איך שליטה ברזי המתמטיקה תהפוך אתכם לקוראי מחשבות?

בזמן האחרון מתגלגל לו ברשת הישראלית הלינק החביב הבא, שמוביל לאתר "קורא מחשבות". הרעיון פשוט – בוחרים מספר דו ספרתי, מחסרים ממנו את סכום ספרותיו (כך למשל אם בחרתי 53, אפחית 8 מהמספר ואקבל 45). מסתכלים בטבלה שבה לכל מספר מותאמת אות, ואז לוחצים על משבצת בצד. המשבצת תראה באורח קסם את אותה האות שבתא שבחרנו. קסם!

ובכן, כמובן שלא. האתר עצמו מצהיר בגלוי על עצמו "חשיבה כמותית. גלה את הקסם!" ומכאן שהוא רומז שהפתרון טמון במתמטיקה – ובמתמטיקה פשוטה מאוד, כמובן. עם זאת, שמעתי על אנשים רבים שלא הצליחו להבין מה הולך כאן, ואנסה להסביר זאת בפוסט הזה.

ובכן, איך מנתחים אתר פלאי שכזה באופן רציונלי? ההגיון הבסיסי אומר שכדאי לבחור שני מספרים שונים ולראות אם האתר מצליח לנחש את שניהם. כך למשל אם בחרתי 53 בניסוי הראשון שלי וקיבלתי 45 שבתא שלו היה כתוב b, אבחר כעת 18, אקבל 9, וכעת בתא שלי יהיה כתוב h. זה די מרשים – איך הוא הצליח קודם לנחש את b ואחר כך את h?

הדרך לפתור את הבעיה היא לעשות ניסוי ביקורתי קצת יותר – במקום לבחור מספר, ללחוץ, להיווכח שהוא ניחש נכון ואז לבחור מספר נוסף, כדאי לנחש שני מספרים גם יחד, ולהסתכל מה הערך החזוי לשניהם. באופן בלתי מפתיע מתגלה שלא משנה איזה מספר אתה מנחש, האות שמתאימה לו תהיה בדיוק אותה האות – בטבלה יש אלכסון שכולו מסומן באותה אות, שהיא גם האות שהאתר "מנחש" כשלוחצים על המשבצת שבצד. מכאן שהמשחק "מכור" – לא משנה מה תבחר, תמיד תחזיר את אותה התשובה. ההתחכמות הנוספת של האתר טמונה בכך שבכל פעם שבה מעלים את הדף, האותיות בטבלה מוגרלות מחדש, כך שפעם האלכסון יכיל את b, ובפעם הבאה שבה אטען את הדף הוא יכיל את h, מה שמקשה על איתור ה"רמאות".

אם כן, ברור לנו הרעיון העקרוני שמאחורי הקסם, אך למה אנחנו תמיד נופלים בתוך האלכסון? האבחנה המרכזית כאן היא שאברי האלכסון הם בדיוק הכפולות של תשע. זה כבר עשוי להתחיל לצלצל מוכר לאנשים. אלו מכם שלמדו  על "סימני חלוקה" אולי זוכרים שאפשר לזהות אם מספר מתחלק בתשע על ידי בדיקת סכום ספרותיו – אם סכום הספרות מתחלק בתשע, המספר כולו מתחלק בתשע. אסביר בקרוב את הרעיון במקרה הכללי, אבל לפני כן ננסה להבין מה קורה במקרה הדו ספרתי שלנו.

הכפולה הראשונה של 9 היא 9 בעצמה. הבאה אחריה היא 18, ואחריה 27, ואחריה 36… בכל פעם גדלה ספרת העשרות ב-1, וספרות האחדות קטנה ב-1. ההגיון פשוט – כדי להגדיל את ספרות העשרות ב-1 מבלי להקטין את ספרת האחדות, היינו צריכים להוסיף 10; מכיוון שהוספנו "רק" 9,  ספרת האחדות חייבת לפצות על כך ולקטון ב-1. התוצאה? קל מאוד יחסית לזכור את הכפולות של 9 בלוח הכפל, כפי שאדוארד ג'יימס אולמוס מדגים ב"לסניור באהבה" בסצינת "איש האצבעות".

