סכום מהצורה \(a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}\), או בקיצור \(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\), כאשר \(a_{i}\) הם, נניח, מספרים ממשיים. למרות שהביטוי נראה פשוט, יש תחכום כלשהו בו – פעולת ה"חיבור" אינה מוגדרת על \(n\) איברים אלא רק על שניים בכל פעם, ולכן המשמעות של \(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\) היא כשל תוצר של תהליך: ראשית כל מבצעים את החיבור \(a_{1}+a_{2}\), מקבלים תוצאת ביניים שאכנה \(s_{2}\), ואז מחברים \(s_{2}+a_{3}\) ולתוצאה קוראים \(s_{3}\), וכן הלאה וכן הלאה. החיבור הוא פעולה אסוציאטיבית, מה שאומר שאם קודם כל מחברים את \(a_{2}\) ו-\(a_{3}\), ורק לתוצאה הזו מחברים את \(a_{1}\), נקבל עדיין את אותו הדבר: \(\left(a_{1}+a_{2}\right)+a_{3}=a_{1}+\left(a_{2}+a_{3}\right)\). בדומה, החיבור הוא גם פעולה קומוטטיבית, במובן זה ש-\(a_{1}+a_{2}=a_{2}+a_{1}\). משני אלו עולה, באמצעות אינדוקציה, שאם ניקח את \(a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}\) ונערבב את האיברים שלו בכל צורה שרק נרצה (למשל, את \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\) נהפוך ל-\(a_{3}+a_{2}+a_{4}+a_{1}\)) עדיין נקבל את אותו הסכום – מה שהגיוני ומתאים לתפיסה שלנו לפיה \(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\) תופס את כל האיברים "בבת אחת".

באופן דומה ניתן לגשת במתמטיקה לטיפול בסכום שיש בו אינסוף איברים (וזו אכן ההגדרה המקובלת ביותר, אם כי לא היחידה), כלומר טור מהצורה \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\), למשל \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\dots+\frac{1}{2^{n}}+\dots\), שהוא הטור המוכר מפרדוקס אכילס. הדרך הסבירה להגדיר סכום של טור שכזה היא שוב באמצעות "תוצאות ביניים": מסמנים בתור \(S_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\), כלומר את סכום \(n\) האיברים הראשונים בטור, ואז מסתכלים על סדרת המספרים \(S_{n}\) שהתקבלה – אם היא שואפת לגבול מסויים, על פי ההגדרה הסטנדרטית של גבול (שראויה לפוסט משל עצמה – וגם קיבלה כזה – ולכן לא אחזור עליה כאן במדוייק), אז \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) יהיה אותו הגבול. למשל, \(S_{n}\) עבור הטור של אכילס שהצגתי הוא הסכום הרגיל של סדרה הנדסית סופית, כלומר \(\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-1}{\frac{1}{2}-1}=1-\frac{1}{2^{n}}\), וסכום זה בבירור שואף ל-1, כך שמגדירים \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=1\). האם המספר הזה אכן ראוי לתואר הסכום של \(a_{1},a_{2},\dots\)? זוהי שאלה פילוסופית מצויינת, שדורשת קודם כל הסבר לגבי משמעות המושג "סכום". בעבר הגנתי בחירוף נפש על הזכות של הגדרה זו לתאר את הסכום; בפוסט הזה אני לא צריך להתגונן בפני אף אחד ולכן אציג דווקא ספק או שניים שעשויים להתעורר כאשר מנסים לחשוב על ההגדרה הזו כעל ההגדרה ה"נכונה".

מרגע שהגדרנו סכום, אנחנו רוצים להתחיל לחקור את התכונות שלו, והתכונה המהותית שאני רוצה לדבר עליה בפוסט הזה היא שינוי סדר האיברים בסכימה – מה שכבר ראינו שניתן לבצע ללא חשש לטורים סופיים. אינטואיטיבית לא נראה שאמורה להיות בעיה עם זה – הרי סכום תופס את כל האיברים "בבת אחת", אז מה זה משנה אם יש אינסוף איברים בטור? ואכן, כל עוד היחס לאינפי היה לא ריגורוזי, שינויים כאלו בוצעו בלי הרבה הסתבכויות. אלא שאנחנו פדנטים, וכל דבר שרוצים לעשות – צריך להוכיח במפורש.

אם ננסה לקחת את ההוכחה שלנו עבור טורים סופיים ולהחיל אותה על טורים אינסופיים, אנחנו בבעיה. מה בעצם ההוכחה שלנו הייתה? ראינו כי אפשר לקחת זוג איברים סמוכים בטור ולהחליף את מקומם מבלי לשנות את סכום הטור. בעזרת סדרת החלפות שכזו ניתן לבצע כל פרמוטציה שרק נרצה על אברי הסכום (כל פרמוטציה סופית ניתנת לכתיבה כמפלה סופית של החלפות). אלא שעבור טורים אינסופיים אנחנו בצרות – כל מה שאנחנו יכולים להראות הוא שניתן להחליף את מקומם של מספר סופי של איברים בטור ולא לשנות את סכומו. הרי זה מה שהוכחה באינדוקציה עושה: אנחנו יכולים להראות כי לכל \(k\) טבעי, אחרי שמבצעים \(k\) החלפות על הטור, סכומו אינו משתנה; אבל לא נובע מכך שעבור אינסוף החלפות סכום הטור יישאר זהה. כדי לטעון טענה בסגנון הזה – טענה שמסוגלת לקפוץ מנכונות-למספר-סופי אל נכונות-עבור-אינסוף צריך להשתמש בגרסה חזקה יותר של מושג האינדוקציה – האינדוקציה הטרנספיניטית – אלא שכדי להשתמש בה צריך להוכיח טענות יותר חזקות (בפרט, צריך יהיה להוכיח "בידיים" שאם לכל \(k\) טבעי זה עובד, אז גם עבור הסודר האינסופי הקטן ביותר – \(\omega\) – זה עובד) ולכן היא לא רלוונטית כרגע. השורה התחתונה – ההוכחה למקרה הסופי לא תופסת את המקרה האינסופי כמו שצריך. עלינו לחפש הוכחה אחרת.

במקרה אחד (מרכזי) הוכחה אחרת אכן קיימת ואינה מסובכת במיוחד – אם כל האיברים \(a_{n}\) הם אי שליליים (\(a_{n}\ge0\) לכל \(n\)). הבה ונקרא \(b_{n}\) לאיברים של \(a_{n}\) אחרי שעברו "סידור מחדש" כלשהו (גם כזה שכולל הזזה של אינסוף איברים). מה שאנחנו רוצים להראות הוא ש-\(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\). הבה ונסמן \(s_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{n}\) ובדומה \(t_{n}=\sum_{i=1}^{n}b_{n}\), וכמו כן נסמן \(S=\lim_{n\to\infty}s_{n}\) (כלומר, \(S=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)). אז הדרך הפורמלית לומר ש-\(S=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) היא לומר כי לכל \(\varepsilon>0\) קיים \(M\) כך שלכל \(m>M\) מתקיים \(\left|S-t_{m}\right|<\varepsilon\). בואו ונראה למה, בהינתן \(\varepsilon>0\) שכזה, אכן קיים \(M\) המבוקש.

האינטואיציה היא זו: מכיוון ש-\(a_{n}\) הם חיוביים, אז \(S\) חייב להיות מורכב מסכום של כמה איברים "גדולים" שהם אלו שתורמים את עיקר הגודל ל-\(S\), ומספרם סופי, ועוד אינסוף איברים "קטנים". אם נבחר \(M\) גדול מספיק כך שגם אחרי הסידור-מחדש של \(b_{n}\), \(t_{m}\) כבר מכיל בסכום את כל אותם איברים "גדולים", אז \(S-t_{m}\) יהיה חייב להיות קטן. זה הרעיון, וכעת אפשר לפרמל אותו.