כעת, מה קורה כשאנו לוקחים מספר דו ספרתי כלשהו, ומורידים ממנו את סכום ספרותיו? ההורדה של ספרת האחדות "מאפסת" את ספרת האחדות; למשל, 36 פחות 6 הוא 30. כעת אנו מורידים את ספרות העשרות מהמספר ה"מאופס" שנותר לנו; זה יקטין את ספרת העשרות ב-1, ומה תהיה ספרת האחדות החדשה? בדיוק אותו מספר שיחד עם ספרת העשרות שחיסרנו נותן 10. למשל, כשמפחיתים 3 מ-30, ספרות האחדות תהיה 7, שכן 7 ועוד 3 זה 10. אלא מה? ספרת העשרות של התוצאה כבר אינה ספרת העשרות שחיסרנו, אלא כאמור קטנה ממנה ב-1, ולכן הסכום של עם ספרת האחדות החדשה יהיה 9. מסקנה – המספר מתחלק בתשע, סוף הסיפור.

כעת אני רוצה לדבר טיפה על המקרה הכללי. למה בעצם הטריק הזה של סכום הספרות מאפשר לנו לדעת אם מספר מתחלק בתשע? כדי להבין זאת, אכניס טיפה סימנים פורמליים. אפשר לכתוב כל מספר בצורה המפחידה הבאה: $latex a=\sum_{k=0}^ta_k10^k$, כאשר $latex a_k$ מסמל את הספרה ה-$latex k$-ית שלו (ספרת האחדות מסומנת עם $latex k=0$. למשל, דוגמה: המספר 13435 ניתן לכתיבה גם כ-$latex 5\cdot 10^0+3\cdot 10^1+4\cdot 10^2+3\cdot 10^3+1\cdot 10^4$.

כעת נכנס לתמונה מושג של "שקילות מודולו", שגם הוא אולי נשמע מפחיד אך הוא פשוט למדי. אומרים ששני מספרים $latex a,b$ הם שקולים מודולו $latex n$ אם $latex n$ מחלק את ההפרש שלהם, $latex a-b$. שקילות של מספרים מודולו $latex n$ היא מעניינת, כי אם יש לנו שני מספרים שקולים מודולו $latex n$, אז אחד מהם מתחלק ב-$latex n$ אם ורק אם גם השני מתחלק ב-$latex n$. חשבו למשל על 45 ו-27, ששניהם שקולים מודולו 9 (כי ההפרש שלהם, 18, מתחלק ב-9) – שניהם גם מתחלקים ב-9 וזה אינו מקרה.

באופן פורמלי, מסמנים $latex a\equiv b(mod n)$ כדי לציין שקילות מודולו $latex n$ של מספרים. התכונה המרכזית שחשובה לנו בשקילות היא שהיא נשמרת גם אחרי חיבור וכפל. כלומר, אם $latex a_1\equiv b_1(mod n)$ וגם $latex a_2\equiv b_2(mod n)$ אז מתקיים $latex a_1+a_2\equiv b_1+b_2(mod n)$ וגם $latex a_1a_2\equiv b_1b_2(mod n)$. קשה לזלזל בחשיבות התכונה הזו – רוב תורת המספרים האלמנטרית מתבססת עליה.

לענייננו, מה שחשוב הוא הדבר הבא: 10 שקול ל-1 מודולו 9 בבירור, ולכן חזקות של 10 שוות לחזקות של 1, שהן כולן 1. פורמלית, $latex 10^k\equiv 1(mod n)$ וזאת לכל $latex k$. אם כן, על פי חוקי המודולו מקבלים כי $latex a=\sum_{k=0}^ta_k10^k\equiv\sum_{k=0}^ta_k(mod n)$.כלומר, שאלת ההתחלקות של מספר ב-9 שקולה לשאלת ההתחלקות של סכום ספרותיו ב9, וסיימנו. יתר על כן – 10 הוא 1 גם מודולו 3, ולכן בשאלת ההתחלקות של מספר ב-3 מטפלים בדיוק באותו האופן. לרוע המזל אין ספרה נוספת כך ש-10 מודולו הספרה הוא 1, ולכן המבחן האלגנטי הזה תקף רק עבור 3 ו-9; עם זאת, עבור 11 יש מבחן דומה מאוד, מחוכם קצת יותר. נסו לגלות אותו (רמז: על 10 מודולו 11 אפשר לחשוב בתור "מינוס 1 מודולו 11").

הדיון שלעיל היה תקף עבור מספרים שמוצגים בבסיס עשרוני. בבסיסים אחרים, הספרות של המספר יהיו שונות וכל זה לא יעבוד. עם זאת, בבסיס $latex b$ תמיד יהיה לנו מבחן דמוי המבחן של 9 עבור המספר $latex b-1$. כלומר, בבסיס 8 אפשר לבדוק התחלקות ב-7 על ידי בדיקה האם סכום הספרות מתחלק ב-7; מרשים למדי, שכן בדיקה האם מספר מתחלק ב-7 כאשר הוא מוצג בבסיס עשרוני אינה פשוטה. בבסיס 16 התעלול של סכום הספרות עובד עבור 3,5 ו-15. חשוב להדגיש שזה אינו מבחן ההתחלקות האפקטיבי ביותר, ושלבסיס ספירה מסויים $latex b$ הכי קל לבדוק התחלקויות עבור מספרים שמחלקים את $latex b$ (די לבדוק את את ספרות האחדות במקרים כאלו, כמו שבבסיס 10 עושים עבור 2,5 ו-10).