מכיוון ש-\(s_{n}\to S\), אז על פי הגדרת הגבול קיים \(N\) כך שמתקיים \(\left|S-s_{N}\right|<\frac{\varepsilon}{2}\) (למה חצי? ראיית הנולד שתכף תתבהר). \(s_{N}\) כולל בתוכו את כל האיברים ה"גדולים", ולכן האיברים ה"קטנים" יהיו כל ה-\(a_{N+1},a_{N+2}\) וכן הלאה. כעת ניקח \(M\) כך ש-\(b_{1},b_{2},\dots,b_{M}\) מכילים בתוכם בפרט את כל האיברים \(a_{1},a_{2},\dots,a_{N}\) (במילים אחרות, \(M\) הוא המקסימום על קבוצת האינדקסים של "לאן \(a_{1}\) עובר? ולאן \(a_{2}\) עובר?" וכו'). כעת ניקח \(m>M\), ומטרתנו בחיים היא להראות ש-\(\left|S-t_{m}\right|<\varepsilon\) – אם נצליח, סיימנו. כדי לעשות זאת משתמשים בתעלול אינפי סטנדרטי: \(\left|S-t_{m}\right|=\left|S-s_{N}+s_{N}-t_{m}\right|\le\left|S-s_{N}\right|+\left|s_{N}-t_{m}\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\left|s_{N}-t_{m}\right|\). מה שנותר, אם כן, הוא להראות ש-\(\left|s_{N}-t_{m}\right|<\frac{\varepsilon}{2}\). הרעיון מאחורי זה: \(t_{m}\) כולל כבר את כל אברי \(s_{N}\), ולכן \(\left|s_{N}-t_{m}\right|\) הוא בעצם גודלם של כל האיברים שנותרו ב-\(t_{m}\) מעבר לכך, ואמרנו שהם קטנים יחסית.

אם כן, מהו \(\left|s_{N}-t_{m}\right|\)? כאמור, \(t_{m}\) כבר כולל את כל אברי \(s_{N}\), ולכן כדי לחסום את ההפרש אפשר להשתמש בכל יתר אברי הסדרה המקורית, \(a_{n}\). במילים אחרות, \(\left|s_{N}-t_{m}\right|\le\left|a_{N+1}\right|+\left|a_{N+2}\right|+\dots\). כאן סוף סוף נשתמש בכך שהסדרה חיובית: \(\left|a_{i}\right|=a_{i}\) לכל \(a_{i}\), כך שקיבלנו כי \(\left|s_{N}-t_{m}\right|\) חסום על ידי זנב של הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\). אבל הרי אמרנו כי \(\left|S-s_{N}\right|<\frac{\varepsilon}{2}\), ו-\(\left|S-s_{N}\right|=\left|a_{N+1}+a_{N+2}+\dots\right|=a_{N+1}+a_{N+2}+\dots\) הוא בדיוק גודלו של זנב הטור המבוקש, כך שסיימנו.

כמו שקורה לעתים קרובות במתמטיקה, ההוכחה שלנו כוונה למקרה פרטי מסויים – טור חיובי – אבל למעשה היא עובדת עבור מחלקה רחבה יותר של טורים: כל טור שעבורו \(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\) מתכנס. השינוי שצריך לעשות בהוכחה כדי שתעבוד גם במקרה זה הוא עדין אך מחוכם: את \(N\) צריך לבחור כך שיתקיים בו זמנית כי \(\left|S-s_{N}\right|<\frac{\varepsilon}{2}\) (וכך אכן בחרנו את \(N\) קודם) וכמו כן יתקיים ש-\(\sum_{i=1}^{\infty}\left|a_{i}\right|-\sum_{i=1}^{N}\left|a_{i}\right|<\frac{\varepsilon}{2}\), כלומר שהזנב של טור הערכים המוחלטים יהיה קיים. קודם קיבלנו תכונה זו בחינם, מכיוון שטור הערכים המוחלטים היה שווה לטור המקורי, אבל באופן כללי זה לא כך.

טור כזה, שעבורו \(\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\) מתכנס, נקרא טור מתכנס בהחלט (Absolutely convergent), וזה שם מתאים ביותר. נסכם אם כן את מה שראינו עד כה: אם טור מתכנס בהחלט, אז אפשר לשנות ללא חשש את סדר הסכימה של איבריו ומובטח שנקבל את אותו הסכום. אבל מה קורה אם יש לנו טור שהוא מתכנס, אך לא מתכנס בהחלט – האם גם אז ניתן לשנות את סדר הסכימה? והאם קיימים בכלל טורים כאלו? התשובה לשאלה השנייה היא "כן" ותכף נראה דוגמה; והתשובה לשאלה הראשונה היא משפט רימן המדובר, והיא "לא" זועק.

הטור \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots\) מכונה "הטור ההרמוני" (לא חשוב כרגע למה). הוא הדוגמה הפשוטה ביותר לטור שמצד אחד, האיבר הכללי שלו (\(\frac{1}{n}\)) שואף לאפס, ועם זאת הוא אינו מתכנס אלא שואף לאינסוף – כלומר, לכל \(M\) טבעי, אם נסכום מספיק איברים של הטור, נעבור את \(M\). דרך נאה לראות זאת היא באמצעות קיבוץ איברים: \(1+\frac{1}{2}>\frac{1}{2}\), כמובן; \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\) (כי שני האיברים בסכום גדולים או שווים ל-\(\frac{1}{4}\)); \(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\); וכן הלאה וכן הלאה. בכל פעם נקבץ קבוצה גדולה פי 2 של איברים, ונוסיף \(\frac{1}{2}\) לסכום שלנו, ומכאן שהסכום גדל עוד ועוד עד אינסוף, אם כי בקצב שהולך ונעשה איטי יותר ויותר עם הזמן – כמות האיברים שצריכים לקבץ בכל פעם כדי להגדיל את הסכום ב-\(\frac{1}{2}\) שווה לכמות כל האיברים שקיבצנו עד כה. למי שזה נשמע לו מוכר בצורה כלשהי, זה לא מקרי; אפשר להראות שהסכום הזה מתנהג בערך כמו \(\ln x\), שגם היא פונקציה ששואפת לאינסוף, אך לאט.

כעת אפשר להכניס לתמונה משפט של לייבניץ מתורת הטורים – אם \(a_{n}\) היא סדרת מספרים חיוביים ששואפת מונוטונית לאפס, אז הטור \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n+1}a_{n}\), שמתקבל על ידי כך ששמים לסירוגין סימן חיובי וסימן שלילי על המספרים, מתכנס. לא אוכיח את המשפט כרגע (הוכחה טכנית ואינה קשה במיוחד), אלא אתמקד בשורה התחתונה: הטור \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots\) מתכנס, וזאת למרות שאם לוקחים את הערכים המוחלטים של אברי הטור מקבלים את הטור ההרמוני, שאינו מתכנס. דהיינו – מצאנו טור שמתכנס אך אינו מתכנס בהחלט. אגב, לא רק שהטור מתכנס, אנחנו יודעים אפילו את סכומו, בעזרת פיתוח טיילור של \(\ln\): \(\ln\left(1+x\right)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\dots\) כאשר \(-1<x\le1\), ולכן על ידי הצבת \(x=1\) בטור מקבלים שסכום הטור ההרמוני המתחלף הוא \(\ln\left(2\right)\).

וכעת הבה ונראה דבר מה מוזר. נסמן את סכום הטור ההרמוני המתחלף ב-\(A\) (כאמור, \(A=\ln2\) אבל למה להסתבך). כעת בואו ונשנה את סדר הסכימה של הטור ההרמוני המתחלף לדבר המוזר הבא: \(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}+\dots\). במילים אחרות – ראשית כל איבר אחד חיובי מהטור, ואז שני איברים שליליים. אז האיבר החיובי הבא, ואז שני האיברים השליליים הבאים, וכן הלאה. שימו לב לכך שבסכום הזה, האיבר החיובי תמיד שווה לפי 2 האיבר השלילי שבא אחריו (נסו להוכיח זאת לעצמכם), כך שמתקבל הטור \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\dots\). האם הטור הזה נראה מוכר? בוודאי: הוא שווה ל-\(\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots\right)\), כלומר לחצי הטור ההרמוני המתחלף, ולכן סכומו הוא \(\frac{A}{2}\). אבל רגע אחד – איך זה ייתכן? נובע מכך ש-\(A=\frac{A}{2}\) וזה קורה רק אם \(A=0\), אבל כבר אמרנו שלא זה המצב. מכאן ששינוי סדר הסכימה של הטור שינה את סכומו של הטור. באנג! האינטואיציה שלנו הלכה לפח ברגע זה ממש.