בחזרה לקסם קריאת המחשבות. ראינו כי כל מספר (בבסיס עשרוני) שקול לסכום ספרותיו מודולו 9. מכאן שההפרש שלהם מתחלק ב-9, תמיד (לא רק כאשר מדובר במספרים דו ספרתיים). לכן ה"קסם" תקף תמיד – קחו מספר כלשהו, תחסרו ממנו את סכום ספרותיו, ותקבלו מספר שמתחלק ב-9. זה סוף הסיפור, בצורה הכללית ביותר שלו.

קוריוז חביב לסיום – גם אני מסוגל לקריאת מחשבות. בחרו מספר תלת ספרתי שאיננו פלינדרום (כלומר, אם כותבים אותו מהסוף להתחלה לא מקבלים את אותה תוצאה). הפכו את סדר ספרותיו, וחסרו את המספר הקטן מהגדול (למשל, אם בחרתי 397, אחסר אותו מ-793). כעת קחו את התוצאה, הפכו את סדר ספרותיה, וחברו. בכוחות המתמטיקה העל טבעיים שלי אני חוזה שתקבלו 1089. מרשים ביותר, הלא כן?

11 תגובות על הפוסט “איך שליטה ברזי המתמטיקה תהפוך אתכם לקוראי מחשבות?

  1. לא דורשים, אבל זה נדרש. למשל, קח את 013 (בחרתי באקראי), אז 310 פחות 13 זה 299, אבל 299 ועוד 992 זה 1291 – גדול מדי. כנראה שזו פאשלה של כותב הערך 😈

  2. אוי ווי. כמובן שאתה צודק, ולכן הדרישה שלי מיותרת וכותב הערך בויקיפדיה לא פישל אחרי ככלות הכל (מסתבר שאנחנו הולכים ומיטמטמים עם השנים…)

    אתקן את הפוסט בהתאם, כמובן, אבל אני חושב שיצאה לנו מזה חידה נחמדה – מי יסביר איך התרחשה הטעות המגוחכת שלי? יש הסבר הגיוני לחלוטין (שאינו טעות חישוב).

  3. מה שיפה כשעוברים למספרים בני יותר מ2 ספרות, הוא שאפשר לשנות את הספרות בכל צורה שהיא, ועדיין תוצאת החיסור תתחלק ב9. זה מגדיל את האפשרויות לטריקים של קריאת מחשבות (כלומר נותן לכאורה יותר חופש למשתתף "לעבוד" על קורא המחשבות)

  4. אני הכרתי את הקסם בגרסה קצת אחרת:
    קח קופסת גפרורים (שהיתה כבר בשימוש – בקופסה חדשה יש בדיוק 50 גפרורים וזה לא מעניין), ספור כמה גפרורים יש בה, הוצא ממנה גפרורים כסכום הספרות של מספר הגפרורים, סגור אותה ותן לי, אני על ידי ניעור שלה ליד האוזן, אגיד לך כמה גפרורים נשארו בה. צריך לזה קצת אימון (בעיקר קשה להבדיל בין 36 ו-45) אבל זה עובד.

  5. הקסם הזה לא תמיד. הנה דוגמא נגדית: 223 וההפוך לו 322 כשמחסרים אותם זה יוצא 99 ואז 99+99=198

  6. צריך להתייחס ל-99 כאל מספר תלת ספרתי, כלומר 099, ואז ההפוך שלו הוא 990 וסכומם נותן 1089.

  7. במקום כל הברברת קבלו סיכום
    המשחק הוא עד 99 ולא יותר
    בכל פעם שתפחיתו מהמספר הנבחר את תוצאת תרגיל החיבור כגון זה שאם בחרתם 55 תפחיתו 10 תקבלו תוצאה שמתחברת ל 9 כגון 81 או 72 או 54 וכיוצא בזה ולכן עורך הטבלה השיקרית סימן את אותו הסימון בכל פעם שמסתכם לו התוצאה ב9 או 0
    וברור שאינו יודע מה בחרת אלא שיודע את מה שכולנו יודעים עכשיו שהתוצאה תהיה תמיד מתחברת ל9

  8. קרא לי אולד פשן אבל עם כל הנגזרות והאינטגרלים אני עדיין מעדיף את היופי הטבעי של המספרים.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.