אם כן, כשיש לנו טור שמתכנס אך לא מתכנס בהחלט, הסדר שבו סוכמים את הטור הוא קריטי למציאת סכום הטור. זה אומר שקשה, אולי בלתי אפשרי, לחשוב על סכום הטור הזה כעל מה שמקבלים כאשר מחברים את כל איבריו "בבת אחת" – חיבור בבת אחת שכזה אמור להתעלם מהסדר שבו מחברים איברים פרטניים של הטור. אם כן, במקרה זה הטור שלנו לא מצליח לייצג סכום במובן הרגיל שבו אנחנו מבינים אותו, אלא לכל היותר לתאר תהליך מסויים.

משפט רימן מראה שהאנומליה הזו היא לא מקרית, ושלא מדובר כאן על איזו התחכמות אד-הוקית. הניסוח שלו הוא פשוט: אם \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\) הוא טור שמתכנס אך לא מתכנס בהחלט, אז ניתן על ידי שינוי סדר איבריו לקבל טור \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\) שמתכנס לאן שאנחנו רוצים. דהיינו, אם \(t\) הוא מספר ממשי כלשהו, אז אפשר לשנות את סדר הסכימה ולקבל טור שמקיים \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=t\); וכמו כן אפשר על ידי שינוי סדר הסכימה לקבל \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=\infty\) או \(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=-\infty\); ואפשר גם שהטור לא יתכנס כלל אלא "יזפזפ" בין כמה ערכים שונים. בקיצור, אם מרשים לשנות את סדר הסכימה של טור מתכנס שאינו מתכנס בהחלט, אפשר לקבל כל דבר שרוצים.

מי היה מאמין שמוקש כל כך מטורף מסתתר לו מאחורי פעולה תמימה יחסית כמו שינוי סדר הסכימה של טור? מי היה מאמין שהאינטואיציה שאנחנו מקבלים מהמקרה הסופי יכולה להישבר בכזו אכזריות? יש כאן לקח חשוב מאוד, לטעמי, ולא רק למתמטיקה אלא לחיים בכלל – לא לקחת דברים כמובנים מאליהם. תמיד לחקור, לשאול שאלות, לאתגר, ולהיזהר מאוד ממה שמרגיש לנו אינטואיטיבית "דומה". האינטואיציה שלנו היא חבר נאמן והיא גם הכלי הראשון שאנחנו מפעילים בהתמודדות עם כל בעיה שהיא; אבל ההסתמכות העיוורת עליה מסוכנת בצורה יוצאת דופן, ולכן היא גם צריכה להיות הדבר הראשון שבו אנו מטילים ספק תמיד. המתמטיקה זרועה במוקשים דומים, ולטעמי אחד מסימני ההיכר של המתמטיקה המודרנית היא הסירוב העקשני להיכנע לאינטואיציה, במאמץ לחשוף את המוקשים הללו, טריוויאליים ככל שייראו. זו גם הסיבה למאמץ הכביר שהשקיעו מתמטיקאים בתחילת המאה ה-20 בנסיון למצוא פורמליזציה מלאה למתמטיקה – הסרת החשש ממוקשים שכאלו. אם אכן ניתן להשתמש במתמטיקה כדי לחנך לערכים, זהו הערך שאני רוצה ללמד כאן.

אחרי כל הנאום הזה, מתבקש להוכיח במפורש את משפט רימן. לא אציג הוכחה פורמלית כי היא פשוט ניסוח טכני לא מחכים יותר מדי של הרעיון אותו אציג, שהוא פשוט אך יפה. הרעיון בבסיסו הוא לחשוב על הטור כמורכב משני טורים – טור אחד של כל האיברים החיוביים, וטור שני של כל האיברים השליליים. שני הטורים הללו הם אינסופיים ואינם מתכנסים, שכן כבר ראינו שטור שכל איבריו חיוביים ומתכנס גם מתכנס בהחלט (כי אין שום הבדל בין הטור ובין טור ערכיו המוחלטים), ובדומה גם טור שכל איבריו שליליים ומתכנס חייב גם להתכנס בהחלט (למה?). במילים אחרות, טור האיברים החיוביים שואף לאינסוף, וטור האיברים השליליים שואף לאינסוף.

בואו נניח שאנחנו רוצים להשאיף את הטור שלנו ל-\(\pi\). מה שנעשה יהיה כך: ראשית ניקח איברים מטור הערכים החיוביים עד שסכומם יעבור את \(\pi\) (מכיוון שהטור שואף לאינסוף, אחרי שניקח מספיק איברים מובטח לנו שנעבור את \(\pi\)). כעת ניקח איברים מטור האיברים השליליים עד שנרד שוב מתחת ל-\(\pi\); ועכשיו שוב ניקח איברים מטור האיברים החיוביים עד שנעלה מעל ל-\(\pi\), וכן הלאה וכן הלאה. סדרת הסכומים החלקיים של הטור שאנו בונים מבצעת ריקוד סביב \(\pi\) – עולה מעליו, ואז שוב יורדת, ואז עולה מעליו, ואז שוב יורדת. הפאנץ' הוא שגודל התנודות שהסדרה מבצעת חייב לקטון עם הזמן, מכיוון שאיברי שני הטורים החלקיים קטנים עם הזמן, וגודל התנודה חסום על ידי גודל האיברים הללו.

כל מי ששיחק גולף ודאי מבין מה הולך כאן. כדי להגיע לחור \(\pi\) אנחנו נותנים סדרת חבטות לכדור שלנו, שהולך ומתקרב אל החור, בסופו של דבר אנחנו מאוד קרובים אל החור ונותנים עוד חבטה אחת אחרונה – אבל היא חזקה קצת יותר מדי, והכדור עובר את החור ומגיע לצידו השני. עכשיו אנחנו צריכים לתת סדרת חבטות מהכיוון השני, ושוב – החבטה האחרונה מפספסת את החור וכן הלאה. מה שחשוב הוא שה"טעות" שלנו – גודל התנודה – נקבע רק על פי החבטה האחרונה, שמקפיצה אותנו לצד השני של החור – ומכיוון שהחבטות הולכות ונחלשות עם הזמן, גם גודל התנודה קטן עם הזמן. וזהו.

באופן דומה בונים סדרה ששואפת לאינסוף. הפעם אפשר לנקוט בתעלול הבא: נניח שהאיברים השליליים ממוספרים כ-\(c_{1},c_{2},c_{3},\dots\), אז ראשית כל נחבר מספיק איברים חיוביים כדי לעבור את \(1-c_{1}\) (שימו לב: \(c_{1}\) שלילי, כך ש-\(1-c_{1}\) גדול יותר מ-1) ואז נוסיף את \(c_{1}\) כך שנרד לכל היותר עד 1; ועכשיו נחבר מספיק איברים כדי לעבור את \(2-c_{2}\), וכן הלאה; באופן כללי אחרי שהוספנו את \(c_{n-1}\) נחבר מספיק איברים חיוביים כדי לעבור את \(n-c_{n}\), מה שמבטיח שהסדרה שלנו עולה עוד ועוד לאינסוף ואף פעם לא גולשת למטה "יותר מדי". לסיום, כדי לגרום לטור פשוט לא להתכנס נזפזפ בין שני ערכים – נניח, \(\pi\) ו-0.

זוהי כל ההוכחה, ואחרי שכבר מכירים אותה היא נראית טבעית ופשוטה מאוד יחסית. האינטואיציה שלי לפחות חיה איתה טוב מאוד. ועם זאת, אותה אינטואיציה סירבה בתוקף להכיר בקיום המשפט לפני שראיתי את ההוכחה. אם כן, זה המסר שאני רוצה להעביר – אינטואיציה זה חשוב, אבל רק כשמקיימים איתה דיאלוג. גם היא מסוגלת להודות בטעותה. זכרו זאת בפעם הבאה שמישהו יבקש מכם ללכת עם האינטואיציה עד הסוף ולא לחשוב בכלל.